可靠性概念、数据统计.ppt

可靠性工程,主要内容：一、可靠性基本概念二、可靠性数据统计分析三、可靠性预测、分配四、可靠性保证技术五、机械可靠性设计,主要参考书：1.刘易斯.实用可靠性工程.北京：航空工业出版社2.刘唯信.机械可靠性设计.北京：清华大学出版社3.肖德辉.可靠性工程.北京：航空出版社.4.王 超.机械可靠性工程 北京：冶金工业出版社,1 绪论1.1可靠性是一门新兴的学科1.2 可靠性发展简史 可靠性工程发展初期阶段（3040年代）1939年英国航空委员会首次提出飞机故障率为0.00001次/h 二次大战末期，德国火箭专家Lussen，提出串联系统的概念 1942年，MIT开始对真空管机械可靠性研究,一、可靠性工程基本概念,可靠性工程技术发展形成阶段（5060年代）1952年美国成立“电子设备可靠性顾问组”AGREE（Advisory Group on Reliability of Electronic Equipment）1957年提出电子设备可靠性报告 奠定可靠性理论基础 1958年美国成立ACGMR 导弹可靠性特设委员会 1959年美国国防部发布电子设备可靠性大纲 MIL-R-25717C 1968年美国航空局发布以可靠性为中心的维修大纲 60年代末美国40%的大学已经开设了可靠性的课程。,可靠性工程技术发展形成阶段（5060年代）主要是制定各种军用标准、规范，进行可靠性统计试验，建立可靠性标准体系 NASA将可靠性工程技术列为登月成功的三大技术成就之一 可靠性的国际化阶段（7080年代）可靠性保证阶段，实现以可靠性为中心的管理；从军事领域、电子、航空航天、核能扩展到电力、机械、土木、电力、保险风险评估等领域；从只重视硬件可靠性发展到硬件、软件并举，确保大型复杂设备的可靠性；重视可靠性工程试验，确保产品在规定的条件下具有规定的可靠性水平。,美国六七十年代就将可靠性技术引入汽车、发电设备、拖拉机、发动机等机械产品。80年代，美国罗姆航空研究中心专门作了一次非电子设备可靠性应用情况的调查分析 美国国防部可靠性分析中心（RAC）收集和出版了大量的非电子零部件的可靠性数据手册 以美国亚利桑那大学D.Kececioglu教授为首的可靠性专家开展机械可靠性设计理论的研究，积极推行概率设计法，提出开展机械概率设计的十五个步骤,由美国、英国、加拿大、澳大利亚和新西兰五国组成的技术合作计划（TTCP）委员会编制出一本常用机械设备可靠性预计手册,阀门、作动器、弹簧、轴承齿轮、花键、连接器离合器、联轴器、万向节电动机、泵、压气机、传感器,日本以民用产品为主，大力推进机械可靠性的应用研究 日本科技联盟的一个机械工业可靠性分科会将故障模式、影响（FMEA）等技术成功地引入机械工业的企业中 日本企业界普遍认为：机械产品是通过长期使用经验的累积，发现故障经过不断设计改进获得的可靠性 日本一方面采用成功的经验设计，同时采用可靠性的概率设计方法的结果以及与实物试验进行比较，总结经验，收集和积累机械可靠性数据,苏联（俄罗斯）对机械可靠性的研究十分重视，在其二十年科技规划中，将提高机械产品可靠性和寿命作为重点任务之一。发布了一系可靠性国家标准，这些标准主要以机械产品为对象，适于机械制造和仪器仪表制造行业的产品 在各类机械设备的产品标准中，还规定了可靠性指标或相应的试验方案 苏联（俄罗斯）还充分利用丰富的实际经验，研究并提出典型机械零件的可靠性设计可经验公式，专门出版机械可靠性设计手册 苏联（俄罗斯）还十分重视工艺可靠性和制造过程的严格控制管理，认为这是保证机械产品可靠性的重要手段,80年代以来机械可靠性研究在我国开始受到重视 从1986年起，机械部已经发布了六批限期考核机电产品可靠性指标的清单，前后共有879种产品已经进行可靠性指标的考核 1990年11月和1995年10月，机械工业部举行了两次新闻发布会，先后介绍了236和159种带有可靠性指标的机电产品 1992年3月国防部科工委委托军用标准化中心在北京召开了“非电产品可靠性工作交流研讨会”2005年GJB450改版，增加机械可靠性内容,1.3 可靠性研究的目的和意义 A 保证和提高产品的可靠性水平 B 提高经济效益 C 提高市场竞争力,可靠性的效益 一、用户效益 1、产品可靠性的提高，防止事故发生，保证用户安全。