利息理论统计与金融数学系陈萍.ppt

1,利 息 理 论,开课系：理学院 统计与金融数学系教师:陈萍e-mail:Probstat,参考书：利息理论 S.G.Kellison著 尚汉冀译上海科学技术出版社,2,第一章 利息的度量,积累函数与金额函数利率现时值名义利率与名义贴现率利息效力与贴现效力,在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此，货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。,定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转让货币使用权所得的报酬。,利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。,4,1.1积累函数与金额函数,一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时间后收回的总金额称为积累值。,积累值=本金+利息,假定：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以后任何时刻积累值均可确定，且设在投资期间内不再加入或抽回本金。也就是说，资金数额的任何变化严格说都是由利息效应产生的。自融资,5,定义 考虑一单位本金，记原始投资为1时在任何时刻的积累值为a(t)，称为积累函数。,a(t)的性质：a(0)=1;a(t)通常为增函数；当利息连续增加时，a(t)为连续函数。,典型积累函数:,6,定义 A(t)=ka(t)称为金额函数，它给出原始投资为k时在时刻t=0的积累值。,记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为In.则In=A(n)-A(n-1)(1.1.2),注 设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期为一年,以I（t)表示t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0),例1.1.1.考虑金额函数a)确定对应的积累函数a(t)b)检验a(t)是否满足积累函数的三条性质c)找出In解:,8,1.2.利率,1.2.1.实质利率,定义 实质利率i是指在某一时期开始时投资1单位本金时，在此时期内应获得的利息。,如：一年期存款，年利率i=2.25%,故a(1)=1+2.25%本金100元，年末积累值为100(1+2.25%)=102.25元,注（1)实质利率常用百分比表示。（2）本金在整个时期内视为常数（3)实质利率是一种度量，其中利息在期末支付。它可用金额函数确定如下：i=A(1)-A(0)/A(0)=I1/A(0),这就可以给出另一个定义：定义 实质利率i是某时期内得到的利息金额与此时期开始时投资的本金额之比。,实质利率可以对任何度量的时期进行计算。设in为从投资之日算起第n个时期的实质利率，则in=A(n)-A(n-1)/A(n-1)=In/A(n-1)n1,例1.2.1.证明A(n)=(1+in)A(n-1),1.2.2.单利,定义 若考虑投资1单位本金，在每一时期中得到的利息为常数，其积累函数则为线性的。a(t)=1+it 对整数 t0这种类型产生的利息为单利。,例.a)如500元存款在5年内积累到590元，单利利率为多少？b)500元按3.6%的单利要经过多少年可积累到600元？解:a)设单利利率为i,则,b)设要经过x年积累,则,练习1.如果1000元以某一单利利率经过某一长度的时期积累到1100元，试确定500元以该单利利率的3/4倍的利率经两倍长的时期的积累值。练习2.查出目前市面流通或发行的国债，计算其利率。与同期存款利率进行比较。,13,1.2.3.复利,定义 复利的积累函数是a(t)=(1+i)t 对整数t0,单利与复利的异同(1)单利与复利对单个度量时期会产生同样的结果。对较长的时期，复利比单利产生较大的积累值，而对较短的时期则相反。(2)增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内的增长绝对值保持为常数；而对复利来说则是增长的相对比率保持为常数。即 对单利：a(t+s)-a(t)不依赖于t 对复利：a(t+s)-a(t)/a(t)不依赖于t,例1.2.5.