全国大学生力学竞赛-材料力学冲刺.ppt

材 料 力 学,竞 赛 训 练（2）,一、简化问题,二、平衡与叠加,三、结构的失效,模型简化,数学简化,物理事实简化,对称结构简化,整体平衡,局部平衡,叠加原理及其应用,构件的失效,训 练 内 容,危险截面和危险点,组合结构的失效,四、变动荷载问题,变动荷载对结构强度、刚度和稳定性的最不利位置,利用极值性质确定最不利位置,临界点、临界线以及它们所界定的区域,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,张量的极值就是其主值,利用极值出现处的性质和特点求极值,结构的优化,基础性概念和基本方法,六、非线性问题,七、能量方法,八、应变的测量,物理非线性,几何非线性,稳定问题,互等定理,温度荷载问题,动荷载问题,非线性问题,应变测试原理,常用测试方法,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,提示 利用函数导数求极值的关键，是明确自变量和目标函数，并建立目标函数与自变量之间的函数关系。,一般可以直接利用目标函数的物理意义来确定所求出极值是极大或极小。大多数情况下不必通过二阶导数确定极值的性质。,由于在许多情况下是在有限区间内讨论问题的，因此应注意区间两端点处的函数值是否可能构成极值。,如果函数是线性的，那么极值一定出现在所讨论的区间的两个端点处。,例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系数为最大的角度。,圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇形对水平对称轴惯性矩的和。,三角形对水平对称轴的惯性矩 I1,直角三角形对于过形心的 C 轴的惯性矩。,例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系数为最大的角度。,圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇形对水平对称轴惯性矩的和。,三角形对水平对称轴的惯性矩,扇形对水平对称轴的惯性矩,圆台关于水平对称轴的惯性矩,抗弯截面系数,抗弯截面系数,未切前抗弯截面系数,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,利用极值出现处的性质和特点求极值,提示 函数在某点处取极值，那么在这一点处函数的导数为零。若函数是挠度，则意味着该点转角为零。,例 如图的简支梁中，BC 段为刚体。AC 段的抗弯刚度为EI，求梁中的最大挠度。,梁的变形如图。,先求支反力。,最大挠度必产生于 AC 之间。,将原结构视为两段悬臂梁。,由 可解得,故有最大挠度,提示 简支梁问题的求解，可以在极值点处分解为两个悬臂梁来进行分析。,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,结构的优化,利用极值出现处的性质和特点求极值,提示 优化的结构，应使结构的各部份的强度、刚度和稳定性都得到充分的利用。,在强度问题中，优化的结构应尽量使结构中各构件（或构件中的各个部份）的危险点应力同时达到许用应力。,例 如图的混凝土梁单位长度的重量为 q。为了便于运输，可在梁上预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如何正确吊装以避免梁开裂？,吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。,梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。,弯矩的峰值出现在 C、D 截面。,考察 C、D 截面的弯矩与 a 的函数关系。,只有 C、D 截面弯矩的绝对值相等，才能使最大绝对值弯矩为最小。,为了避免产生附加的弯矩，在吊装时可考虑采用辅助吊杆。,提示 当某个参量同时决定两个函数，且这两个函数处于此长彼消的态势时，这两个函数值的交点往往就是极值点。,分析和讨论,梁的横截面为矩形，两支座怎样移动，才能使梁的承载能力为最大？,梁的横截面如图，两支座怎样移动，才能使梁的承载能力为最大？,例 如图承受均布荷载的梁由三个相通的油缸支承。为使梁中弯矩为最小，油缸的直径比应为多少？并求中间支座与两端支座的高度差。,分析 由于底部油缸连通，即油压相同，因此梁所承受的支反力与油缸支承面积成正比。,因此，欲求梁中弯矩为最小的要求，实际上是对支反力的要求。,问题可简化为如图的模型。,当梁中正弯矩与负弯矩数值相等时，梁中弯矩最小。,梁中的正弯矩随 R 的增加单调递减。,梁中的负弯矩数值随 R 的增加单调递增。,端部支反力：,例 如图承受均布荷载的梁由三个相通的油缸支承。为使梁中弯矩为最小，油缸的直径比应为多少？并求中间支座与两端支座的高度差。,跨中弯矩,跨中弯矩取极值的位置,该处弯矩,中点弯矩,跨中弯矩极值与中点弯矩数值相等：,由此可得中点支反力：,端部支反力：,两者之比：,若油缸压力为 p：,支座高度差：,分析和讨论,如图的悬臂梁承受均布荷载，右端有一铰支座。