2、可靠性提高，成本投资相近，用户效益提高。3、可靠性提高，全寿命周期成本下降，节省维修费用。二、企业效益 1、可靠性提高，企业竞争力增强。2、可靠性提高，减少事故赔偿费用。,1.4 可靠性学科的研究内容 可靠性数学 研究解决各种可靠性问题的数学方法和数学模型。可靠性物理 研究各种失效机理和失效模型可靠性工程 以可靠性物理为背景，以可靠性数学为手段，解决各种工程问题，包括可靠性设计、可靠性预计、可靠性分配、可靠性增长、可靠性管理等,可靠性的定义（Reliability）：（GB3187-82）产品在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的能力（能力是用概率值表示）,Reliability 以R表示 从数学上讲：可靠性就是研究产品寿命的概率分布,可靠性的三大指标：狭义可靠性、有效性、贮存寿命,可靠性指标的估计：投入N个产品进行试验，到给定时间t时，有Ns个在正常工作；Nf个已经失效,是可靠度估计的平均值，置信度为50%,可靠度=95%表示取100个试样进行试验，到给定时间，仍有95个试样能正常工作。可靠度=95%，置信度=90%表示取100组试样，每组100个，进行试验，到给定时间，至少有90组试样，每组有95个试样能正常工作,产品可靠性指标,极限有效度,可用性,经济性,有效性,维修性,可靠性,平均有效度,瞬时有效度,平均修复时间,可靠寿命,平均寿命,失效率,累积失效概率,可靠性,修复率,维修度,保修费用率,全寿命周期成本,成本比 成本可用度,固有可用度,使用可用度,一件产品的可靠度与其生产、存储和使用均有关系RI（Inherent Reliability）固有可靠度RU（Use Reliability）使用可靠度RR（Redundant Reliability）储存可靠度,有效性：,可行性研究,要求,技术要求与合同,R要求,R技术要求与合同,设 计,零件材料分析加工,失效模式和影响分析,应力和最坏情况分析,冗余分析,M分析,R 估 计,设计评审,部件-总成制造,研制样机制造,重新设计修改,制 造,使用,性能试验,部件-总成试验,环境试验,加速试验,耐久试验,R验证,数据,设计评审,R 估 计,QC,试验,维修,筛选,数据,数据,R验证,R 估 计,R 估计,可靠性计划流程（BS5760）,2、可靠性特征量 1.可靠度 R(t)可靠度函数,可靠度估计量,不可修复产品试验,三件可修复产品试验,2.累积失效概率 F(t),3.失效概率 密度函数f(t),4.失效率,失效率估计值,失效率是工作到某时刻尚未失效的产品，在该时刻后单位时间内发生的失效概率，也称为故障率函数。,平均失效率,式中：tfi 第i个产品失效前的工作时间 Ns 整个试验期间未出现失效的产品数 Nf 整个试验期间出现失效的产品数,失效率单位：1 Fit=10-9/h,失效率的三种类型,I 早期失效(early failure)DFR(decreasing failure rate)II 偶然失效(random failure)CFR(constant failure rate)III 耗散失效(wear-out failure)IFR(increasing failure rate),常见的失效率曲线,平均寿命：不可维修产品MTTF(Mean Time to Failure)可维修产品MTBF(Mean Time between Failure,可靠寿命：给定可靠度，从R(t)=P(Tt)中反解出的t值,中位寿命：给定可靠度为时的寿命,更换寿命：给定,从,中反解出的t值,失效率,概率密度函数,可靠度,累积失效概率,2.