某人有1000元准备存款5年，现有两种存款方式：1)按年利率5.85%的单利。2)按年利率5.27%的复利；问哪种存款所得积累值较多？解:,故按年利率5.27%的复利存款所得积累值较多.,某人有10000元本金，准备存款5年，请提供存款方案,并分析按那种方案所得积累值较多？参考：人民币存款利率表：,EX,16,1.3 现时值,1.3.1.现时值,考虑这样的问题：一笔十年后付1000元的付款，相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算?,定义.称一单位金额在t时期前的值或t时期末一单位金额在现在的值为t时期现时值。记对应实质利率i,称v=1/(1+i)为贴现因子。（相应的1+i称为积累因子）,17,上述结果扩展到不止一个时期，也就是说要确定某人在时期开始时应投资多少才能在t时期末积累到金额1。,定义 称a-1(t)=1/a(t)为贴现函数。代表在t时期末的1单位金额的现时值。,例1.3.1.五年期国债，面值为100元，按贴现发行，若i=6.42%,则其发行价应为多少？(1)按单利.(2)按复利解:,注 一时期内金额的改变可以称为“利息”，也可以称为“贴现”，但两者意义不同。利息本金基础上的增加额，在期末支付，其计算的依据为期初余额。贴现积累值基础上的减少额，在期初支付，其计算的依据是期末余额。,用实质利率i可以很方便地计算：利息=本金*i也希望有类似的参数d，使：贴现=期末值*d参数d就是贴现率。,EX.已知$500的投资在第30年末将增长到$4000,求在第20年，40年，60年末各付款$10000的现时值之和。,19,1.3.2.实质贴现率,定义 称 为1时期的实质贴现率。,例 假设某人A到银行以实质贴现率6%借100元，为期1年，一年后A还给银行100元。则1)银行实际付给A多少元？2)这相当于实质利率是多少的贷款？解:,显然,推广到n个时期有 a-1(t)=(1-d)t t0(1.3.1)称满足(1.3.1)的d为复贴现率.,定义 称两个贴现率或利率等价，如果对给定的投资金额，在同样长的时期内两者产生同样的积累值,例1.3.2 求证：若a(t)=(1+i)t，则在各时期内等价的实质贴现率为常数，,(1.3.2),d与i之间的几种变形有一些有趣的字面解释：d=i/(1+i)-期初投资1，在1时期末赚得的利息i按贴现因子贴现到期初即为贴现率d。1/(1+i)=1-d-此方程两边均表示在期末支付1的现时值。i-d=id-某人可借贷1而在期末归还1+i，也可以借贷1-d而在期末归还1。表达式i-d是所付利息的差额，此种差额是因为所借本金相差d而产生的。金额d依利率i在一时期末的利息就是id.,22,1.4.名义利率与名义贴现率,1.4.1.名义利率,在实际金融业务中，常会遇到这样的说法：“年利10%,半年结算一次”、“季度复利10%”或“月度复利10%”等等。由于一年内结算次数不同产生了利率的“名不副实”，原来给定数据10%就是名义利率。,定义 记i(m)为每一时期付m次的名义利率，其中m1,m为整数。,注:所谓名义利率i(m)指每1/m时期支付一次的利率，也就是说，对于每1/m时期，一本金的利息是i(m)/m而不是i(m)。,定义 利息支付及再投资以赚取额外利息的周期称为“利息转换时期”,1.4.2.名义利率与实质利率的关系,设一时期的名义利率为i(m),与之等价的实质利率为i，则应有1+i=(1+i(m)/m)m。于是有 或,例1.4.1.贷款人A开价年实质利率为9%,贷款人B开价季度复利8.75%，而贷款人C开价月度复利8.5%。某人需要为期一年的贷款，问谁的贷款好？解:对B:,对C:,故C的贷款好.,1.4.3.名义贴现率,定义 每一时期支付m次的名义贴现率记作d(m).表示每1/m 时期支付d(m)/m 的实质贴现率。,例1.4.2.试确定100元在两年之末的积累值。A)如果名义利率为季度转换6%.B)如果名义贴现率为季度转换6%.解:,设积累值为x,则,26,名义利率与名义贴现率之间的关系,考虑,与,(1.4.1),如果m=p,则,(1.4.2),将(1.4.2)式两端同乘以（1-d(m)/m)得,(1.4.3),它表明每一利息转换时期内利息与贴现的差额是因为期初本金相差d(m)/m产生的。金额d(m)/m依利率i(m)/m在该利息转换时期末的利息就是(i(m)/m)(d(m)/m)。,EX1.确定季度转换的名义利率使它等价于月度转换6%的名义贴现率。,EX2.证明i(m)=d(m)(1+i)1/m,并按字面解释之。