函数的性质3-周期性与对称性.ppt

函数对称性与周期性,杨少辉,知识点一：对称性的代数表达式；,1、函数 的图像关于直线 对称当 时，；,如：、等；,2、函数 的图像关于点 对称当 时，；,如：等；,注意：若 有意义，则；,总结：若函数方程中含有 且 的系数相反，则函数 具有对称性；若 则有对称轴；若 则有对称中心；,知识点二：简单的复合函数的奇偶性；,基本思想：转化成 的对称性来研究；,（2）为偶函数,（1）为奇函数,知识点三：函数对称性的一个应用；,（1）若 的图像关于 对称，且在区间 上为增（减）函数；若 则：（）；,例1、已知 满足：，且在 上为增函数；若不等式对 恒成立，求a的取值范围？,例2、函数 为定义在R上的减函数，的图像关于点 对称，若实数 满足：；点 为原点，当 时，的取值范围是_；,例3、已知等差数列 同时满足：（1）（2）则 的前2011项和=_；,知识点四：函数的周期性；,1、定义：对于定义域内的任意的 都存在非零常数 使得，则称 为函数 的一个周期，函数 为周期函数；（注意：如无特殊说明所说周期为最小正周期；）,2、常见的周期表达式：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,总结：若已知 的一个函数方程，且“式1”与“式2”中 的系数相同，一般可以推出周期；,3、对称性与周期性的关系；,（1）若 关于对称轴 对称,（2）若 关于 对称,（3）若 关于 对称,例题讲解：函数的综合应用；,例1、若 是定义在R上的奇函数，且满足，则下列命题正确的有_；（1）；（2）周期为4；（3）对称中心为；（4）对称轴为；,（变式1）已知 是R上的偶函数，是奇函数，且，则：_；,（变式2）已知定义在R上的函数 满足：为奇函数，为偶函数，则：=_；=_；,例2、已知 是定义在R上的奇函数，且满足（1）；（2）在区间 上为增函数；（3）时，有四个 不等实根；则：=_；,（变式）已知定义在R上的函数 满足：且，则 在 上的所有实跟之和为_；,例3、已知 是定义在R上的偶函数，且，当 时，；若关于 的方程 在区间恰有3个不等的实根，则a的取值范围是_；,（变式）已知；且函数 恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_；,谢谢指导！,