力矩分配法讲解.ppt

,第十六章 力矩分配法,第十六章 力矩分配法,16.1 力矩分配法的基本原理,16.2 多结点的力矩分配法,返回,力法和位移法是计算超静定结构的两种基本方法。它们都要建立和求解联立方程，当基本未知量较多时，手算工作十分繁重。本章介绍的力矩分配法属于渐近解法，它的特点是不需建立和解算联立方程，直接分析结构的受力情况，从开始的近似状态，逐步修正，最后收敛于真实解，直接算得杆端弯矩值。,16.3 多层多跨刚架的近似计算,第十六章 力矩分配法,第十六章 力矩分配法,返回,【学习要求】1.了解转动刚度、分配弯矩和传递弯矩等概念，掌握力矩分配法的基本原理。2.熟练掌握用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架的内力。3.掌握用分层法和反弯点法对多层多跨刚架进行近似计算。,目录,16.1 力矩分配法的基本原理,16.1.1 力矩分配法的解题思路,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,以具有一个刚结点的刚架图a为例说明其解题思路。,当不考虑杆件轴向变形时，在荷载作用下刚结点1处不产生线位移，只产生一个角位移Z1。,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,目录,刚架中各杆的杆端弯矩值可看成是由两种因素引起的，一种是刚结点处不产生角位移，只由荷载引起的杆端弯矩值，即相当于结点1处附加刚臂，以 约束转动时，荷载引起的杆端弯矩值，如图b所示，我们称其为固定状态。,R1F,于是我们可以分别对固定状态和放松状态进行算，再把算得的各杆杆端弯矩值对应叠加，即得到原刚架各杆的杆端弯矩值。,另一种是刚结点产生Z1角位移所引起的杆端弯矩值，即相当于在结点1处施加一力矩，使结点1转动Z1角时的杆端弯矩值，如图c所示，我们称其为放松状态。,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,目录,M1=R1F,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,16.1.2 力矩分配法的基本运算,1固端弯矩 我们先对固定状态图b进行计算。在此状态中刚结点不产生角位移，故此情况下荷载引起的杆端弯矩称为固端弯矩，以 表示。刚架的固端弯矩值同位移法计算一样，可根据荷载情况及杆两端约束情况从表15.1中查出，然后利用图d中结点1的力矩平衡条件可以求得1点约束力矩。即,R1F,上式表明，约束力矩 等于汇交于该结点的各杆固端弯矩的代数和，以顺时针转向为正。汇交于结点的各杆的固端弯矩不能平衡，其离平衡所差的力矩值正好等于约束力矩，故 也称为不平衡力矩。,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,目录,写成一般式为,现在对放松状态图c进行计算。此状态中，在结点1的力矩M1的作用下，各杆1端都产生了Z1角位移，由表15.1，各杆1端的杆端弯矩为,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,2.力矩分配系数和分配弯矩,式中，S1j（j=2，3，4）杆件在1端的转动刚度。,（a）,目录,转动刚度 SAB 是指杆件AB在A端产生单位角位移时，在A端所需施加的力矩值。其中转动端（A端）又称为近端，不转动端（B端）又称为远端。下图给出了等截面的直杆远端为不同约束时的转动刚度。,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,（f）,SAB=4i,SAB=3i,SAB=i,SAB=0,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,由结点1的平衡条件(图e)，有,汇交于结点1的各杆1端转动刚度之和。,式中：,故,S12Z1S13Z1S14Z1=M1,或,M12 M13M14=M1,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,目录,将Z1代入式（a），得,（b）,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,由此可见，各杆1端的弯矩与各杆1端转动刚度成正比。式（b）可写为,（c）,（d）,则式（c）可表示为 Mij=ij Mi,令,式中：ij力矩分配系数。显然，同一结点各杆力矩分配系数之和应等于1，即,ij=1,目录,利用上式计算各杆近端分配弯矩的过程，又称为力矩分配。,为了区别由其他运算得到的杆端弯矩值，把由式（d）算得的杆端弯矩以M表示，称为分配弯矩。即,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,等直杆ij，当i端转动时，杆ij变形，从而使远端j也产生一定弯矩。在放松状态中，通过力矩分配运算，各杆的近端弯矩已经得出，现在考虑远端弯矩的计算。杆的远端弯矩与近端弯矩的比值，称为由近端向远端传递弯矩的传递系数。