,28,1.5 利息效力与贴现效力,1.5.1.利息效力,利息效力描述利息在时刻t的运行强度，它与资金金额无关，定义为,(1.5.1),称为时刻t的利息效力。,29,可用t描述A(t)或a(t)。,或,(1.5.3),EX 求单利的利息效力。,(1.5.2),利息效力在理论上可以随时变化。然而在实际中它经常保持为常数。如果利息效力在某时间区间上为常数，则实质利率在此区间上也为常数。这可在n个度量时期上用公式(1.5.2)而得。,(1.5.4a),所以,或,(1.5.4b),31,1.5.2.贴现效力,类似于 定义贴现效力为，,负号是为了保证此式 为正，但可证明,故只用t就足够了。,32,利 息 理 论,开课系：理学院 统计与金融数学系教师:陈萍e-mail:Probstat,参考书：利息理论 S.G.Kellison著 尚汉冀译上海科学技术出版社,33,第二章 常见利息问题,常见利息问题收益率基金收益的计算资金预算一般借贷模型,34,2.1常见利息问题,按照国外多数银行的做法，计息方式采用整数时期计复利，分数时期计单利的做法。如要计算1单位本金在m+x时期内的积累值，其中m为整数、x为分数，0 x1,则,类似有,35,一个利息问题包含四个基本的量：1.原始投资的本金.2.投资时期的长度。3.利率。4.本金在投资期末的积累值。,解求值方程的有力工具-时间图,上图表示某人先取得(借贷)500元，按分期付款偿还.第一、二、三时期末各付100元，第四时期末需付多少？符号 表示比较日期。,36,未知时间问题,有时会出现这种情况，需找出一个时刻，使在这个时刻上的一次付款等于在不同时刻的几次付款。,例2.1.1.预定在第2,3,8年末分别付款100元、200元、和500元，假设实质利率为5%，试确定一个一次付款800元的时刻，使它与前几次付款等价。解:设在t时刻付款,上述问题可一般叙述为：设在时刻t1,t2,tn分别付出金额s1,sn,求时刻t，使在该时刻付出 等价于上述分次付款。其求值方程为,这种方法求t也叫精确方法。在实际中，为计算方便，t经常用各个付款的加权平均来近似计算，其中权取为各次付款的金额，即,称为等时间法。可以证明,换言之，用等时间法的现时值小于真实的现时值。,39,未知利率问题,例2.1.2.1000元要在6年内积累到1600元，季度转换利率应取多少？解:,例2.1.3.如果现在投资1000元，3年后再投资2000元，问半年度转换利率应取多少才能使在10年后积累到5000元？解:,解,40,此类问题的一般提法是，已知一系列的投资或收入资金流：x1,x2,xn,分别代表t1,t2,tn时刻的投资。求这一资金流的实质利率 收益率。其求值方程为,EX3 某人有1万元本金，按照如下方案存款5年.先按照2.25%的单利存款一年;到期取出,再按照2.7%的单利存款两年;到期取出,再按照2.6%的单利存款两年.问相当于按年实质利率多少的复利存款?,EX1一张100元的期票，在到期前3个月被人以96元买走，试确定a)购买者所得到的按季度转换名义利率。b)购买者所得到的年实质利率。(答:a)16%;b)17.74%),EX2.为了在第4年末得到2000元及在第10年末得到5000元，投资者愿意立即付3000元，并在第3年末追加一笔投资，如果=0.06,试确定追加投资的数额.(答:约1593元),42,2.2 收益率（内返还率）,考虑下列情形，一位投资者在时刻0,1,2,n对一项投资事业投入C0,C1,C2,Cn，称为该项投资的资金流。为方便起见，假设这些时间是等间隔的。,如果Ct0,则在时刻t对投资事业有一个净资金输入流；如果Ct0,则在时刻t对投资事业有一个净资金输出流。,注：如果在分析一项金融业务时，用从投资中返回而不是投入更易接受，则记Rt=-Ct，R0,R1,R2,，Rn 也称为该项目投资的资金流.,通过将投资资金流贴现到零时刻考察投资现值的方法叫做贴现资金流分析。,例考虑一项10年期的投资项目，其资金流如下：,假设将此项投资收益看作完全由每时期的实质利率i所造成的利息，则根据求值方程,这里,就是投资收益率。,推广到一般情形，假设每时期利率为i，则按利率i的投资返回净现值为,(2.2.1),解,定义2.2.1 若利率i，使,(2.2.2),或，则称i为收益率。,收益率常作为一项度量某特定业务受欢迎程度的指标，从贷方观点看（投资方），收益率越高越受欢迎；从借方角度看，则情况相反。,注1 收益率不一定为正。如收益率为负，表明投资人在此项目中亏本。注2 在应用收益率时要考虑所包含时期的长短。