可降阶的高阶微分方程.ppt

一元微积分学,大 学 数 学（一）,第三十四讲 常微分方程,第七章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.,第三节 几种可降阶的高阶常微分方程,二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。,通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。,“降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。,这是变量可分离的方程，两边积分，得,即,解,解,这是一个一阶微分方程。设其通解为,连续积分即可求解。,解,两边积分，得,即,再积分，得原方程的通解,解,分离变量，得,积分，得,连续积分 4 次，得原方程的通解为,于是，原方程化为,这是一个一阶微分方程。设其通解为,这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。,解,于是，原方程化为,两边积分，得,运用分离变量法，得此方程的通解为,综上所述，原方程的通解为,解,即,从而,即,运用分离变量法求解此方程，即得原方程的通解：,形如,的方程称为克莱罗方程，其中函数 f 为可微函数。,可以直接写出该方程的通解：,并且由下列方程组可求得该方程的奇解：,证,将克莱罗方程两边关于 x 求导，得,(通解),解,原方程即,由题意,这是一个克莱罗方程，故其通解为,故原方程有奇解,综上所述，原方程的通解为,且方程还有奇解,