即,3传递系数和传递弯矩,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,当远端取不同约束时，由上图可知其传递系数为 远端固定 Cij=1/2 远端铰支 Cij=0 远端定向支承 Cij=1,SAB=4i,SAB=3i,SAB=i,SAB=0,2i,i,0,C=1/2,C=1,C=0,0,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,利用传递系数的概念，各杆的远端弯矩为,（e）,为了区别由其他运算得到的杆端弯矩值，把由式（e）算得的杆端弯矩以 表示，称为传递弯矩。即,利用上式计算各杆远端传递弯矩的过程称为力矩传递。,综合以上运算过程，把固定状态下各杆固端弯矩与放松状态中对应各杆的分配弯矩值及传递弯矩值相叠加，就得到各杆的杆端最后弯矩值，据此可绘出弯矩图。这种计算方法称为力矩分配法。,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,4）叠加计算各杆端最后弯矩。将各杆固端弯矩与对应的分配弯矩或传递弯矩叠加，便得到各杆端最后弯矩。即。5）绘制原结构的内力图。,单结点力矩分配法的计算步骤可归纳如下：,1）由式 计算结点处各杆的力矩分配系数ij（可由 ij=1验算）。,2）固定结点。查表15.1算得各杆固端弯矩，计算不平衡力矩=。,3）放松结点。相当于在结点处施加一转动力矩。由式=ij Mi计算分配弯矩，由式 计算传递弯矩。,16.1.2 单结点的力矩分配法,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,【例16.1】试用力矩分配法计算图a所示两跨连续梁，并绘制弯矩图。,【解】1）计算力矩分配系数。,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,2）计算固端弯矩和不平衡力矩,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,3）计算分配弯矩。,4）计算传递弯矩。,5）计算杆端最后弯矩。,MCB=0,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,以上计算过程也可列表进行（见下面算表）。,（b）,（b）M图(kNm),6）绘M图。根据杆端最后弯矩值，绘出M图如图b所示。,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,【例16.2】试用力矩分配法计算图a所示刚架，并绘制弯矩图。已知各杆弯曲刚度EI 为常数。,则有,BD=0,【解】1）计算力矩分配系数。令,SBD=0,SBC=41=4,SBA=31=3,目录,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,2）计算固端弯矩和不平衡力矩。,3）力矩分配与力矩传递计算列表进行（见下面算表）。,第十六章 力矩分配法力矩分配法的基本原理,目录,4）根据杆端最后弯矩绘出M图如图b所示。,（b）M图(kNm),目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,16.2 多结点的力矩分配法,连续梁在中间跨受集中荷载作用，其变形曲线的实际情况如图a的虚线所示。为计算梁的弯矩，可按以下步骤进行。,第一步，在结点B、C处加刚臂约束转动。然后再加荷载F，结点B、C的不平衡力矩分为、。此时，仅在荷载作用跨有变形如图b所示。,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,第二步，松开B点的约束刚臂（C点约束刚臂仍夹紧），B点产生一个角位移，如图c所示。同时消除了B点的不平衡力矩，即将 反号进行力矩分配、传递。这时C结点上的不平衡力矩又新增加了，它等于B点力矩分配时传递来的传递力矩。,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,第三步，重新约束B点，然后松开C点的约束刚臂，C点产生一个角位移，如图d所示。同时将C点的不平衡力矩 反号进行力矩分配、传递。这时B结点又重新产生了一个不平衡力矩，它等于C点放松时传递过来的传递力矩。,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,至此，完成了第一轮计算。连续梁变形曲线和杆端弯矩已比较接近实际情况，为了进一步消除不平衡力矩，可重复第二步和第三步，进行第二轮计算。依次类推，经过几轮计算后，直到各点不平衡力矩很小时，就可停止力矩分配、传递。,第四步，把以上计算过程中各杆杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩 对应叠加，就得到该杆端弯矩的最后值。,由上可见，对于具有多个刚结点的连续梁和无侧移的刚架，用力矩分配法得到的结果是渐近解，因而该法属于渐近法。为了使计算的收敛速度较快，通常可从不平衡力矩较大的刚结点开始计算。