为了提高梁的承载能力，可以把支座的位置适当向上提升。,支座高度差,等于多少，才能使梁的承载能力提高得最多？,等强度梁的概念,由此即可确定截面的尺寸。,截面尺寸主要取决于弯矩，但在剪力很大而弯矩较小的区段也应考虑剪力的影响。,根据强度设计梁的截面,在左端，只考虑剪力的影响,随着 x 的增加，应考虑弯矩的影响,由于对称性，可以只考虑左半部份。,例 图中梁的宽度 b 保持不变，材料许用应力为 和，根据等强度观点确定梁的高度 h 的变化规律。,显然 h1 应大于 零，即,故有,例 图中梁的宽度 b 保持不变，材料许用应力为 和，根据等强度观点确定梁的高度 h 的变化规律。,分析和讨论,为什么汽车车厢的支承弹簧要采取如图的结构形式？,分析和讨论,为了提高结构的承载能力和经济性，可以采取哪些措施？,改善荷载分布方式和支承方式,利用材料性能改善结构的承载方式,改善构件的几何形式,在超静定结构中有意识地利用装配应力,提示 梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，只能改善强度而不能改善刚度。,把构件的材料由低质钢改为优质钢，不能提高其刚度和稳定性。,分析和讨论,两个梁材料相同，左梁分为若干层，右梁为整体材料，谁能承受更大的力 F？,两个构件材料相同，一个由整体钢筋制成，一个由若干根钢丝组成，两者有效横截面积相同，谁能承受更大的力 F？,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,结构的优化,张量的极值就是其主值,利用极值出现处的性质和特点求极值,提示 应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。,杆件横截面上的形心主惯性矩就是该截面上沿不同方位的惯性矩的极值。,例 如图的结构中，若允许在顶端增加一根可拉压的弹簧以增加抗失稳能力，那么弹簧应如何安置最为合理？,分析 图示的杆件失稳，发生在横截面形心主惯性矩较小的方向上。,故应沿 x 轴安装弹簧最合理。,因此，应先计算图示坐标系下的两个惯性矩和惯性积，再求其主方向。,分析和讨论,将宽为 6b 的硬纸折叠成上图的形状粘牢，竖立起来。,另外，将宽为 8b 的硬纸折叠成下图的形状粘牢竖立。,如果上图的结构能够承受的竖向压力为 F，那么下图结构能够承受多大的荷载？,分析和讨论,提示 如果截面的对称轴多于两个，那么任意过形心的轴都是该截面的形心惯性主轴。,如图的横截面中，各部份对形心惯性主轴的贡献是相等的。,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,结构的优化,张量的极值就是其主值,利用极值出现处的性质和特点求极值,提示 应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。,应力的极值问题有三个层面：（1）是杆件中哪个横截面上的应力？（2）是该横截面上哪个点的应力？（3）是该点处哪个方位上的应力？,第三个层面上的极值问题的实质就是主应力和主方向。,图解法求张量极值 应力圆,1.应力圆的概念,圆心,半径,这是一个关于动点（，）的圆方程。,以 为横轴、为纵轴建立坐标系。,切应力的符号规定 对单元体中任意点有顺时针方向矩的切应力为正。这一规定无论是对单元体本身所有的四个面，还是对斜截面都是一样的。,注意 在应力圆的应用中，x 与 y 是区别开的。,2.根据单元体应力作应力圆,1)建立 坐标系；,4)连接 A 和 A，该线段与横轴交点即为圆心 O，OA 即为半径；,2)在 平面中确定点；,3)确定点；,5)作圆。,用应力圆上的点表示斜截面上的应力,在应力圆上，从 A 开始，与 保持相同的转向，转 2 的角度至 K 点，K 点所对应的横坐标即为斜截面上的正应力，纵坐标即切应力。,在应力圆上，A 点所对应的横坐标即为单元体左侧面上的正应力，纵坐标即切应力。,3.应力圆的应用,斜截面上的应力：,在应力圆上，从 A 开始，与 保持相同的转向，转 2 的角度至 K 点，K 点所对应的横坐标即为斜截面上的正应力，纵坐标即切应力。,主应力和主方向：,最大切应力：,例 对如图的应力状态，求=30 截面上的正应力和切应力。并求主应力大小。,应力状态,作应力圆,从 A 点开始，逆时针转 60 到 K 点,分析和讨论,应力圆退化成一个点对应于什么应力状态？,应力圆通过原点时是什么应力状态？,应力圆的圆心在原点时是什么应力状态？,例 求如图斜面上的切应力。,分析,已知信息：,A 点位置,B 点所在的竖直线,BOA 的大小,目标：,确定圆心 O 位置,注意 BBA=60！,例 求如图斜面上的切应力。,应力圆作法,过 A 点作竖线垂线。,过 A 点作 30斜线交竖线于 B。,作 AB 的垂直平分线交横轴于 O。,以 O 为圆心，以 OA 为半径作圆。,分析和讨论,如何作应力状态的应力圆？,4.关于应变圆,应变圆的原理与应力圆相同。,应变圆的横轴为线应变，纵轴为切应变之半/2。