图形变换的矩阵方法.ppt

第四章 图形变换的矩阵方法,1 概述 2 二维图形变换 3 三维图形变换 本章小结,该向量集合实际上就是一个矩阵。如果这些点代表一个空间图形的顶点，也就是说，我们可以用矩阵来描述（表示）空间中的图形。,1 概述,一、空间图形的矩阵表示 若用一个行向量 x1 x2 xn 表示n维空间中一个点坐标，那么n维空间中m个点坐标就可以表示为一个向量集合：,对于二维空间，用表示图形(其中xi yi是顶点坐标）。,例：如图所示的ABC，用矩阵表示为,二、图形变换 是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等变换。图形变换的实质是改变图形的各个顶点的坐标。,因此，图形变换可以通过对表示图形坐标的矩阵进行运算来实现，称为矩阵变换法。矩阵变换法的一般形式：,本章讨论的问题：如何利用变换矩阵实现对二维、三维图形的各种变换。,2 二维图形变换,分为两类：二维基本变换，二维组合变换。二维基本变换：比例变换（缩放）、对称变换、错切变换、旋转变换、平移变换。二维组合变换：由多种基本变换组合而成的变换。一、二维基本变换 矩阵变换法的形式为：,通过对变换矩阵 T 中各元素的不同取值，可以实现各种不同的二维基本变换。比例变换（缩放变换）变换矩阵：,设二维平面的一个点坐标为x y，对其进行矩阵变换：,变换后该点的坐标为：,比例变换（缩放变换）,其中，a为x方向的缩放因子，d为y方向的缩放因子。根据a、d取值的不同，分为几种情况：当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 当a=d1，图形沿x、y方向等比例放大,例：设ABC对应的矩阵为,设,，对ABC进行变换：,比例变换（缩放变换）,当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 当a=d1，图形沿x、y方向等比例放大 当0a=d1，图形沿x、y方向等比例缩小,例：设ABC对应的矩阵为,设,，对ABC进行变换：,比例变换（缩放变换）,当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 当a=d1，图形沿x、y方向等比例放大 当0a=d1，图形沿x、y方向等比例缩小 当a=d=1，图形不发生变化 图形不变的变换称之为恒等变换。当ad，图形产生畸变,，对ABCD进行变换：,比例变换（缩放变换）,当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 当ad，图形产生畸变,例：设正方形ABCD的矩阵为,设,比例变换（缩放变换）,当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 当ad，图形产生畸变 有几种特殊情况：当a、d之一为1，图形沿单方向放大或缩小 a=1，d1，图形沿y方向放大或缩小；d=1，a1，图形沿x方向放大或缩小。当a、d之一为0，图形变换为x轴或y轴上的线段 a0，d0，图形变换为y轴上的线段；d0，a0，图形变换为x轴上的线段。当a、d均为0，图形压缩为一点（即原点）,对称变换 包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换，对坐标原点的对称变换。对坐标轴的对称变换 对x轴的对称变换,规则：x坐标不变，y坐标取反。,例：设ABC对应的矩阵为,变换后的矩阵为：,对称变换 包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换，对坐标原点的对称变换。对坐标轴的对称变换 对x轴的对称变换 对y轴的对称变换,规则：y坐标不变，x坐标取反。,例：设ABC对应的矩阵为,变换后的矩阵为：,对称变换 包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换，对坐标原点的对称变换。对坐标轴的对称变换 对直线的对称变换 对直线y=x的对称变换,规则：x、y坐标互换。,例：设ABC对应的矩阵为,变换后的矩阵为：,对称变换 包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换，对坐标原点的对称变换。对坐标轴的对称变换 对直线的对称变换 对直线y=x的对称变换 对直线y=x的对称变换,规则：x、y坐标互换并取反。,例：设ABC对应的矩阵为,变换后的矩阵为：,对称变换 包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换，对坐标原点的对称变换。