,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,【例16.3】试用力矩分配法计算图a所示连续梁，并绘制弯矩图。已知各杆弯曲刚度EI为 常数。,【解】1）计算力矩分配系数。,2）计算固端弯矩。,3）放松结点C，固定结点B（因C结点的不平衡力矩较大），进行力矩分配和传递。,4）固定结点C，放松结点B，进行力矩分配和传递。,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,5）将固端弯矩 与各轮计算中的分配弯矩、传递弯矩 叠加得杆端最后弯矩Mij。计算过程见,6）由各杆端最后弯矩绘出M图，如图b所示。,例16.3 算表,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,【例16.4】试用力矩分配法计算图a所示连续梁，并绘制弯矩图。已知各杆弯曲刚度EI为常数。,【解】连续梁具有伸臂部分EF，EF为静定部分，其内力可由平衡条件求得。为了计算简便，可将该部分对梁的作用等效替换到E点，并将E点变为铰支座如图b所示，以此代替原结构进行计算。,1）计算力矩分配系数。,2）计算固端弯矩。,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,3）力矩分配和传递。为了使计算的收敛速度快一些，当结点数多于两个时，放松过程可分两组进行。第一组为结点B和结点D同时放松，结点C固定。第二组为结点C放松，同时固定B、D两点。计算过程见,例16.4算表,4）由杆端最后弯矩绘出M图，如图c所示。,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,【例16.5】试用力矩分配法计算图a所示两层单跨刚架，并绘制弯矩图。,【解】利用对称性，取图b所示半刚架进行计算。,1）计算力矩分配系数。,2）计算固端弯矩。,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,3）力矩分配和传递过程见,例16.5算表,4）由杆端最后弯矩及对称性绘出M图，如图c所示。,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,16.3 多层多跨刚架的近似计算,用精确法计算多层多跨刚架，通常计算工作量很大，如不借助于计算机，计算往往非常困难。在一定条件下，近似法可以用较小的计算工作量，取得较为粗略的解答，用于初步设计和估算具有一定实用价值。,16.3.1 竖向荷载作用下的近似计算法分层法,分层法适用于计算多层多跨承受竖向荷载作用的刚架。它采用了如下两个近似假定：,1）忽略侧移影响。,2）忽略每层横梁上的竖向荷载对相邻层的影响。,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,根据以上两点假设，我们就可把一个多层刚架图a，分成若干单层敞口刚架图b分别计算，然后再把计算结果对应叠加。,（a）,（b）,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,注意：在各分层刚架中，柱的远端都假设为固定端。实际上，除底层外 其余各层柱的远端应看成弹性固定端。为了反映这个特点，可将除底层外的各柱线刚度乘以折减系数0.9，相应传递系数由 改为。,分层计算的结果，在刚结点上弯矩是不平衡的，但一般误差不会很大。如有必要，可对各结点的不平衡弯矩再作一次力矩分配，但不传递。,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,【例16.6】试用分层法计算图a所示刚架，并绘制弯矩图。,【解】1）将图a所示刚架分为上、下两个刚架图b。上层柱的线刚度乘以系数0.9。,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,2）忽略侧移，上、下两刚架分别用力矩分配法计算。上层刚架计算时，由对称性可取半刚架图c计算。两层刚架计算过程见例16.6算表。根据杆端最后弯矩，绘出上、下层弯矩图如图d、e所示。,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,3）将上、下两层弯矩图对应叠加后即为最后弯矩图如图f所示。,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,例16.6 算表（力矩单位：kNm）,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,前面介绍的分层法，不能应用于承受水平荷载作用的刚架。因为此时不能忽略侧移的影响，而且荷载的影响也不局限于本层。反弯点法是多层多跨刚架在水平结点荷载作用下常用的一种近似计算法。反弯点法的近似假定是把刚架中的横梁简化为刚性梁，即忽略了杆件的角位移。因此，反弯点法对于强梁弱柱的情况最为适用。,16.3.2 水平荷载作用下的近似计算法反弯点法,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,图a所示的简单刚架，当横梁与立柱线刚度之比 ib/ic=3时，便是属于强梁弱柱的情况，其弯矩图如图b所示。