力学量用算符表达.ppt

第四章 力学量用算符表达,1 力学量的平均值,微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。但不是可观测得量，何谓确定了微观粒子的运动状态？在微观粒子的某一个运动状态下，它的力学量如坐标、动量，角动量、能量等不同时具有确定的值，具有一系列可能的值，每一可能的值以一定的概率出现。给定运动状态的波函数后，力学量出现的各种可能值的相应概率就完全确定，利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验观测值比较。,原则上，一切力学量的平均值就是在所描写的状态下的相应的力学量的观测结果，在这种意义下一般认为，波函数描写了粒子的运动状态。,1.统计平均值的意义,如果通过一系列的实验测定系统的一个状态的参量，得到相应的值为A1,A2,As，在总的实验次数N中，则得到这些值的次数分别是N1,N2,Ns，则的（算术）平均值为,当总的实验次数N时，量的平均值的极限是的统计平均值,式中Pi为量出现值Ai的几率。如果变量是连续分布的，则上述统计平均值可以表示成,(x)为量出现值Ai的几率密度。,2.再论（归一化的）|2和|C|2的物理意义,与波函数相联系的粒子，一般不具有精确的位置，又不具有精确的动量。一般地，对于 表示的单个粒子系统，要对该粒子的动力学变量中的这个或者那个做测量，我们不能对测量结果做确定的预言。但是对于N个大量数目，彼此独立的等价系统（每个系统都由同一波函数描述），若我们对他们中的每个做位置测量，则|2 给出的就是成员数N趋于无穷大的极限下，N次测量结果的分布。类似地，如果测量的是动量，则|C|2 给出动量的几率分布。,(1)坐标表象的力学量平均值。对以波函数(r,t)描写的状态，按照波函数的统计解释，|(r,t)|2 dr表示在t时刻在rr+dr中找到粒子的几率，因此坐标r的平均值显然是,3.在坐标表象中的力学量平均值,坐标 r 的函数 f(r)的平均值是,其物理意义和我们对|(r,t)|2所做的解释一样：它是对N个大量数目的，等价的，彼此独立的且由同一波函数表示的体系做f(r)测量的结果的平均值。,（2）动量的平均值,p 的平均值不能简单地写为,在 t 时刻，在pp+dp 找到粒子的概率为|C(p,t)|2 dp，动量的平均值可以表示为,用波函数直接计算动量平均值的公式,记动量算符为：,动量平均值为,利用数学归纳法不难证明，对于正整数 n，有,如果 是动量 的解析函数，且可以展成幂级数：,则有,上面的结果立即可以推广到三维情形：,（3）动能和角动量的平均值,动能的平均值：,角动量的平均值：,动能算符：,角动量算符：,（4）任一力学量的平均值,一般地，微观粒子的任何一个力学量A的平均值总能表示为,其中 是力学量 A 相应的算符。如果该力学量 A 在经典力学中有相对应的力学量，则表示该力学量的算符 由经典表达式 A(r,p)中将 p 换成算符 而得出，即,综上所述，我们可以得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。当我们用坐标表象中的波函数来计算动量平均值，需要引进动量算符，除此之外，能量算符和角动量算符也可依此引进。,2 算符的运算规则,算符:代表对波函数的某种运算或变换,把函数u变为v。,注意:算符只是一种符号，单独存在是没有意义的。仅当其作用于波函数上，对波函数做相应的运算，才有意义。约定：算符只对右边的波函数作用。,定义单位算符（I）和零算符(0),算符例子：,算符的一般特性,1.线性算符 满足如下运算关系的算符称为线性算符(c11+c22)=c1 1+c2 2 其中c1,c2为任意复常数,1,2任意两个波函数。,例如,单位算符动量算符均为线性算符,开方算符，取复共轭算符均不是线性算符,注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。,例子,粒子状态满足薛定谔方程,若1,2是方程的解，则c11+c22也是方程的解。事实上,仅当是线性算符时才有,2.算符的运算规则,算符之和 算符 A与B之和记为A+B,定义为是任意波函数。,例如体系的哈密顿算符，,算符求和满足交换律和结合律,线形算符之和仍为线形算符。,称A与B不对易,算符 与 之积，定义为,设算符 和 对体系的任何波函数 的运算所得结果都相同,算符相等,则称两个算符相等，记做,算符之积,且满足,但一般不满足交换率,这是算符与通常代数运算规则的唯一不同之处。,若，则称 与 不对易。若，则称 与 对易。,对易关系,例如，算符，不对易。,证明：,显然二者不相等，所以,是任意波函数,同理,坐标算符和对应的动量分量算符不对易。,量子力学中最基本的 对易关系。,写出通式：,但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。,注意：B与A对易，A与C对易，不能推知B与C对易。,对易括号,为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：,采用对易括号，基本对易关系写为,思考：,不难证明，对易式满足如下关系,最后一式称为Jacobi恒等式。,例题,证明：,逆算符,算符的乘幂,显然,设,能够唯一地解出，则可定义算符之逆,性质1：若 的逆存在，则有,性质2：若 的逆存在，则有,证明：若,算符函数,设给定一函数F(x),其各阶导数均存在。