对坐标轴的对称变换 对直线的对称变换 对直线y=x的对称变换 对直线y=x的对称变换 对任意直线的对称变换 属于一种组合变换，需要用多种基本变换组合完成。,对称变换 包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换，对坐标原点的对称变换。对坐标轴的对称变换 对直线的对称变换 对坐标原点的对称变换,规则：x、y坐标均取反。,例：设ABC对应的矩阵为,变换后的矩阵为：,错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。沿x方向错切,其中：c错切系数。cy沿x方向的错切量（x坐标沿x方向的移动量）。,错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。沿x方向错切,例：设矩形ABCD对应的矩阵为,设T中的c2，对矩形ABCD进行变换：,错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。沿x方向错切,变换特点：变换后点的y坐标不变，x坐标平移了cy；平行于x轴的直线变换后仍平行于x轴；平行于y轴的直线变换后，y=0的点不动(不动点)，y0的点沿x方向平移了cy，形成与y轴夹角为的直线，且 tgcy/yc。,错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。沿y方向错切,其中：b错切系数。bx沿y方向的错切量（y坐标沿y方向的移动量）。,错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。沿y方向错切,例：设矩形ABCD对应的矩阵为,设T中的b2，对矩形ABCD进行变换：,错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。沿y方向错切,变换特点：变换后点的x坐标不变，y坐标平移了bx；平行于y轴的直线变换后仍平行于y轴；平行于x轴的直线变换后，x=0的点不动(不动点)，x0的点沿y方向平移了bx，形成与x轴夹角为的直线，且 tgbx/xb。,旋转变换 二维图形的旋转，一般是指图形绕坐标原点的旋转。并规定：逆时针方向旋转时角度取正值；顺时针方向旋转时角度取负值。,注意：绕非原点的任意一点的旋转变换属于组合变换。,旋转变换 二维图形的旋转，一般是指图形绕坐标原点的旋转。并规定：逆时针方向旋转时角度取正值；顺时针方向旋转时角度取负值。,设=30,例：设矩形ABCD对应的矩阵为,旋转变换后的矩阵为,对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四种基本变换进行小结：变换矩阵的一般形式为,比例变换 当a=d，图形等比例缩放 对称变换 对坐标轴的对称变换 对直线的对称变换对坐标原点的对称变换,当ad，图形畸变,对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四种基本变换进行小结：变换矩阵的一般形式为,错切变换 沿x方向错切 旋转变换,沿y方向错切,（五）齐次坐标表示法和平移变换,1.齐次坐标表示法 在变换矩阵 的条件下，讨论了平面图形的比例、对称和旋转变换，为何没有讨论图形的平移变换呢？原因是T 不具备对图形进行平移变换的功能。欲想实现平面图形的平移，那么图形上任意一点的坐标，平移前后的必须满足：,从矩阵的乘法可知，要想得到,那么，平移变换应具有如下形式：,令：，则有,为了得到,由上可知，把向量x y 改写为x y 1，就可进行平移变换了。在此将 x y 1 称为平面坐标点x y的齐次坐标表示法。一般情况下：用n+1维向量表示n维向量，第n+1个分量取为常数（齐次项）的表示方法为齐次坐标表示法。标准化齐次坐标表示法：若齐次项为1，则为标准化齐次坐标表示法。,2.平移变换,对任意一点x y 1，则x y 1=x+l y+m（注意：形式上与x y 1并不统一）。一般将变换矩阵扩充为T33，使其具备更多的功能，它的一般形式为：,相应的平移矩阵：,如果坐标变换结果是非标准化齐次坐标表示，应将其化为标准齐次坐标表示。方法是所有项都除以齐次项。如：,二、二维组合变换 在图形变换中，往往需要一些比基本变换更复杂的变换。我们称由多个二维基本变换组成的复杂变换为二维组合变换（二维基本变换的级联）。已经证明：任何二维组合变换均可分解为多个基本变换的乘积。二维组合变换矩阵TT1T2Tm（Ti 是基本变换矩阵，具不可交换性）。由此可知，进行二维组合变换的关键问题是求T（m个基本变换矩阵）。下面通过两个例子介绍组合变换：绕坐标原点以外的任意一点P(x0 y0)旋转角的旋转变换,绕坐标原点以外的任意一点P(x0 y0)旋转角的旋转变换 可分解为：,平移变换 使旋转中心P平移到坐标原点。