,(a),目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,对以上两个弯矩图进行比较可以看到，对于强梁弱柱的刚架（即 ib/ic 3），如果把横梁看成完全刚性杆（ib=），则弯矩的相对误差仅在5%左右。故当横梁与立柱线刚度比 3时，可把横梁看成完全刚性杆，用反弯点法计算。,如果横梁ib=时，其弯矩图如图c所示。,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,刚架在水平结点荷载作用下，如果横梁为完全刚性杆（ib=），刚架的变形特点是：结点有侧移而无转角；内力特点是：各杆弯矩图均为一条直线的图形，而柱中点的弯矩为零(上图c)。弯矩为零的点称为反弯点。利用这些特点，如果求出各柱端剪力，根据反弯点在柱中点，用剪力乘以柱高的一半就可计算出柱端弯矩，再根据结点平衡条件，可求出梁端弯矩，从而绘出刚架的弯矩图。下面介绍在一般情况下，各柱端剪力的计算。,1、反弯点法计算思路,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,图示横梁为刚性梁，两柱刚度不相等，柱高不同的刚架（下图a）。在水平结点荷载作用下，立柱两端产生了相对侧移，由表15.1，两柱端的剪力分别为,令,(a),2、各柱端剪力的计算,式中：Di柱的侧移刚度。,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,侧移刚度的物理意义为柱顶单位侧移所引起的剪力。则有,取横梁为研究对象（图b），由平衡条件有,由式（b)、(c)得,(b),(c),代入式（b)，得,(b),目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,由式 可见，荷载F按剪力分配系数分配给各柱。,令,则有,或,式中：i剪力分配系数。它等于i柱的侧移刚度除以同层各柱侧移刚度之和。,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,反弯点法的计算要点归纳如下：1）刚架在结点水平荷载作用下，当梁、柱线刚度之比,3、反弯点法计算要点,3时，可假设刚结点不产生转角，只有侧移。,2）计算柱端弯矩。由式 计算各柱侧移刚度，再由式 计算各柱剪力分配系数，用剪力分配系数乘以该层以上水平荷载的总和即得该柱的柱端剪力，由柱端剪力乘以反弯点至柱顶距离可得柱端弯矩。,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,而各自的大小则应按梁的线刚度i来分配。即,3）计算梁端弯矩。对于边结点只有一个梁端弯矩Mb（图a），应与上、下柱端弯矩平衡，即,对于中间结点（图b），应与柱端弯矩平衡，即,+=（+）,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,【例16.7】试用反弯点法计算图a所示刚架，并绘制弯矩图。图中括号内数字为杆件线刚度的相对值。,【解】1）计算各柱剪力分配系数。,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,2）计算各柱端剪力。,3）计算各柱端弯矩。,目录,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,4）计算各梁端弯矩。,第十六章 力矩分配法多层多跨刚架的近似计算,5）绘出弯矩图。根据各杆端弯矩绘出弯矩图，如图b所示。图中括号内数值为精确法计算出的杆端弯矩。,目录,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,【例16.3】试用力矩分配法计算连续梁图（a），并绘制弯矩图。已知各杆EI为 常数。,【解】1）计算力矩分配系数。,2）计算固端弯矩。,3）放松结点C，固定结点B（因C结点的不平衡力矩较大），进行力矩分配和传递。,4）固定结点C，放松结点B，进行力矩分配和传递。,5）将固端弯矩 与各轮计算中的分配弯矩、传递弯矩 叠加得杆端最后弯矩Mij。计算过程见。,6）由各杆端最后弯矩绘出M图，如图（b）所示。,例16.3 算表,70.84,101.61,令 EI=1则有（单击鼠标左键返回）,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,【例16.3】试用力矩分配法计算连续梁图（a），并绘制弯矩图。已知各杆EI为 常数。,【解】1）计算力矩分配系数。,2）计算固端弯矩。,3）放松结点C，固定结点B（因C结点的不平衡力矩较大），进行力矩分配和传递。,4）固定结点C，放松结点B，进行力矩分配和传递。,5）将固端弯矩 与各轮计算中的分配弯矩、传递弯矩 叠加得杆端最后弯矩Mij。计算过程见。,6）由各杆端最后弯矩绘出M图，如图（b）所示。