注3 在大多数常见的金融业务中，收益率是唯一的，但偶然也有收益率不唯一的情况。如：,例 某人年初购买100元股票，并在第一年末以230元抛出，第二年末购入132元股票，不久该股份公司破产。问此人在本项投资上的收益率是多少？解:求值方程为,容易证明：当所有某一方向的资金流均在另一方向的资金流之前，具体地说，也就是一笔业务的前一部分，所有净付款都是同一符号，而后一部分都是相反符号时，收益率是唯一的。,补充知识：一元n次实代数方程的笛卡儿法则：方程 的正实根的个数或者等于在系数系列a0,a1,an中符号改变的数目Na,或者小于Na且差一个正偶数。如果符号没有改变，则没有正根；如果符号仅改变一次，则有一个正根。,48,更一般地，有,定理 设Bt为在时刻t的未动用投资余额，其中t=0,1,n。,如果Bt 0，t=0,1,n-1且存在i-1，使(2.2.2)满足，则i是唯一的。,例2.2.3 一位投资者进入一项契约，他立即付款7000元，第二年末付1000元，以交换第一年末得到的4000元和第3年末得到的5500元。求a)P(0.09);b)P(0.10)c)用定理检验在0.09与0.10之间是否存在唯一收益率。,解：,50,2.3 资金预算,所谓资金预算是指决定投资资金的金额以及这些资金在各种可能的投资项目之间的分配过程。在实际中常用两种方法进行资金预算：收益率法与净现值法。所谓可接受利率是指投资可以接受的最小返还率或贷款可以接受的最大利率。,51,投资者分析每种可选择的投资资金流，计算出对应的收益率。所有收益率高于可接受利率的投资将被进一步考虑。然后将收益率高于可接受利率的投资方案按收益率高低排序，再参照风险因素进行筛选。,2.3.1 收益率法,例2.3.1 假设一投资者可接受利率为10%，则下表投资项目是否可作进一步考虑。例,53,净现值法,设可接受利率为i，投资者对每种投资方案计算其现值，具有正的p(i)的投资将被进一步考虑。然后在那些入选的投资中间这样分配资金：使所有返回的现值减去投入的现值最大。,例2.3.1 设一投资者的可接受利率为10%，则上例投资项目按净现值法是否可接受？解:取,故上例投资项目可接受.,例2.3.2 一部旧汽车开价$5000，也可先付$2400,在以后2年内每年之末付$1500。如果购车人的可接受利率为10%,问他是愿意用现款还是分期付款？解:付现款现值为$5000.按10%的利率,分期付款现值为:,故他愿意用现款.,56,补充:收益率问题的随机化处理,在实践中,t时刻的收入或支出一般是不确定的.考虑下列情形，一位投资者在时刻0,1,2,n对一项投资事业的投入(C0,C1,C2,Cn)是n维随机变量，即该项投资的资金流是一个随机序列。则在给定可接受利率i下,该资金流的现时值也是随机变量.,资金预算问题就化为:根据P(i)的分布决定投资方案.,57,例如根据:,当C0,C1,C2,Cn独立时,平均收益,项目风险,可以选择给定平均收益而项目风险最小的项目或指定风险上限,平均收益尽可能大的项目小课题:选择一个实际项目,调查该项投资的资金流及其分布,对项目进行资金预算分析.,58,在收益率问题中,常会遇到多重收益率问题.现在具体分析多重收益率产生的原因.,2.4 一般借贷模型,例 如果可接受利率为15%，试用两种方法分析下表投资项目是否可接受。,解:1)收益率法:,2)净现值法:,可接受.,易见,当可接受利率在10%附近时,P(i)关于i递增.说明i越大,项目越可接受.这对借款人来说是正常的;而对投资人就不正常;而当可接受利率在20%附近时,P(i)关于i递减;说明i越大,项目越可接受.这对投资人来说是正常的,而对借款人就不正常;计算上例的未动用投资余额可发现,B00,而B10,这说明投资者在第一时期处于投资人的地位,而第二时期处于借款人的地位.这是造成多重收益率的原因.,61,定义（一般借贷模型）在整个投资期间，当t时刻的未动用投资余额Bt0时，可接受利率称为项目投资率，记为r。当Bt0时，可接受利率称为项目借贷率，记为f。沿用Bt的定义，,在现实中,贷款利率与投资收益率一般是不同的!,最终投资余额为（n时刻的积累值）,其中mj为整数，且,mj是从时刻j到时刻n中使用利率r的时期总数。当r=f时情形与定理相同。,回忆收益率的定义，在收益率点，应有Bn=0,此时收益率不是单个的数，而是r和f之间的一个函数关系。换言之，如果对于一个给定的f，可以找到一个r的值使Bn=0,则称r和f为此项业务的一对收益率。,例2.4.1 一位投资者要对某项投资作资金预算。