可靠性中常用的寿命分布,正态分布：随机变量由大量的互相独立的，微小的随机因素的总和构成,随机变量的均值随机变量的标准差(尺度参数),1、f(t)曲线以m为对称轴2、f(t)曲线在ms处有拐点3、t=m时，f(x)有最大值4、当 时，5、曲线f(t)以t轴为渐近线，且6、给定s，改变m，曲线f(t)仅沿t轴偏移7、给定m，改变s，图形对称轴不变但图形本身改变,随机变量的取值落在m3s范围内的概率为99.73%（3s原则）,进行正则变换：,则：,标准正态分布,机械可靠性中材料的强度极限、磨损寿命、测量误差等,累积失效概率,可靠度,对数正态分布：,累积失效概率,可靠度,机械可靠性中材料的疲劳强度极限、疲劳寿命等,威布尔分布；由最弱链模型导出,形状参数尺度参数位置参数,累积失效概率,可靠度,失效率,DFR,IFR,CFR,数字特征,三个参数的意义：,1、形状参数：,2、位置参数：,3、尺度参数：,f(t)曲线单调下降,f(t)为指数曲线,f(t)曲线出现峰值后下降,当m=34时可以认为是正态分布,不同的尺度参数，其概率密度函数曲线的宽度和高度均不同,指数分布：,当m=1时的威布尔分布,CRF型,两参数指数分布,指数分布的无记忆性：寿命服从指数分布的元件，工作到t0时，如仍能正常工作，在t t0后的工作寿命仍然是原来的分布,指数分布的无记忆性表明：一个寿命服从指数分布的元件，已经工作到t0，再工作t后的可靠性与t0无关。,I型极值分布：,I型极大值分布：,作变换：,标准极大值分布,R(t),l(t),f(t),I型极小 值分布：,作变换：,标准极小值分布,3.1 串联系统的可靠性模型,若各事件互相独立,3 系统可靠性模型,特别地如果各个单元的寿命为指数分布,例：某系统由三个单元串联构成，若各个单元的平均失效时间分别为250，100，250h，求系统的平均失效时间，并求系统和各个单元再30h的可靠度（设各个单元均服从指数分布）,3.2 并联系统的可靠性模型,事件As和Ai为系统和单元正常工作，事件As和Ai为系统和单元不正常工作,若各个单元寿命为指数分布,求系统平均寿命：,上式表明并联系统的寿命不再服从指数分布,当n=2时,当各个单元的失效率相同时,当较大时,当n=2时,当n=3时,例：某液压系统，采用2个滤油器组成串联系统，滤油器的失效有两种模式，即堵塞和破损。设两种模式的失效率相同，分别为,工作时间为1000小时，试求：（1）在堵塞情况下，系统可靠度、失效率和平均寿命。（2）在破损情况下，系统可靠度、失效率和平均寿命。,结构图,堵塞可靠性模型,破损可靠性模型,3.3、串并联系统（附加单元系统）,3.4并串联系统（附加通路系统）,m条,3.5 复杂的混联系统,3.6 n中取k表决系统可靠性模型,1、2/3G系统,若各个单元寿命为指数分布,当各个单元的失效率相同时,2、（n-1）/nG系统,当各个单元的可靠度相同时,特别地如果各个单元的寿命为指数分布,例：设单元寿命服从指数分布，失效率为0.001 1/h，求100h和1000h时下述系统的可靠度。(1)一个单元系统；(2)二单元串联系统；(3)二单元并联系统；(4)2/3表决系统,T=100h,T=1000h,3.7 贮备系统可靠性模型,1、冷贮备系统,系统平均寿命,概率密度函数,1）、当两个单元的寿命为指数分布时,当两个单元的失效率相等时,2）、当n个单元的寿命为失效率相等的指数分布时,3）、若一个系统，需要L个单元同时工作，系统才工作，另有n个单元作贮备，每个单元的寿命为失效率相等的指数分布。,L个单元工作的可靠度为,4）、若一个二单元系统，其每个单元的可靠度为,寿命为,当单元A1失效，若开关已失效，系统的寿命就是单元A1的寿命,当单元A1失效，若开关不失效，系统的寿命就是单元A1加A2的寿命,系统的可靠度和平均寿命为,特别地,若开关不使用时，其失效率为0，使用时，可靠度为,此时系统的可靠度和平均寿命为,特别地,2、热贮备系统,1）、开关完全可靠的两单元热贮备系统,假设一个单元工作，其可靠度为 另一个单元作热贮备，贮备期间可靠度为 工作时可靠度为,如果将备用单元在备用期内的可靠度等价地视为开关不完全可靠时的可靠度。