,旋转变换 绕坐标原点旋转角。,绕坐标原点以外的任意一点P(x0 y0)旋转角的旋转变换 可分解为：,平移变换 使旋转中心P回到原来的位置。,组合变换矩阵TT1 T2 T3,2.对任意直线的对称变换 设直线方程为：AxByC0(A0，B0)，直线在x轴上的截距为C/A，在y轴上的截距为C/B,直线与x轴的夹角=arctg(A/B)。可分解为：,平移变换 沿x轴方向平移 C/A，使直线通过坐标原点。,旋转变换 绕坐标原点旋转-角，使直线与x轴重合。,对x轴进行对称变换,旋转变换 绕坐标原点旋转+角。,平移变换 沿x方向平移C/A，使直线回到原位置。,因此，对任意直线的对称变换矩阵TT1 T2 T3 T4 T5，即：,二维组合变换 1.绕坐标原点以外的任意一点的旋转变换。2.对任意直线的对称变换。注意：1.二维组合变换可分解为多个二维基本变换，组合变换矩阵是基本变换矩阵的乘积；2.分解时，使用的基本变换类型及其组合顺序并不唯一。,3 三维图形变换,三维图形变换是二维图形变换在三维空间中的扩展，因此，它和二维图形变换类似。仿照二维图形变换，用四维齐次坐标x y z 1表示三维空间的点x y z，其变换形式为：,一、三维基本变换 1.比例变换,01，全比例缩小;s0，对原点的对称加比例变换,说明：全比例变换也是一种比例变换。,2.错切变换（错切变形）沿x轴：沿x轴含y错切，沿x轴含z错切 沿y轴：沿y轴含x错切，沿y轴含z错切 沿z轴：沿z轴含x错切，沿z轴含y错切 沿x轴含y错切,沿x轴含y错切,若把三维物体发生错切的表面称为错切面，那么可知：变换后特点：沿x轴含y错切是使错切面沿x轴移动并离开y轴，移动量为dy，但不离开z轴；错切面的y、z坐标不变。,沿x轴含z错切：,特点：沿x轴含z错切是使错切面沿x轴移动并离开z轴，但不离开y轴；错切面的y、z坐标不变。,沿y轴含x错切：,特点：沿y轴含x错切是使错切面沿y轴移动并离开x轴，但不离开z轴；错切面的x、z坐标不变。,沿y轴含z错切,特点：沿y轴含z错切是使错切面沿y轴移动并离开z轴，但不离开x轴；错切面的x、z坐标不变。,沿z轴含x错切,特点：沿z轴含x错切是使错切面沿z轴移动并离开x轴，但不离开y轴；错切面的x、y坐标不变。,沿z轴含y错切：,特点：沿z轴含y错切是使错切面沿z轴移动并离开y轴，但不离开x轴；错切面的x、y坐标不变。,3.对称变换 对坐标原点的对称变换 对坐标轴的对称变换：x轴、y轴、z轴。对坐标平面的对称变换：xoy平面、xoz平面、yoz平面。对坐标原点的对称变换,规则：x、y、z坐标取反。,对坐标轴的对称变换 对x轴的对称变换,规则：x坐标不变，y、z坐标取反。对y轴的对称变换：,规则：y坐标不变，x、z坐标取反。,对z轴的对称变换,规则：z坐标不变，x、y坐标取反。对坐标平面的对称变换 对xoy平面的对称变换,规则：x、y坐标不变，z坐标取反。,对xoz平面的对称变换,规则：x、z坐标不变，y坐标取反。对yoz平面的对称变换,规则：y、z坐标不变，x坐标取反。,5.旋转变换 三维旋转变换是指物体绕坐标轴旋转角，角的正负按右手规则确定。拇指指向坐标轴的正向，其余四指指向正角方向。绕x轴旋转角特点：x坐标不变，y、z坐标改变。,4.平移变换,绕y轴旋转角,特点：y坐标不变，x、z坐标改变。绕z轴旋转角,特点：z坐标不变，x、y坐标改变。,三维基本变换小结：比例变换（全比例变换）错切变换：沿x轴(含y,含z)、沿y轴(含x,含z)、沿z轴(含x,含y)。对称变换：对原点、对坐标轴(x轴,y轴,z轴)、对坐标平面(xoy平面,xoz平面,yoz平面)。旋转变换：x轴、y轴、z轴。二、三维组合变换 与二维组合变换类似，它是多个三维基本变换的有序组合；其组合变换矩阵是三维基本变换矩阵的乘积。具体的例子可参考教材p115。,三、三维投影变换 将三维物体变为二维图形表示的过程称为投影变换。,根据投影中心（视点）与投影平面之间距离的不同，投影可分为平行投影和透视投影。距离无穷大时为平行投影；距离有限时为透视投影。,投影方向垂直于投影平面时称为正平行投影，投影方向不垂直于投影平面时称为斜平行投影。正投影是指视点分别位于三维物体的正前方、正侧面、正上方所形成的投影视图，也称为三视图。,使正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平面上称为轴侧投影。根据轴向变形系数，轴侧投影可分为等轴侧、二轴侧、三轴侧、等等。,投影形成的二维图形中不平行的线延长后将汇聚于一点，称之为灭点。根据灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透视、三点透视。,正投影变换 包括正视、侧视、俯视三种投影方式。