该项目的资金流如下表，如果r=f,求收益率；如果r,f是收益率时，将r表示成f的函数如果可接受利率r=70%,f=30%,投资者会接受还是拒绝这笔业务？,解:(1)由题意,C0=1600,C1=-10000,C2=10000.设i=r=f,(3)将r=70%,f=30%带入,故投资者拒绝这笔业务.(注意B2是投资余额而不是返还!),EX 一个5年期投资项目的资金流如下：,若投资者可接受利率为r=15%,f=10%,问此项目可否采纳？,(答:,67,2.5基金收益的计算,2.5.1.基金概述,所谓基金是指一种利益共享、风险共担的集合证卷投资方式，即通过发行基金单位，集中投资人的资金，由基金托管人委托基金管理人管理和运用资金，从事股票、债卷等金融工具投资。一般地，基金按其份额是否可赎回可划分为开放式与封闭式基金。,封闭式基金在发行期满后就封闭起来，投资者须通过二级市场买入或卖出，其价格在很大程度上由市场供求决定，波动类似于股票。但这种基金常有设定的存续期限，一旦期满就进行清盘，将剩余资产按持有份额分配给持有人或转成开放式基金继续存在下去。且基金收益分配必须采用现金形式，不能配股。,开放式基金有两个特点：一方面基金的发行份额是不固定的，投资者随时可按该基金的价格购买新的份额，也可以随时要求基金公司赎回所购买的基金份额，收回投资，退出基金，购买或赎回的价格以当时基金单位资产净值为基础。另一方面是不设定存续期限。开放式基金的价格主要由资产价值而非市场供求关系决定。投资者的收益主要来自基金的分红及基金净资产价值的增值。故可用利息理论来研究。,70,考虑下列问题，某项投资A历经3年，这三年中第一年利率为i1,第二年利率为i2,第三年利率为i3，则到第三年末的积累值为多少？显然应为a(1+i1)(1+i2)(1+i3),这种情形常见于基金的分红，因为它是每年按当年业绩决定利率水平的。,2.5.2.变利息,一般地，记in为从投资之日起第n个时期的实质利率，则对于整数t1有a(t)=(1+i1)(1+i2)(1+in),同理 a-1(t)=v1v2vn，其中vk=1/(1+ik)。,有时利率不是按年变化而是在一时期内的任何时刻都可以出现变化，则我们可以利用下式进行计算。,变利息还常出现在一个时期内本金有所改变时一时期利率计算的情形，如一项基金常可因新的本金加入而增加，或因本金抽回而减少，还可因一时期内多次（常在非正规的时间区段）赚得的利息而增加，以及因基金操作如对股票的买卖而变化，对这些情形必须给出确定合理的实质利率的方法。下面考虑变利息情形在基金中的应用。,EX.一笔基金的利率在前3年为季度转换8%,后2年为季度转换9.6%,某人在第一年初向该基金投资2000元，第4年初向该基金投资1000元，求5年后基金的积累值。(答:约4275.02元),73,2.5.3.基金的利息度量,记号,设A=基金在期初的金额，B=基金在期末的金额，I=在此时期内赚得的利息金额，Ct=在时刻t投入的本金净金额（可正可负）其中0t1,C=在此时期投入的本金总金额（可正可负）在时刻t投资1在随后的长度为1-t的时期内所赚得的利息金额。,74,一币值加权利率,假定基金在一个时期内以同样的利息强度运行，且假设所有赚得的利息I是在期末接受的，则B=A+C+I。这样对于时期0t1赚得的利息的精确的求值方程应为,不幸，上式的形式不能直接用来求i，必须找到的值。假设整个时期都是用复利，则有带入上式则得到关于i的精确方程。此方程可用迭代法求解，但计算繁杂。,(2.5.1),在实际中往往用单利作为t1时期复利的近似，从t时刻开始投资1经历(1-t)时段的利息为(1-t)i.故可假定,于是可得实质利率的一个近似解,此式中分子是基金中赚得的利息金额，分母则可解释为投资本金的平均金额（加权平均，其权重为到期末需经历的时间长，最大为1)常称为“与i有关的本金”。,(2.5.2),(2.5.2)式是可以直接计算的，但分母中的和式加起来比较麻烦，因而常常作出一个进一步简化的假设，即认为本金的存入和抽回在整个投资时期内是均匀发生的，这样平均来说可以假定除期初的A之外，其余净本金投入发生在时刻t=1/2,在此假设下(2.5.2)式变为,(2.5.3),(2.5.3)式是一个重要的公式，它在实际中广泛用来计算赚得的利率。,例2.5.1.某年初设计一项投资基金，初始存款为1000元，4个月之后又存入500元，在第6和第8个月之末分别抽回200元和100元，在该年末基金的总金额为1272元，试求基金在此年内的两种近似实质利率。解:这里,或,例2.5.2.