则可以利用冷贮备系统的公式,特别地,为两单元冷贮备系统,为两单元并联系统,2）、开关不完全可靠的两单元热贮备系统,设工作单元、贮备单元在工作期间和开关的寿命分别为 而备用单元在备用期的寿命为X。且均服从指数分布，其失效率为,系统的可靠度和平均寿命为,特别地,若开关不使用时，其失效率为0，使用时，可靠度为,此时系统的可靠度和平均寿命为,3.8 一般网络系统可靠性模型,并网供电系统,1、结构函数,1、最小路集和最小割集,系统由n个单元组成，用二值变量xi表示第i个单元状态，1表示工作，0表示失效，则系统状态可用下述结构函数表示：,路集是系统单元状态变量的子集，当子集中所有的单元工作时系统工作。任一单元失效时系统发生失效的路集成为最小路集。,割集是系统单元状态变量的子集，当子集中所有的单元失效时系统失效。任一单元工作时系统不发生失效的割集成为最小割集。,如图所示的网络系统，求系统所有的路集、割集、最小路集和最小割集,路集,最小路集,割集,最小割集,2、状态枚举法,状态7系统正常工作的概率为,系统正常工作的事件为,系统可靠度为,概率图法是在状态枚举法的基础上进行,3、概率图法,采用Gary编码编排表头，以“1”表示系统或单元工作，以“0”表示系统或单元失效。下图是六个单元组成系统的概率图,各个方块从左至右进行合并简化的经过为：,4、全概率分解法,应用全概率分解法首先选择系统中的任意一个单元，然后按该单元处于工作与失效两种状态，用全概率公式计算系统的可靠度。,则系统可靠度为：,设选择单元Ax的可靠度为 不可靠度为,为单元Ax工作条件下，系统工作的概率；,为单元Ax失效条件下，系统工作的概率；,则系统可靠度为：,4、贝叶斯方法,假定B1,B2,，Bn是样本空间的一个划分，由条件概率的定义,由全概率公式,引起事件A发生的原因是n个互不相容的事件B1,B2,，Bn中的若干个。当A发生时，要寻求其发生的原因，必须求得A出现的条件下，Bi发生的概率。概率最大者，认为是引起A发生的原因。,也可以理解为先验概率和后验概率的关系。,离心泵出口管路中安装有三个阀门，三个中任意两个失效，系统失效。已知三个阀门失效概率分别为20%，40%和30%，问整个系统发生故障的原因。,用事件B1表示第一和第二阀门失效，事件B2表示第一和第三阀门失效，事件B3表示第三和第二阀门失效第三个阀门未失效。,利用乘法公式,用事件B1,B2,B3只有一个发生，事件A必然发生,用事件A表示系统失效。,某增压系统，当增压机完好率为75%时，系统能够实现额定能力的80%，当增压机发生某种故障，处于“不满负荷”状态时，系统能够完成额定能力的30%，设计一个新系统要求达到额定能力，增压机的完好率,A为系统达到额定能力，B1为增压机运行完好，B2为增压机”不满负荷“,对于事件A和B，由贝叶斯定理得到的公式为,事件A发生的概率,假定事件B发生时事件发生的概率,事件B不发生的概率,系统成功的概率,设备D成功的概率,如果D的可靠度为RD，则：,系统可靠度为：,二、可靠性数据的统计分析,可靠性数据统计分析方法1、参数方法2、非参数方法,非参数方法,N为产品数，到t时刻有Ns个再工作，有Nf个失效,时间内的平均失效概率密度和平均失效率为,参数方法,1、参数估计,X母体分布函数F（x）未知，求E（X），D（X）X母体分布函数已知，求分布参数X母体分布函数已知，求数字特征点估计区间估计,设容量为n的子样，X1，X2，X3，Xn，为未知分布参数,区间估计,点估计,点估计,无偏性一致性有效性,若,则称,的无偏估计量,若,的无偏估计量,则称,的一致估计量,若,均为的无偏估计量,如果：,则称,更有效,点估计方法,用子样的各阶矩去估计母体的各阶矩,K阶原点矩,K阶中心矩,如果分布函数形式已知，参数未知，若母体的各阶矩已知,若对母体进行n次观察，得到子样各阶矩,令,利用前m阶矩得到m个方程，从而解得分布参数,无偏估计,偏态系数，峰度,2、极大似然法,当母体分布已知，对于连续型随机变量的PDF为,母体x的子样的联合概率密度函数为,若有,构造似然函数,使得,则称,为母体的极大似然(最大可能性)估计量,似然方程,由于似然函数取对数后与原函数在同一点取得极值,解方程求得分布参数,求两参数威布尔分布的极大似然估计,解上方程得：,数值解法,最小二乘法,累积失效分布函数值的估计（秩 