全微分、方向导数、梯度.ppt

高等院校非数学类本科数学课程,大 学 数 学,（三）,多元微积分学,第一章,多元函数微分学,第一章 多元函数微分学,本章学习要求：理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。,会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。知道二元函数的泰勒公式形式。知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。11.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12.理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题。,一.全微分,回忆一元函数的微分,回忆一元微分的几何意义,一元:用切线上的增量近似曲线上的增量.,多元:用切平面上的增量近似曲面上的增量.,二元函数全微分的定义,时,若函数在点 X0 处的全增量可,则称函数在点 X0 处可微,称为函数在点 X0 处的全微分,其中,a,b 是与DX,表示为,全微分概念的极限形式,其中,每一点均可微,则称函数在区域,上可微.,函数在区域上的可微性,可微,连续,可导,?,?,?,在多元函数中,三者的关系如何？,什么关系?,可微,连续,可导,?,若函数可微,则,即,同理,取,证,可微,连续,可导,可微,连续,可导,在点(0,0)处连续,且有有界的偏导数,但不可微.,该例留给学生课后研讨,参考书：高等数学中的反例 朱 勇等编 华中工学院出版社 1986年 p 120130,逆命题?,可 微,连续,可导,连 续,可 导,连续可导,Ok,利用微分中值定理,由偏导数的连续性,要证明函数 f(x,y)在点 处可微,即要证,证,故,同理,从而,函数的全增量,又,即函数 f(x,y)在点 处可微.,故由夹逼定理,得,当不强调区域时,记为,全微分的计算,请同学自己看书!,将 y,z 看成常数:,将 x,z 看成常数:,解,将 x,y 看成常数:,故,解,回头看全微分公式,这与物理中的叠加原理相符.,二.方向导数,回忆一元函数的单侧导数:,A,B,C,x,O,y,z,.,P0,P,l,.,利用点函数推广到,方向导数的定义,l 方向的方向导数.记为,比较方向导数与偏导数的概念,在方向导数中,分母,利用直线方程可将方向导数的定义表示为:,射线 l 的方程:,则,故,方向导数导计算公式,的方向导数存在,且,定理,解,向导数值都等于 1:,的两个偏导数均不存在,但它在该点,沿任何方向的方向导数均存在,且方,此例说明:1.方向导数存在时,偏导数不一定存在.2.可微是方向导数存在的充分条件,而不是 必要条件.,只与函数在点 X0 处的偏导数有关.,1,一个问题：,且,三.梯度,定义,设,则称向量,或,可统一表示为,从而,解,设点电荷 q 位于坐标原点,在点,求电位 v 的梯度.,其中,负号说明离点电荷越远,电位越低,即电位梯度的方向与电场 E 的方向相反.,解,梯度及其运算公式的参考书,工程数学 矢量分析与场论谢树艺 高等教育出版社 1985年,谢谢观看！,