一项实质利率为4%的基金在年初有10000元余额，如果3个月后有200元加入基金，而9个月后从基金中抽回300元，求最终余额。解:,由:,而,79,二时间加权利率,当投资经历变化较大时，币值加权利率给出的收益率计算方法对于不同时段的投资金额是敏感的，例如，假定在得益较高时恰巧“大量”投资，而在得益较低时则“小量”投资，则总体收益率会较高，反之则较低。,例2.5.3.设有一项基金，若年初购买，其价格在第6个月末跌至一半，而年末又回升至原价位投资者A年初购买1000元，第6个月末又购买500元，到年末他拥有2000元的基金投资者B，年初购买1000元，第6个月末抽回250元，到年末他拥有500元的基金。分别求、的收益率。,解:,81,时间加权利率的思路是：,设在一年中某些时刻t1,t2,tm-1共有m-1次本金的存入或抽回，这样整个一年就被划分为m个区段,投入基金值,显然,于是,设一时期内的总体收益率为i，则一时期内的时间加权利率为,83,续例 按照时间加权利率法求基金的收益率。,解:,要注意的是，时间加权利率是对基金特性的一种度量而非购买基金的人真实收益的度量，常与复利不一致。它常被用来描述基金的年度收益率，以供基金分红等使用，而对某一个投资者，要计算购买基金的真实收益时应采用币值加权利率。,例.在1月1日某投资帐户有存款10万元，到5月1日，其值增加到11.2万元，并存入3万元的新本金，到11月1日，其值减少为12.5万元，并抽回4.2万元，到次年1月1日，此帐户再次有存款10万元，使用币值加权法与时间加权法分别计算收益率。,解:,1)币值加权利率.,2)时间加权利率.,EX.某基金帐户一年的投资经历如下表,到次年1.1，此帐户有余额49000,试用两种方法求年度收益率。(答:币值15.73%;时间13.23%),科研训练:查阅有关资料,分析南方稳健成长证券投资基金2005年度的收益情况.举例说明不同操作方式投资该基金可能获得的(币值加权)收益率.,89,利 息 理 论,开课系：理学院 统计与金融数学系教师:陈萍e-mail:Probstat,参考书：利息理论 S.G.Kellison著 尚汉冀译上海科学技术出版社,90,第三章 基本年金,延付年金 延付年金的应用初付年金及其应用永久年金基本年金问题,年金-按相等时间区间支付的一系列付款。在固定的时期支付确定金额款项的年金称为确定年金。付款的固定日期称为此年金的期。两次年金付款之间的间隔称为支付期。付款不确定的年金称为风险年金。,92,3.1.延付年金,在n个时期中，每个时期末付款1的年金为延付年金。其时间图为,设每个时期的利率为i，则年金在0时刻的现时值记为，在n时刻的积累值记为。,显然,而,故,(3.1.1),同理,(3.1.2),的值一般可通过复利函数表或EXCEL来计算，故以后往往将复杂的年金表示成它们的函数。,注1：若每时期的利息为i，可记为,注2：,或,注3:,字面解释：考虑初始投资1，历时n个时期。每个时期，此投资1将产生在期末支付的利息i.这些利息的现时值为ian|.在第 n 个时期，原始投资的本金1仍收回，它的现时值为vn.这样，方程两边都表示投资1在投资之日的现时值。,例3.1.1.一辆新汽车的现金价为$10000，某顾客想以月度转换18%利率的分期付款来购买此车，如果它在四年内每月末付款$250，问现付款需为多少？解:,例3.1.2.某人以季度转换年利8%投资$1000,问他每季度之末能取回多少使这笔钱在第十年末正好用完？解:设每季度之末能取回$x.,97,有一笔$1000的贷款，为期10年。若实质利率为9%，试对下面三种还款方式比较其利息总量。整个贷款加上积累的利息在第十年末一次还清.每年产生利息即付，而本金则在第十年末一次还清.贷款在10年期内按每年付款数相同的原则还清。,EX,98,3.2.延付年金的应用,未偿还贷款余额的确定,确定未偿还贷款余额有两种方法将来法或过去法。将来法是指未偿还贷款余额等于余下的付款在这一天的现时值；过去法是指未偿还贷款余额等于原始贷款金额到这一天的积累值减去所有已付的款项到这一天的积累值。,例3.2.1.一笔贷款以10次2000元的付款继之以10次1000元的付款来偿还，付款的时间为每半年之末，若半年转换的名义利率为10%，求恰付款5次后的未偿还贷款余额。解:,例3.2.2.一笔贷款通过20次每次1000元的年度付款来偿还，在第5次付款时，借款人想加付2000元，并将余额在今后12年内以修正的年度付款来偿还，若实质利率为9%，求修正年度付款的金额。