同济高等数学第六版上册.ppt

第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率(不讲),前面我们讨论的函数都表示为y=(x)的形式,其特点是:等号左端是因变量 y,而右端是只含自变量x 的表达式.这种方式表达的函数称为显函数.如果x与y之间的函数关系不是直接表达出来,而是用x,y的一个表达式,如方程 F(x,y)=0的形式表达出来,也就是说,方程F(x,y)=0也可以确定 y 是 x 的函数,即在方程F(x,y)=0中当x 取某区间内的任一个值时,相应地总有唯一地满足这个方程的y 值存在,这就是由方程 F(x,y)=0确定的函数,我们称为隐函数.,一、隐函数的导数,(2)由方程F(x,y)=0确定 y 是 x 的函数不能或不易显化.如,这时由方程 F(x,y)=0确定了 y 是 x 的隐函数.,(1)由方程F(x,y)=0反解出y,确定 y 是 x 的函数 y=(x),我们称为将一个隐函数显化;,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,既然由方程 F(x,y)=0确定了y 是 x 的(隐)函数,因而有必要讨论直接由方程 F(x,y)=0如何求它所确定的隐函数的导数.,一般地,方程 F(x,y)=0 在一定条件下确定 的隐函数有两种情形:,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接方程两边同时对 x 求导.,解,方程两边同时对 x 求导.,解得,由方程知 x=0,y=0,注 求导时要把方程中的 y 看作 x 的函数，按复合函数求导法则见到 y 就要对 x 求导.,例2 求曲线 y+x exy=0 在点(0 1)处的切线方程.,解 方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)得,解得,将已知条件代入得,解,练一练,1.,2.设方程 x2+y2=R2 确定函数 y=y(x),求,解 方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)得,解得,例3 求由方程 x3+y3 a=0(a 是常数)确定的隐函数 y(x)的二阶导数.,解 方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)并解得,上式两端再对 x 求导(y 是 x 的函数)得,1.设 x4 xy+y4=1,求隐函数 y(x)在点(0,1)处的二阶导数值.,解 方程两端逐项对 x 求导得,代入x=0,y=1得,将方程(1)两端再对 x 求导得,代入x=0,y=1,得,练一练,解,2.,对数求导数法,对于幂指函数和连乘积函数,直接利用基本初等函数的求导公式和求导法则很难求出其导数,这时可以采用先取自然对数,然后再使用则复合函数的可导法则求其导数.这种求导方法称为对数求导法.,对数求导法的步骤:,1.两端取自然对数;,2.两端利用求导法则对 求导;,3.解出.,例4 求幂指函数 的导数.,解1(对数求导法)首先取对数，得,1.幂指函数y=(x)(x)(x)0)的导数.,解2,利用复合函数求导法则,得,上面例子说明对数求导法是充分利用对数性质及复合函数求导法则来简化求导计算的方法.,例5 设,解 取已知函数的绝对值的对数,得,2.多个函数连乘或连除的导数,解,2.,解,1.,练一练,3.设函数,故,例如,消去参数,二、由参数方程所确定的函数的的导数,但是,有时消去参数 t 比较困难,所以我们希望直接由参数方程(1)得到 y 对 x 的导数.,时,有,由参数方程所确定的函数的求导法则:,时,有,(此时看成 x 是 y 的函数),例5 设,解,因为,解,方程组两边同时对 t 求导,得,设，,练一练,解,练一练,所求切线方程为,由参数方程所确定的函数的二阶导数:,利用新的参数方程,可得,解,例6 设,问题 已知,一阶导数可以看作新的参数方程,所确定的函数，再一次利用参数方程求导数,得,?,而,说明,解,求由参数方程 确定的函数的二阶导数.,练一练,解,练一练,解,练一练,解,相关变化率问题:,已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?,三、相关变化率（不讲）,例8,解,仰角增加率,例9,解,水面上升之速率,隐函数求导法则:直接对方程两边求导;,对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;,相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.,小结,思考题,思考题解答,不对,