,例16.3 算表,70.84,101.61,（单击鼠标左键返回）,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,【例16.3】试用力矩分配法计算连续梁图（a），并绘制弯矩图。已知各杆EI为 常数。,【解】1）计算力矩分配系数。,2）计算固端弯矩。,3）放松结点C，固定结点B（因C结点的不平衡力矩较大），进行力矩分配和传递。,4）固定结点C，放松结点B，进行力矩分配和传递。,5）将固端弯矩 与各轮计算中的分配弯矩、传递弯矩 叠加得杆端最后弯矩Mij。计算过程见。,6）由各杆端最后弯矩绘出M图，如图（b）所示。,例16.3 算表,70.84,101.61,C点处的不平衡力矩为=75kNm120 kNm=45 kNm分配弯矩为 0.6445kNm=28.8 kNm 0.3645kNm=16.2 kNm传递弯矩为 kNm（单击鼠标左键返回）,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,【例16.3】试用力矩分配法计算连续梁图（a），并绘制弯矩图。已知各杆EI为 常数。,【解】1）计算力矩分配系数。,2）计算固端弯矩。,3）放松结点C，固定结点B（因C结点的不平衡力矩较大），进行力矩分配和传递。,4）固定结点C，放松结点B，进行力矩分配和传递。,5）将固端弯矩 与各轮计算中的分配弯矩、传递弯矩 叠加得杆端最后弯矩Mij。计算过程见。,6）由各杆端最后弯矩绘出M图，如图（b）所示。,例16.3 算表,70.84,101.61,不平衡力矩为=80kNm75 kNm14.4 kNm=19.4 kNm分配弯矩为 传递力矩为 至此进行了第一轮计算。第二轮计算，重新固定B点，放松C点，把第一轮计算中B点传来的新不平衡力矩 反号分配、传递，依次进行下去，直至达到精度为止。（单击鼠标左键返回）,目录,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,【例16.4】试用力矩分配法计算连续梁图（a），并绘制弯矩图。已知各杆EI为常数。,【解】连续梁具有伸臂部分EF，EF为静定部分，其内力可由平衡条件求得。为了计算简便，可将该部分对梁的作用等效替换到E点，并将E点变为铰支座如图（b）所示，以此代替原结构进行计算。,1）计算力矩分配系数。,2）计算固端弯矩。,3）力矩分配和传递。为了使计算的收敛速度快一些，当结点数多于两个时，放松过程可分两组进行。第一组为结点B和结点D同时放松，结点C固定。第二组为结点C放松，同时固定B、D两点。计算过程见。4）由杆端最后弯矩绘出M图，如图（c）所示。,例16.4算表,令则有（单击鼠标左键返回）,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,【例16.4】试用力矩分配法计算连续梁图（a），并绘制弯矩图。已知各杆EI为常数。,【解】连续梁具有伸臂部分EF，EF为静定部分，其内力可由平衡条件求得。为了计算简便，可将该部分对梁的作用等效替换到E点，并将E点变为铰支座如图（b）所示，以此代替原结构进行计算。,1）计算力矩分配系数。,2）计算固端弯矩。,3）力矩分配和传递。为了使计算的收敛速度快一些，当结点数多于两个时，放松过程可分两组进行。第一组为结点B和结点D同时放松，结点C固定。第二组为结点C放松，同时固定B、D两点。计算过程见。4）由杆端最后弯矩绘出M图，如图（c）所示。,例16.4算表,（单击鼠标左键返回）,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,【例16.4】试用力矩分配法计算连续梁图（a），并绘制弯矩图。已知各杆EI为常数。,【解】连续梁具有伸臂部分EF，EF为静定部分，其内力可由平衡条件求得。为了计算简便，可将该部分对梁的作用等效替换到E点，并将E点变为铰支座如图（b）所示，以此代替原结构进行计算。,1）计算力矩分配系数。,2）计算固端弯矩。,3）力矩分配和传递。为了使计算的收敛速度快一些，当结点数多于两个时，放松过程可分两组进行。第一组为结点B和结点D同时放松，结点C固定。第二组为结点C放松，同时固定B、D两点。计算过程见。4）由杆端最后弯矩绘出M图，如图（c）所示。,例16.4算表,例16.4 算表（力矩单位：kNm）（单击鼠标左键返回）,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,【例16.5】试用力矩分配法计算两层单跨刚架图（a），并绘制弯矩图。,【解】利用对称性，取图（b）所示半刚架进行计算。,1）计算力矩分配系数。,2）计算固端弯矩。,3）力矩分配和传递过程见。,例16.5算表,4）由杆端最后弯矩及对称性绘出M图，如图（c）所示。,（单击鼠标左键返回）,目录,第十六章 力矩分配法多结点的力矩分配法,【例16.5】试用力矩分配法计算两层单跨刚架图（a），并绘制弯矩图。,【解】利用对称性，取图（b）所示半刚架进行计算。,1）计算力矩分配系数。,2）计算固端弯矩。,3）力矩分配和传递过程见。,例16.5算表,4）由杆端最后弯矩及对称性绘出M图，如图（c）所示。,例16.5 算表（力矩单位：kNm）（单击鼠标左键返回）,