解:在第5次付款后,未偿还贷款余额为:,借款人加付2000元后,未偿还贷款余额为:,设x为修正年度付款的金额,则,101,3.2.2.分期偿还表,在分期偿还贷款问题中，还有一个问题对借贷双方都很重要，就是每次付款中那些是还本，那些是付息。分期偿还表就是列表显示每次付款如何划分为本金和利息两部分，以及每次付款后未偿还贷款余额是多少。,一项在n个时期内以利率i 偿还的贷款 的分期偿还表,例3.2.3.一笔贷款以10次2000元的付款继之以10次1000元的付款来偿还，付款的时间为每半年之末，若半年转换的名义利率为10%，列出该项目的分期偿还表,EXCEL,注：大多数情形下可能会积累一个舍入误差。如果是这样，可适当调整最后一次付款，使它精确地等于最后一个时期的利息金额加上最后一个时期之初的未偿还贷款余额。这样的调整将使整个时期之末的未偿还贷款余额精确为零。,EX。一辆轿车价值为12万元，先付20%,以后按7.65%月度转换利率每月付等额款项直至第5年末付清。试构造此项业务头3年与最后3年的分期偿还表。,3.2.3.偿债基金,借款人在偿还一笔贷款时，也可以不用分期偿还方式，而用在一个规定时期之末的一次集中付款来偿还。在许多这种情况下，借款人要积累一笔基金，此基金足够在规定时期之末精确的偿还贷款，这种基金就称为偿债基金。在支付偿债基金的同时，经常需要借款人在整个贷款期间周期性地向贷款支付利息（如某些公司债卷向投资者定期支付的息票），这样原贷款金额保持不变。,105,当贷款中支付的利率与偿债基金所得的利率相等时，偿债基金方法等同于分期偿还方法,例3.2.4.A借款1000元，要求本金在第4年末偿还，同时每年需按8%的实质利率支付利息，A应通过每年向一偿债基金存款来积累还款的金额，此基金有8%的实质利率。试分别构造分期偿还表和偿债基金表,解：,偿债基金表与(等额支付的)分期偿还表有如下关系：(1)偿债基金方法中的付款总数，即付给贷款的利息加上偿债基金储蓄，等于分期偿还方法中的付款金额。(2)偿债基金方法中支付的净利息，即贷款所付的利息减去偿债基金所得的利息，等于分期偿还方法中所付的利息。(3)偿债基金的年度增长，即偿债基金的储蓄加上偿债基金所得的利息，等于分期偿还方法偿付的本金。(4)偿债基金方法中的贷款净金额，即原始贷款金额减去偿债基金金额，等于分期偿还方法中的未偿还贷款余额,107,用符号 表示每期末付款1，贷款利率i，偿债基金利率j的年金。这样，假如有一笔金额为1的贷款，它在分期偿还方法下的每次周期性分期付款应为。然而，按照偿债基金方法，这一付款必须按利率i给贷款支付利息，又要提供偿债基金储蓄，使它能按照利率j在 n 个时期之末积累到1。故有,在实践中经常遇到的情况是贷款利率i大于偿债基金利率j.,(3.2.1),事实上,贷款利率i，偿债基金利率j的贷款K的偿债基金表,例3.2.5.A想借款1000元，贷款人B提出的条件是本金应在第4年末偿还，同时需按10%的实质利率支付利息，A应通过每年向一偿债基金存款来积累还款的金额，此基金有8%的实质利率；贷款人C提供一种在4年内按分期偿还方法还款的贷款利率，(1)问C所开价的实质利率最大可为多少，才能使A面临的两种选择方案，并无差别？(2)试构造B的偿债基金表解:所谓两种无差别意味着A用两种方案存款,每期付款额相等.设B的方案中,A每期付款额为x,则,（2）解,111,E X 在31年内每年末付款36000元，以偿还一笔400000元的贷款，假如借款人用一项有3%实质利率的偿债基金来偿还本金，求(1)在贷款中对贷款人支付的实质利率。(2)若偿债基金为贷款人所有，求贷款人获得的总体收益率*(3)如果要求贷款按(1)的实质利率通过等额分期付款偿还，构造分期偿还表和偿债基金表答:(1)i7%;(2)j=8.25%,112,3.3 初付年金及其应用,3.3.1 初付年金,在n个时期中，每个时期初付款1的年金为初付年金。其时间图为,设每个时期的利率为i，则年金在0时刻的现时值记为,在n时刻的积累值记为。,思考：与 有何关系？与 有何关系？,例3.3.1 证明并解释,证:从时间图易见,如果在0时刻之前在加上一个时期,则这一系列付款相当于从-1时刻开始的延付年金.于是,字面解释从时间图易见,付款序列相当于0时刻付款1,再加上每时期末付款1的n期延付年金,减去n时刻的付款1.现时值为a),积累值为b),例3.3.2 有一位40岁的工人打算通过在25年内每年初存款￥1000来积蓄一笔退休金，从65岁开始，此工人打算在以后的15年内每年初取款一次。