若有一个算符，则可定义算符 的函数,例：ex 的各阶导数都存在，则有 于是有,令，则可定义，,由此可得到,两个（或者多个）算符的函数,其中,复共轭算符,算符 的复共轭算符 就是把的表达式中所有量换成复共轭，,例如：,在坐标表象中，,一般，,转置算符,标积的概念,量子力学中任意两个波函数的标积定义为,它具有下列性质,转置算符算符 的转置算符 定义为,式中和是任意两个波函数。,可以证明：?,例题：证明,由此可证,厄米共轭算符,算符 的厄米共轭算符 定义为，,由此可得,厄米共轭算符可写为,可以证明,厄米算符,满足下列关系的算符称为厄米算符,或者,例如,动量算符是厄米算符,性质I:两个厄米算符之和仍是厄米算符。即若 A+=A,B+=B，则(A+B)+=A+B+=(A+B),性质II:两个厄米算符之积一般不是厄米算符,除 非二算符对易。因为(AB)+=B+A+=BA AB 仅当 A,B=0 成立时,(A B)+=A B 才成立。,按假定，在任意状态下，即,性质III:体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。,性质IV:在任何情况下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。,证明：,取12，1和2也是任意的，是任意常数。代入上式，,由于在任意状态下都为实，所以(1,A1)=(A1,1),有,分别令1和i可得：,以上两式相减，得,两式相加，得,此即厄米算符定义的要求，故得证明。,由于实验上的可观测量，必然在任何态下的平均值都是实数，故相应的算符必须是厄米算符。,此外，设A为厄米算符，则在任意态下，有,量子力学中力学量的平均值就是该态下力学量的观测值，而力学量的观测值总为实数，故 力学量算符是厄米算符，且是线性厄米算符（态叠加原理之要求）。,例题：证明（1）无论厄米算符A与B是否对易，算符，与 必是厄米算符。（2）任何一个算符F总可以分解为，其中，与 均为厄米算符。,算符：代表对波函数的某一种运算。线性算符 算符之和 算符之积 逆算符 算符函数,转置算符,复共轭算符 算符表达式中所有的量换成复共轭,厄米共轭算符,厄米算符,1.体系任何状态下厄米算符的平均值为实数,2.任何状态下平均值为实的算符都是厄米算符,例题：(a)已知粒子的坐标r,动量p均为厄米算符，判断l=r p,rp是否为厄米算符。(b)证明：(c)证明：,(d)设A,B为矢量算符，F为标量算符，证明,3 动量算符和角动量算符,(一)动量算符（1）动量算符的本征方程和本征函数（2）动量本征函数的“归一化”(二)角动量算符（1）角动量算符的形式（2）角动量本征方程和本征函数（3）角动量算符的对易关系,(一)动量算符,（1）动量算符的本征方程和本征函数 动量算符的本征值方程（坐标表象）,动量本征函数,动量本征值,在直角坐标下的分量形式,采用分离变量法,这正是自由粒子的 de Broglie波的空 间部分波函数。,自由粒子的波函数就是动量本征函数，相应的动量本征值为p.动量可以在（-，+）连续取值，所以动量本征谱为连续谱。此外，自由粒子波函数也是能量本征函数，对应本征值E，也是连续谱。,连续谱本征函数不能归一化，,如何“归一化”？,（2）动量本征函数的“归一化”,A.归一化为函数动量本征函数,利用,若取,“归一化”的动量本征函数为,坐标本征函数如何求？,B.箱归一化具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为-函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。,周期性边界条件,箱子边界上对应点处，波函数相等（动量算符厄米性之要求）。,本征值,这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。,由归一化条件,归一化本征函数,(1)可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能归一化为一；连续谱情况，归一化为 函数。(2)由可以看出，相邻两本征值的间隔，与L成反比。当L足够大时，本征值间隔可以任意小，当 时，离散谱连续谱。,讨论,(二)角动量算符,角动量算符的形式,利用直角坐标与球坐标之间的变换关系,求得偏导数,由上面结果得,则球坐标下角动量算符的表达式为,直角坐标,球坐标,vs,角动量算符,定义角动量平方算符,本征方程,Lz的本征方程,本征方程,由于 为 的单值函数，应有周期条件:,即,本征值:,称为磁量子数,可见，微观系统的角动量在z方向的分量只能取分离值（零或 的整数倍）。由于z方向是任意取定的，所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的。,本征函数,由归一化条件,归一化本征函数,正交性：,将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：,这正是周期性边界条件,讨论：,设和为粒子的二任意态，,按Lz的厄米性要求：,角动量算符的对易关系,任何两个指标对换，改变正负号任何两个指标相同，为0.,类似，可证明,矢量形式,（4）角动量升降阶算符,(I)定义,显 然 有 如 下 性 质,所以，这两个算符 不是厄米算符。,(II)对易关系,不 难 证 明,证明：,4.4 厄米算符的本征值和本征函数,假设在一态测量力学量A时，一般可出现各种不同的结果，各有一定的几率。对状态的大量完全相同的体系，如进行多次测量，所得结果的平均将趋于一个确定的值。而每次测量的结果则围绕平均值有一个涨落，它由下式定义：,因为A为厄米算符，必为实数，因而 A-仍为厄米算符，由上式有,如果体系处于测量A所得结果是唯一确定的态，即涨落=0，则称为力学量A的本征态，满足,为方便，通常将此常数记为An，并将该特殊状态记为n。