RANK）,取容量为n的子样，并排乘顺序子样,另取容量为n的子样，并排乘顺序子样,F(xi)是一随机变量，服从 分布，其概率密度函数为：,或,均方误差,1,2,3,4,求两参数威布尔分布的最小二乘估计,因为,令,则,设有n个子样，排成顺序子样：,令,则,由最小二乘法,联立求解得,作逆变换,则区间 为 的 置信区间,区间估计,由于点估计本身是一个随机变量，因此需要知道其范围和该参数被包含在其中得可能性,设母体的PDF为f(x,),其中未知，对于给定的(01)由样本 确定的统计量 和 使之满足,意义：若反复抽样，每一组样本都有一个，每一个区间可能包含真值，也可能不包含真值，包含真值的概率为,数学期望的估计,1、已知D(X)，对E(x)进行区间估计2、未知D(X)，对E(x)进行区间估计,1、已知D(X)，对E(x)进行区间估计,设X为正态分布，样本均值为,也为正态分布。,若,成立,对于非正态分布的X，按中心极限定理，当子样容量足够大时，也可以按上式进行估计，,2、未知D(X)，对E(x)进行区间估计,当子样容量n较大时，子样方差是母体方差的良好估计，用子样方差代替母体方差用上述方法进行估计。,当子样容量n较小时，子样标准差的无偏估计为：,统计量,服从自由度为n-1的t分布,为自由度，等于n-1,方差的区间估计,从正态分布的母体取n各子样，用方差,对 进行估计。是一个无偏估计,但不知道 和 相差多少,构造统计量,服从自由度为n-1的 分布,的取值区间为：,统计推断（分布的适应性检验）,收集到可靠性试验的数据后，对其分布进行假设，然后对假设的正确性进行检验。,直方图法,将收集到的可靠性试验数据进行分组统计分析，作出直方图，提供直方图简单判断其分布类型，如正态或偏态等。,作直方图时为了体现有关分布的的信息，数据的分组必须合理。如果分组太少，则分布性质由于缺乏清晰度而变得模糊不清；如果分组太多，则由于过大的频次波动而掩盖了分布的特性。,其中：,组间隔,样本数量,样本极差,对某汽车制动距离进行70次测量，结果以不同的分组 间隔绘出直方图如下：,分布的适应性检验,检验所犯的两类错误,主要依据：小概率事件在一次试验中不可能出现。,第一类错误，弃真,第二类错误，取伪,子样容量确定后，犯两类错误的概率不可能同时减小，减少一个，另一个往往会增加；要同时减少只有增加子样容量,一般情况总是控制第一类错误的概率，通常取0.1，0.05，0.01等值,检验法,设母体分布函数为：,为已知的分布函数形式,将母体子样的取值范围分成m份，即m各区间(a0,a1)(am-1,am)要求每个区间的端点为F0(x)的连续点，子样落在第i个区间内的频率为ni,令Pi为第i个子样落在第i个区间内的概率,如果子样的总数为N，则NPi是随机变量落在第i个区间内的理论频数，而实际频次为ni。,皮尔逊定理：如果H0成立当,时,统计量,服从自由度为m-1的 分布,对于给定的,H0成立,要求：,1、N一般比较大，N502、若F0中有r个未知数，可由矩法或极大似然法确定，这时自由度为m-r-1。3、工程中将自由度由m-1变为m-2,法兰盘垫片的密封试验，在规定的泄漏率指标下，测得的50个泄漏压力为：15.2，15.0，14.9，14.8，14.5，15.1，15.5，15.5，15.1，15.1，15.0，15.3，14.7，14.5，15.5，15.0，14.7，14.6，14.2，15.9，15.2，15.8，14.6，14.2，14.9，15.1，15.6，15.3，15.0，15.2，14.9，14.9，14.2，14.5，14.8，15.7，15.6，15.0，15.3，15.1，15.3，15.6，15.5，14.8，14.7，15.9，15.1，15.2，15.8，15.0,假设为正态分布，由矩法估计得：,故,子样分组间隔为0.3,给定,自由度为7-2-2,K-S检验法:(柯尔莫哥洛夫斯米尔诺夫),设母体分布函数为：,为已知的分布函数形式,统计量为,其中,当给定 