正视投影 视点位于物体的正前方，向xoz坐标平面进行投影。空间物体各顶点的y坐标变为0，x、z坐标不变。,侧视投影 视点位于物体的正侧面，向yoz坐标平面进行投影。各点的x坐标变为0，y、z坐标不变。考虑绘图时的统一性，将图形绘在同一个坐标平面上，作如下处理：将yoz平面上的侧视图绕z轴旋转90度。为了与xoz平面上已有的正视图保持一定的间距，再沿x轴平移-l（l 0）。,因此侧视投影的变换矩阵为：,，,俯视投影 视点位于物体的正上方，向xoy坐标平面进行投影。各点的z坐标变为0，x、y坐标不变。,考虑绘图时的统一性，将图形绘在同一个坐标平面上，作如下处理：,将xoy平面上的俯视图绕x轴旋转-90度。为了与xoz平面上已有的图形保持一定的间距，再沿z轴平移-n（n0）。,因此俯视投影的变换矩阵为：,2.轴测投影变换 使正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平面上称为轴侧投影。包括正轴侧投影和斜轴侧投影两种方式。正轴测投影变换 该变换是使物体先绕 z 轴旋转角，再绕x轴旋转-(0)角，最后向xoz平面投影。因此，其变换矩阵为三个基本变换矩阵的乘积：,例：设、，对单位立方体进行正轴测投影变换。,单位正方体各顶点齐次坐标矩阵：,轴侧投影的图形会产生形变，形变程度用变形系数衡量。各轴的轴向变形系数如下：,根据轴向变形系数之间的关系，轴侧投影可分为等轴侧、二轴侧等投影方式。,正等轴测投影：由x=y=z 可求得=45o、=35o16，代入正轴测投影变换矩阵 T正，得：,当x=y=z 时,正二轴测投影：由x=2y=z 可求得=20o42、=19o28，代入正轴测投影变换矩阵T正，得：,当x=2y=z 时,2.轴测投影变换 正轴测投影变换 斜轴测投影变换 如何将正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平面上呢？该变换是使物体先沿x含y错切，再沿z含y错切，最后向xoz平面投影。因此，其变换矩阵也是三个基本变换矩阵的乘积：,在变换矩阵T斜中，当d、f 取不同的值时可得到各种不同的斜轴侧透视图：,同样，斜轴侧投影的图形也会产生形变。各轴的轴向变形系数如下：,根据轴向变形系数之间的关系，斜轴侧投影也可分为斜等轴侧、斜二轴侧(常用形式)等投影方式。,（a）d=1，f=1；（b）d=1，f=-1；（c）d=-1，f=-1；（d）d=-1，f=1,斜二轴测投影：由x=2y=z 可求得d=f=0.354，代入斜轴测投影变换矩阵T斜，得：,当x=2y=z 时,3.透视投影变换 对于一个空间物体，若用轴测投影，物体的平行边投影后仍然保持平行，这与人的视觉是有差异的。为解决视觉差异，提出透视投影。透视投影后物体的平行边不一定保持平行，这些不平行的边延长后将汇聚于一点，称之为灭点。根据灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透视、三点透视。一点透视投影变换 先对物体作透视变换，然后向xoz平面投影。变换矩阵为：,其中：q灭点到投影面垂直距离的倒数。q0，灭点位于物体内侧。为符合人们的视觉习惯，一般取q0。,一点透视投影变换 先对物体作透视变换，然后向xoz平面投影。变换矩阵为：,另外，在画透视图时，若物体的空间位置不足以反映物体的空间形态，常常先把物体平移到合适的位置，然后再进行投影变换。这时，一点透视的变换矩阵为：,例：取l=1，m=-1，n=-2，q=-0.35，对单位立方体作一点透视投影。,两点透视投影变换 先使物体绕z轴旋转角，并考虑物体的平移，最后作一点透视投影。因此，二点透视投影的变换矩阵为：,例：设=30o，l=0，m=-1.5，n=-1.2，q=-0.6，画单位立方体的两点透视图。,三点透视投影变换矩阵 先使物体绕z轴旋转角，再绕x轴旋转角，平移后作一点透视投影。因此，三点透视投影的变换矩阵为：,例：设=50o,=20o,l=0,m=n=-1.5,q=-0.58,画单位立方体的三点透视投影图。,本章小结,二维和三维图形的图形变换方法注：参数曲线的图形变换有专门的方法。二维图形变换基本变换比例变换对称变换（对原点、对坐标轴、对直线）错切变换（沿x轴、沿y轴）旋转变换（指绕坐标原点的旋转）平移变换组合变换,三维图形变换基本变换比例变换错切变换：沿x轴(含y,含z)、沿y轴(含x,含z)、沿z轴(含x,含y)。对称变换：对原点、对坐标轴、对坐标平面。旋转变换：指绕坐标轴的旋转平移变换 组合变换投影变换,三维图形变换基本变换组合变换投影变换正投影变换：正视、侧视、俯视。轴侧投影变换：正轴侧投影(正等轴侧,正二抽测、斜轴侧投影(斜二轴侧)。透视投影变换：一点透视、二点透视、三点透视,