试确定他从65岁开始每年取款金额。其中头25年实质利率为8%，而此后仅为7%。解:n1=25,k1=1000,i1=8%;n2=15,k2=?,i2=7%;,前25年积累:,后15年:,EX1 某君40岁购买一项养老保险，每年初缴纳保费1620元，缴费期至59岁共20年。从60岁开始，每年初保险公司给付3360元养老金直至该君死亡。若此君活到79岁，则此项投资的收益率是多少？若此君活到99岁，则保险公司在这一保险业务上是否合算？(答:i)3.713%;ii)5.3%),EX2 某君为其3岁的孩子投保某险种，每年初缴纳保费2105元，缴费其为15年。按年利率4.77%，到15年末此项投资的积累值是多少？若从第16年初开始，每年取出5000元，共取4年，则到第19年末此项投资的积累值又是多少？(答:i)22.22;ii)33856),116,永久年金是付款永远继续下去，无期限的。例如：无偿还保证的优先股股息。,延付永久年金的现时值记为,(3.3.1),公式(3.3.1)可按字面解释，如果将本金 按利率i投资，则利息 可永远在每一时期末支付，而不去触动本金。,3.4 永久年金,例3.3.3 A留下一笔$100000的遗产，这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个十年的利息付给受益人C，此后的均付给慈善事业D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此项财产中各得多少份额？解:B所占份额为,C所占份额为,E所占份额为,118,3.5 基本年金问题,3.5.1 未知时间问题,包含未知时间的问题不见得正好产生n是整数的解答。这些问题可以有如下三种处理方式(1)在最后一次正规付款的同时作一次小的附加付款，称为上升支付；(2)在最后一次正规付款的后一个时期作一次较小的付款，称为下降支付；(3)在最后一次正规付款以后的时期中作一次较小的付款，称为非标准时期支付。,包含非标准时期付款的年金现值常记作，可解释为一项n个时期，每时期付款1的延付年金再加上最后一次在时刻k 的付款的现时值。,在时刻k 的付款为,(3.5.1),(3.5.2),例3.5.1 有一笔$1000的投资用于在每年年底付$100，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作出多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小的付款是：在最后一次正规付款的日期支付；在最后一次正规付款以后一年支付；在最后一次正规付款后的一年中间支付。解:设可做n次付款,令,故可做14次正规付款再加依次较小的最后付款.,(1)设较小的付款额为x.则到14年末,应有,(2)设第15年末付款x.则,(3)设付款时刻为14+k,由,由(3.5.2),付款额为,122,一笔基金每年年底存入$1000，一直到积累值为$25000为止，如果基金的实质利率为8%，试确定需要多少次正规储蓄，及在最后一次正规储蓄后一年的最后储蓄金额为多少？答:n=14,x=-1152.092,EX,123,在解年金的未知利率问题时，常用如下的Newton-Raphson迭代公式,(3.5.3),或,(3.5.4),初值为,(3.5.5),3.5.2 未知利率问题,124,例3.5.2 季度转换年利率应为多少，才能使在5年内每季度之末付款$1000的现时值为$16000?解:n=54=20,k=1000,a=16000设季度内实质利率为j,则,或,3.5.3 变利息,在变利息情形，ik有几种不同的含义(1)若ik表示第k个时期所用的利率,不管付款是在什么时侯。则n时期延付年金的现时值为,(3.5.6),n时期初付年金的积累值为（考虑初付年金是为了使所有ik值都进入公式）,EX 试确定一笔每年付款1000元，为期10年的延付年金的现时值与积累值，假定第t年的实质利率为,延付年金的积累值可由初付年金得到：,(3.5.7),(3.5.8),该初付年金是从时刻1而不是时刻0开始的！,(3)在计算积累值时，若在时刻k的付款在余下的积累期间按利率ik计息，则n时期初付年金的积累值为,(2)在计算现时值时，若ik表示在时刻k的付款经历所有k个时期的利率，则n时期延付年金的现时值为,(3.5.9),(3.5.10),延付年金的积累值为,EX 试确定一笔每年付款1000元，为期10年的延付年金的积累值，如果第t年的付款按实质利率it=0.04+0