函数的和、差、积、商的求导法则.ppt

第二节 函数的求导法则,一.和、差、积、商的求导法则,二.反函数的求导法则,三.复合函数的求导法则,四.基本求导法则与导数公式,一、和、差、积、商的求导法则,【定理】,【证】(3),【证】(1)、(2)略(自己证明).,【证完】,【推论】,有限项,有限项,【例1】,【解】,【例2】,【解】,注意,例题分析,【例3】,【解】,同理可得,即,【例4】,【解】,同理可得,【例5】,【解】,同理可得,即,【例6】,【解】,二、反函数的求导法则,【定理】,【结论】反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,【证】,于是有,【例如】,本节作业题三、6,设g是f 的反函数，且f(4)=5,f(4)=2/3,则g(5)=(),(A)2/3;,(B)1;,(C)0;,(D)3/2,【例7】,【解】,同理可得,【例8】,【解】,特别地,即,三、复合函数的求导法则,对于,等复合函数，,存在两个问题：,(1)它们是否可导？,(2)若可导，如何求导？,以下法则回答了这两个问题.,【定理】,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),【证】,从而当u=0时，有y=f(u+u)f(u)=0，上式右端也为0.,规定：当u=0时，=0，,总有,【证完】,【推广】,【例9】,【解】,【关键】搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,【例10】,【解】,【例11】,【解】,【例12】,【解】,【例13】,【解】,【例14】,证明幂函数的导数公式,【证】,因为,所以,证完,【思考题】,【思考题解答】,正确地选择是（3）,例,在 处不可导,取,在 处可导，,在 处不可导，,取,在 处可导，,在 处可导，,（角点）,四、基本求导法则与导数公式,1.【常数和基本初等函数的导数公式】,2.【函数的和、差、积、商的求导法则】,3.【反函数的求导法则】,4.【复合函数的求导法则】,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,【例15】,【解】,即,双曲函数与反双曲函数的导数,同理,即,【小结】,【说明】最基本的公式,任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.,【关键】正确分解初等函数的复合结构.,至此，初等函数的求导问题全部解决.,由定义证,其它公式可用求导法则推出.,【思考题】,【思考题解答】,幂函数在其定义域内（）.,正确地选择是（3）,例,在 处不可导，,在定义域内处处可导，,