故,An 称为A的一个本征值，n 为相应的本征态。,2.本征态和本征方程,本征方程,量子力学的一个基本假定是：测量力学量A时所有可能出现的值，都是相应的线形厄米算符的本征值。当体系处于本征态n，则每次测量得到的结果都是An.,量子力学中的力学量算符都是线形厄米算符，可以得到其本征值与本征函数具有下述性质。,（1）厄米算符的本征值一定是实数。,3.本征态和本征函数的性质,（2）厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交。,证明:设,则有,由算符厄米性,若i(i=1,2,3)是归一化的本征函数，则综合正交归一性,对分立谱:,对连续谱:,微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。当体系处于力学量算符A的本征态时，力学量A具有确定值。量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符的本征态及本征值。但必须随时注意：力学量算符的本征态可能不止一个。,（3）厄米算符所有的本征函数组成的函数系构成完备系统,若算符A的正交归一本征函数系,则任意函数可由展开为,且展开式唯一，其中Cn与r无关，称本征函数系n构成完备函数系，或本征函数系具有完备性。,II连续谱：,求展开函数Cn：,I.分离谱：,设任一态为,分立谱,而归一化条件可表示为,4.任一态中力学量的平均值,则力学量的平均值可表示为,若A的本征函数既有分立谱又有连续谱时，完备系为n，则有,因此，量子力学中的力学量以线形厄米算符来表示，力学量取确定的态就是力学量算符的本征态，力学量的取值就是算符的本征值。力学量算符的本征函数系是正交归一完备的，它们是力学量所有可能取的数值及其相应态。,大致可分为三类：（1）连续谱本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的本征值谱；（2）带谱本征值被限定在某些区域，例如固体中的能带；（3）分立谱本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的能谱。重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 分立谱记为。对应的本征函数分别记为 及。力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现若干个（如 f 个）本征态对应一个本征值，称这种情况为 f 度简并。,力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱,下列函数哪些是算符,的本征函数，其本征值是什么？,解：,不是,的本征函数。,是,的本征函数，其对应的本征值为1。,简并情况,上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。,如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn有f个本征函数：n1,n2,.,nf,满足本征方程：,一般说来，这些函数 并不一定正交。,可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数，它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。,证明:,由这 f 个n i 线性组合成 f 个新函数 n j,可以满足正交归一化条件：,证明分如下两步进行,1.nj 是本征值 Fn 的本征函数。,2.满足正交归一条件的 f 个新函数n j可以组成。,1.nj是本征值Fn的本征函数。,2.满足正交归一条件的f个新函数nj可以组成。,为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。,正交归一条件,方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2,因为 f2-f(f+1)/2=f(f-1)/2 0，,所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数nj 的确是算符 F 对应于本征值 Fn 的正交归一化的本征函数。,综合上述讨论可得如下结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。,量子力学基本假设,1.波函数公设(r,t)描述量子态。|(r,t)|2 几率密度。量子态叠加。,2.算符公设 可观测量线性厄米算符 A=,3.测量公设（平均值公设）,4.微观体系动力学演化公设,5.全同性原理公设,测量公设（平均值公设）,1.A的平均值,多次测量的平均结果,2.可观测力学量A的本征函数构成一完备集，,单次测量，Ai,每次测量之后，波函数受到严重干扰，发生突变（波函数坍缩）,随机，不可预计，不可逆。,量子力学中的测量,经典理论中，测量对系统无影响（影响甚微）。量子理论中，测量对系统影响很大。在微观原子系统中，测量将极大地扰乱系统。,例：测量氢原子中电子的位置。用电磁波（光子）照射电子。电磁波频率要足够高。电子轨道半径10-10m，需要电磁波的波长小于此数值，,氢原子电离能13.6eV.测量将完全摧毁系统。,两个力学量的观测,测量会极大地影响量子系统。对两个力学量（A,B）的测量次序不一样得到的结果一般也会不同。