其它类型的未定式.ppt

三、其它类型的未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,洛必达法则,第三章,通常把这种极限叫做未定式,例如,其它类型的未定式,本节主要研究这些未定式极限,一、,存在(或为),定理 1.,型未定式极限,(洛必达法则),若,那么,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限,来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,证：,则有,存在(或为),洛必达法则,若,则,不妨假设,(介于x与a之间),证：,定义辅助函数,则有,推论1.,定理 1 中,洛必达法则,换为,之一,条件 2)作相应的修改,定理 1 仍然成立.,推论 2.,若,理1条件,则,推论 2.,若,理1条件,则,直至求出极限值，,若永远是不定式，则方法失效，,改用其他求极限方法,如果有必要可连续应用有限次洛必达法则，,或找出不符合法则的情形为止，,例1.求,解:,原式,例2.求,解:,原式,例3.求,注意：,洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法，,但与其它求极限方法结合使用，效果会更好.,解:,注意到：,原式,例4.求,解,原式,例5.求,解:,原式,思考:如何求,(n 为正整数)?,例6.求,原式,解:,注意到：,二、,型未定式极限,定理 2.,(洛必达法则),说明:定理中,换为,之一,条件 2)作相应的修改,定理仍然成立.,存在(或为),例7.求,解:,原式,例8.求,解:,原式,例7,例8 表明,时,后者比前者趋于,更快.,例9.求,解:,原式,三、其他未定式:,解决方法:关键将其他类型未定式化为洛必达法则可解决的类型：.,步骤:,例10.求,解:原式,例11.求,步骤:,解:原式,例12.,解:原式,又,原式,例13.求,解:,原式=,(用洛必达法则),(继续用洛必达法则),例14.求,步骤:,幂指函数求极限,转化为,例14.求,解:,步骤:,幂指函数求极限,转化为,例14.求,解:,步骤:,幂指函数求极限,转化为,又,例14.求,解:,又,例14.求,解:,步骤:,幂指函数求极限,转化为,又,例14.求,解:,又,内容小结,洛必达法则,幂指函数求极限,转化为,注意:,1洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好能,与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能,先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时,应尽可能应用 这样可以使运算简捷,2不是未定式不能用洛必达法则,3.在满足定理条件的某些情况下,洛必达法则不能解决,计算问题,例如，,而,-失效,4.若,例如,极限不存在,