刘鸿文版材料力学课件6-7章.ppt
弯 曲 变 形,第 六 章,目录,第六章 弯曲变形,6-1 工程中的弯曲变形问题,6-2 挠曲线的微分方程,6-3 用积分法求弯曲变形,6-4 用叠加法求弯曲变形,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,6-5 简单超静定梁,目录,目录,6-1 工程中的弯曲变形问题,7-1,目录,目录,6-1 工程中的弯曲变形问题,目录,6-1 工程中的弯曲变形问题,6-2 挠曲线的微分方程,1.基本概念,挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,挠度转角关系为：,挠度y：截面形心在y方向的位移,向上为正,转角：截面绕中性轴转过的角度。,逆时针为正,7-2,目录,2.挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,6-2 挠曲线的微分方程,目录,由数学知识可知：,略去高阶小量，得,所以,6-2 挠曲线的微分方程,目录,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,6-2 挠曲线的微分方程,目录,6-3 用积分法求弯曲变形,挠曲线的近似微分方程为：,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,7-3,目录,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角和最大挠度,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB 段：,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,5）确定转角方程和挠度方程,AC 段：,CB 段：,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,讨 论,积分法求变形有什么优缺点？,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,6-4 用叠加法求弯曲变形,设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：,由弯矩的叠加原理知：,所以，,7-4,目录,故,由于梁的边界条件不变，因此,重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。,6-4 用叠加法求弯曲变形,目录,例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC；B截面的转角B,1）将梁上的载荷分解,2）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。,解,6-4 用叠加法求弯曲变形,目录,3）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和,6-4 用叠加法求弯曲变形,目录,例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C,1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形,为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。,解,6-4 用叠加法求弯曲变形,目录,3）将结果叠加,2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。,6-4 用叠加法求弯曲变形,目录,讨 论,叠加法求变形有什么优缺点？,6-4 用叠加法求弯曲变形,目录,6-5 简单超静定梁,1.基本概念：,超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁,多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束,超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。,2.求解方法：,解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统,7-6,目录,解,例6 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数,2）解除多余约束，建立相当系统,目录,3）进行变形比较，列出变形协调条件,6-5 简单超静定梁,4）由物理关系，列出补充方程,所以,5）由整体平衡条件求其他约束反力,目录,6-5 简单超静定梁,例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,物理关系,解,目录,6-5 简单超静定梁,代入得补充方程：,确定A 端约束力,目录,6-5 简单超静定梁,确定C 端约束力,目录,6-5 简单超静定梁,A、C 端约束力已求出,最后作梁的剪力图和弯矩图,目录,6-5 简单超静定梁,1）选择合理的截面形状,目录,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,目录,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变载荷类型,目录,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,3）采用超静定结构,目录,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,目录,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,小结,1、明确挠曲线、挠度和转角的概念,2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法,3、学会用变形比较法解简单超静定问题,目录,第七章 应力和应变分析强度理论,7-1 应力状态的概念 7-3 二向应力状态分析-解析法 7-4 二向应力状态分析-n图解法 7-5 三向应力状态 7-8 广义胡克定律 7-11 四种常用强度理论,第七章 应力和应变分析强度理论,低碳钢,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸 铁,问题的提出,71 应力状态的概念,目录,脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？,低碳钢,铸 铁,71 应力状态的概念,目录,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,71 应力状态的概念,横力弯曲,直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。,71 应力状态的概念,直杆拉伸,71 应力状态的概念,目录,单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用 表示，并且该单元体称为主应力单元体。,71 应力状态的概念,目录,71 应力状态的概念,目录,（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零,平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态,71 应力状态的概念,1.斜截面上的应力,7-3 二向应力状态分析-解析法,目录,列平衡方程,目录,7-3 二向应力状态分析-解析法,利用三角函数公式,并注意到 化简得,目录,7-3 二向应力状态分析-解析法,2.正负号规则,正应力：拉为正；压为负,切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。,角：由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,目录,7-3 二向应力状态分析-解析法,确定正应力极值,设0 时，上式值为零，即,3.正应力极值和方向,即0 时，切应力为零,目录,7-3 二向应力状态分析-解析法,由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。,所以，最大和最小正应力分别为：,主应力按代数值排序：1 2 3,目录,7-3 二向应力状态分析-解析法,试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,例题1：一点处的平面应力状态如图所示。,已知,目录,7-3 二向应力状态分析-解析法,解：,（1）斜面上的应力,目录,7-3 二向应力状态分析-解析法,（2）主应力、主平面,目录,7-3 二向应力状态分析-解析法,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主应力 方向：,目录,7-3 二向应力状态分析-解析法,（3）主应力单元体：,目录,7-3 二向应力状态分析-解析法,7-3 二向应力状态分析-解析法,此现象称为纯剪切,纯剪切应力状态,或,这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆,7-4 二向应力状态分析-图解法,目录,1.应力圆：,目录,7-4 二向应力状态分析-图解法,2.应力圆的画法,目录,7-4 二向应力状态分析-图解法,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着 微元某一截面上的正应力和切应力,3、几种对应关系,目录,7-4 二向应力状态分析-图解法,定义,三个主应力都不为零的应力状态,7-5 三向应力状态,目录,由三向应力圆可以看出：,结论：代表单元体任意斜截面上应力的点，必定在三个应力圆圆周上或圆内。,7-5 三向应力状态,目录,1.基本变形时的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,7-8 广义胡克定律,目录,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,7-8 广义胡克定律,目录,=,+,+,7-8 广义胡克定律,目录,3、广义胡克定律的一般形式,7-8 广义胡克定律,目录,（拉压）,（弯曲）,（弯曲）,（扭转）,（切应力强度条件）,杆件基本变形下的强度条件,7-11 四种常用强度理论,目录,目录,7-11 四种常用强度理论,强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,目录,7-11 四种常用强度理论,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论,(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,目录,7-11 四种常用强度理论,1.最大拉应力理论（第一强度理论）,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单拉实验测得,目录,7-11 四种常用强度理论,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。,断裂条件,强度条件,最大拉应力理论（第一强度理论）,铸铁拉伸,铸铁扭转,目录,7-11 四种常用强度理论,2.最大伸长拉应变理论（第二强度理论）,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,目录,7-11 四种常用强度理论,实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。,强度条件,最大伸长拉应变理论（第二强度理论）,断裂条件,即,目录,7-11 四种常用强度理论,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。,3.最大切应力理论（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉伸实验测得,目录,7-11 四种常用强度理论,屈服条件,强度条件,最大切应力理论（第三强度理论）,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,目录,7-11 四种常用强度理论,实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。,局限性：,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。,1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。,最大切应力理论（第三强度理论）,目录,7-11 四种常用强度理论,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。,4.形状改变比能理论（第四强度理论）,构件危险点的形状改变比能,形状改变比能的极限值，由单拉实验测得,目录,7-11 四种常用强度理论,屈服条件,强度条件,形状改变比能理论（第四强度理论）,实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,目录,7-11 四种常用强度理论,强度理论的统一表达式：,相当应力,目录,7-11 四种常用强度理论,7-11 四种常用强度理论,例题,已知：和。试写出最大切应力 准则和形状改变比能准则的表达式。,解：首先确定主应力,