,如果，不对易，不能同时观测，观测次序将影响观测结果。假设系统处于A的某一本征态i下，测A，得ai，测量B，得bj,此时体系将变为j,再测量A，会得到什么值呢？,如果，对易，观测会得到什么结果，它们能同时观测吗？,4.5 共同本征函数,1.测不准关系的严格证明,设有两个任意的力学量A和B.考虑下列积分不等式,为体系的任一波函数,为任意实参数,A与B均为厄米算符.,上述不等式可化为,引进厄米算符C=A,B/i,则,注意,均为实,不妨令=/2,则得,上面不等式对于任意两个厄米算符A,B均成立.令,显然A,B也是厄米算符,所以将AA,BB,上述不等式仍然成立.再考虑到,此即测不准关系.,令Ax,B=px,代入上式，并利用x,px=ih,有,测不准关系,又称做不确定性原理,是微观粒子运动的基本规律,是微观粒子波粒二象性和波函数统计解释导致的必然结果。,两力学量同时有确定值的条件,体系处于任意状态（x）时，力学量 F 一般没有确定值。,如果力学量 F 有确定值，（x）必为 F 的本征态，即,如果有另一个力学量 G 在 态中也有确定值，则 必也是G 的一个本征态，即,结论：,当在 态中测量力学量 F 和 G 时，如果同时具有确定值，那么 必是 二力学量共同本征函数。,两算符对易的物理含义,是特定函数，非任意函数也！,例如：,l=0 的态，Y m=Y00 Lx Lz 同时有确定值。,但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。,考察前面二式：,定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。,证：,由于 n 组成完备系，所以任意态函数(x)可以按其展开：,则,因为(x)是任意函数,逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。,证：,n 也是 G 的本征函数，同理 F 的所有本征函数 n（n=1，2，)也都是 G 的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系.,仅考虑非简并情况,即：,与 n 只差一常数 Gn,定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。,例 1：,例 2：,的共同本征态,球谐函数,由于角动量的三个分量不对易,一般无共同本征态,但由于 因此可以找出 与 任何一个分量的共同本征态.,采用球坐标:,由于,的本征函数可以同时也取为 的本征态,此时 的本征函数已分离变量,即令,带入本征方程,是 的本征值,无量纲,待定,令,则,连带Legendre方程,其解:当 有一个多项式解,本征方程：,利用正交归一性公式，可以定义一个归一化的部分的波函数（实）：,这样,的正交归一的共同本征函数表示为:,称为球谐函数,它们满足:,对应一个 值，m 取值为 0,1,2,3,.,共(2+1)个值。因此当 确定后，尚有(2+1)个磁量子状态不确定。换言之，对应一个值有(2+1)个量子状态，这种现象称为简并，的简并度是(2+1)度。,由于量子数 表征了角动量的大小，所以称为角量子数；m 称为磁量子数。,的本征值为：,的本征值为：,由角动量对易关系：,代入平均值公式：,同理：,例：证明在 LZ 本征态 Ylm 下，=0,利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下，Lx=Ly=0,证：,由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即,则测不准关系：,平均值的平方为非负数,欲保证不等式成立，必有：,力学量完全集合,定义：设有一组彼此对易而又相互独立的力学量算符(1,2,.)，如果它们的共同的本征函数是完备，非简并的，它们的共同本征函数记为k，k是一组量子数的笼统记号。设给定k之后即给定这组本征值就能够确定体系的一个可能状态，则称这组力学量(1,2,.)构成体系的对易力学量完全集。,例 1：,三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：,例 2：,氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：,例 3：,一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：,力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。,由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。,小结：两个力学量同时有确定值的条件体系恰好处在其共同本征态上。,例：动量算符：两两对易，,共同完备本征函数系：,本征态下有确定值：,例：一维谐振子，Hamilton量就构成一组力学量完全集。能量本征值,相应的本征函数n,构成正交归一的完备系。,测量谐振子能量为En的概率为|Cn|2.,例：已知空间转子处于如下状态,试问：（1）是否是 L2 的本征态？（2）是否是 Lz 的本征态？（3）求 L2 的平均值；（4）在 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值及其相应的几率。,解：,没有确定的 L2 的本征值，故 不是 L2 的本征态。,是 Lz 的本征态，本征值为。,（3）求 L2 的平均值,方法 I,验证归一化：,归一化波函数,方法 II,（4）,