时,拒绝H0,接受H0,压缩机阀片的疲劳试验结果如下（单位：小时）,1600，900，420，1060，1200，1300，920,试问寿命是否为指数分布,由矩法得,接受H0假设,3、概率纸方法,(比较简单直观的工程方法),如果随机变量,作变换,则有,随机变量X与标准正态分布的随机z之间存在线型关系，而每给定z值就有一个相应的,正态概率坐标纸,1、如果x服从正态分布，则在正态概率坐标纸上 为一直线,2、在直线的两边可以进行区间估计,3、如果未知分布，但绝大多数点在某一直线附 近，可以进行点估计,4、如果已知x为正态分布，但在图中不是直线，说 明某些数据点有问题，需查找原因,正态概率坐标纸的作用,正态概率坐标纸的使用,1、将数据排成顺序子样,2、估计累积失效概率,3、点数据，看是否是直线,点估计,区间估计,对于给定显著水平或置信度（1-）和子样容量n，可以查表求得,可靠寿命区间估计,给定R0，作一水平线，得到相应的tL0，t0，tU0，分别表示可靠寿命的下限、中值和上限。,可靠度区间估计,给定t，作一垂直线，得到相应的FL(T)，F(t)，FU(t)，分别表示失效概率的下限、中值和上限。,相应的可靠度的下限、中值和上限为1-FL(T)，1-F(t)，1-FU(t)，,另外还可以比较两批产品是否有明显差异。,8个弹簧进行寿命试验结果如下,图估计,解析法,如果随机变量服从对数正态分布，取对数后为正态分布,作变换,则有,对数正态概率坐标纸,与正态概率坐标纸相比，对数正态概率坐标纸只是将横坐标由线性坐标变成对数坐标。,注意：,威布尔概率坐标纸,参数估计,m的估计：过(1,0)点作一条平行线。由点斜式,的估计：利用分布直线与z轴的交点,当x=时，F(t)=63.2%,当分布线跑到坐标纸外时,m的估计：依然由过(1,0)点作一条平行线得到。,的估计：,如果数据服从威布尔分布，数据点在坐标纸中是一条直线；但数据在威布尔坐标纸中不是直线，不一定不是威布尔分布,由于威布尔分布可以是三参数分布,对于三参数威布尔分布可以采用曲率修正法,注意：,一组试样的疲劳寿命试验结果如下,当,曲线下弯,当,曲线上弯,指数分布概率坐标纸的构成：,极值分布概率坐标纸的构成：,取两次对数：,10个样本进行耐久性试验，其中6个寿命为181，268，311，360，408，485小时，由于试验装置故障，由2个样本分布在287，324小时终止试验，另外2个样本到试验终止时仍在工作。假设是威布尔分布，确定可靠度为90%的寿命,有终止项后的各平均次序数按下面的方法进行计算,平均次序=（前项平均次数）+（新加项）,对于S1,对于F3的平均次序数=2+1.125=3.125,对于S2，,对于F4的平均次序数=3.125+1.313=4.438,计算中位秩,对于F3,回归分析,一元线性回归：,对于给定的n对数据点(x1,y1),(xn,yn),如果可以配成一条直线,对于给定的xi，观测值与计算值的误差为：,用最小二乘法估计a，b,其中,相关系数,对于任意给定一组数据，均可建立线性回归方程，但是否是线性需进行线性相关性检验；对于给定样本容量和置信度，相关系数要有一起码值，即查秩相关系数检验表。,多元线性回归：,有n组数据：(x11,x21,xm1),(x1n,x2n,xmn)，且(x1,x2,xm)互相独立,满足：,用最小二乘法估计系数,其中,非线性回归,可以转化成线性回归问题的非线性回归问题：,对于给定的n对数据点,确定中的非线性参数B，使得：,先给定 一个初始的近似值，并计初值与真值之差为。则：这时确定 的问题就转化为确定。对于 在点 附近作泰勒级数展开，并略去二次以上的高次项，得：,其中,要使得Q为最小，依极值原理必有：,其中,为了使上)式在迭代过程中有良好的收敛性，将上式改写为,式中为大于0的数,1963 Marquadt提出,