,切应变以直角的增加量为正。,例 根据直角应变花的测量值画出应变圆。,分析,已知信息：,三个应变值；,a 与 c 幅角相差 90；,a 与 b 幅角相差 45；,圆心必定在 AC 中点。,OAK O PB。,例 根据直角应变花的测量值画出应变圆。,应变圆作法,确定 AC 的中点 O，,截取 O B=AK。,以 O 为圆心，以 O K 为半径，即可作应变圆。,作a、b 和 c 三条竖线；,五、极值和优化问题,利用函数导数求极值,结构的优化,张量的极值就是其主值,利用极值出现处的性质和特点求极值,提示 应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。,应力的极值问题有三个层面：（1）是杆件中哪个横截面上的应力？（2）是该横截面上哪个点的应力？（3）是该点处哪个方位上的应力？,第三个层面上的极值问题的实质就是主应力和主方向。,六、非线性问题,物理非线性,应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性,提示 注意物理非线性不影响静定结构的内力，仅影响其变形。物理非线性必定影响超静定结构的内力。,在拉压、扭转和弯曲等横截面应力公式中，只有拉压应力公式可以直接用于物理非线性问题之中。,例 图示结构中，AB 材料应力应变关系为，AC 为，两杆横截面积相同，试求 A 点铅垂位移。,根据平衡求出各杆内力。,各杆线应变,各杆变形量,六、非线性问题,物理非线性,分段线性问题,当构件某些部位或某些区段进入了塑性，有可能使外荷载与变形量之间呈现出分段线性的形态。,应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性,例 在两端固定的杆件截面 C 上，沿轴线作用的 F 力由零缓慢地增长至杆件完全进入塑性。b a，杆件的横截面积为 A，材料的弹性模量为E，屈服极限为 S。根据理想弹塑性模型，画出截面 C 的位移 uC 随 F 力变化的图像。,先考虑左右两段均处于弹性阶段的情况。,设两段的轴力分别为拉力 FNA 和压力 FNB，则有,可得,由于 b a，故左段先进入塑性。,左段刚进入塑性时，,荷载继续增加时，,右段的轴力,左段的轴力,C 截面的位移取决于右段,当 时，,分析和讨论,如果不卸载，加载曲线将如何进一步发展？,提示 在某些超静定结构中，即使本构关系是线性的，荷载位移关系也会呈现出分段线性的情况。,分析和讨论,图示结构中，荷载 F 和 C 点位移的关系会是分段线性的吗？,荷载 F 和 C 点位移的关系图线具有什么趋势？,例 如果在右段刚进入塑性时即开始卸载，直到外荷载为零。求残余应力和 C 截面残余位移。,卸载可认为是附加上反向荷载 F。,弹性阶段,右梁刚进入塑性,反向荷载 F 相应的变形满足 Hooke 定律。,左段附加压力,右段附加拉力,C 截面的附加位移,左段残余应力,右段残余应力,C 截面的残余位移,例 半径为 R 的刚性圆盘在圆周上由六根等距排列且完全一样的立柱支撑。竖向集中力F 可在圆盘上自由平行移动。立柱柔度很小，但其屈服极限 S 为 F/4。如果要使每一根立柱都不进入塑性，F 应该限制在什么区域内？如果要使圆盘不致于倾翻，F 应该限制在什么区域内？,与失稳分析类似，若要每一根立柱都不进入塑性，F 应该限制在图示蓝色区域内。要使圆盘不致于倾翻，F 应该限制在橙色区域内。,分析和讨论 如果荷载进入如图的橙色区域后再返回蓝色区域，已进入塑性的杆件能完全回复到弹性状态吗？,荷载从原点出发，沿不同路径进入橙色区域再返回原点，刚性板的竖向位移相同吗？,例 各杆抗拉刚度均为 EA，屈服极限均为 S=F/4。现荷载由 O 点缓慢移动到 K 点后再返回到 O 点，A 杆处的竖向位移是如何变化的？,显见，刚在 O 点加上荷载时 A 点的竖向位移为,荷载在 K 点时 A 杆处的位移,此时 A、B、F 杆进入塑性，它们对圆盘的支承力将保持为 F/4，但不会对圆盘的位移形成约束。,C、D、E 杆的轴力分别为：,（压）,（拉）,C、D 处的竖向位移为：,A 处的竖向位移为：,即,荷载由 K 点返回到 O 点，相当于原有荷载叠加上如图的反方向荷载。,反方向加载各杆相应的轴力,反方向加载时 A 处的附加位移为：,荷载回到 O 点时 A 杆处的位移,六、非线性问题,物理非线性,几何非线性,分段线性问题,在未变形构形中不能实现力平衡，或特殊的变形形式导致外荷载与变形量不呈线性关系，都是几何非线性的例子。,应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性,例 重量为 P 的杂技演员在表演走钢丝。钢丝的总长庋为 2L，抗拉刚度为 EA，求演员行至中央处时钢丝的最大挠度。,设中点的竖向位移为，则半长钢丝的伸长量,该伸长量由其轴力 F 引起：,故有,根据力平衡,故有,将 F 表达式代入即可得,分析和讨论,图示结构中，可以在未变形的构形中讨论力平衡吗？,提示 几何非线性问题的处理应同时考虑变形前后的构形。,几何非线性问题中的荷载与变形量不呈线性关系。,记容器倾斜的角度为，,例 如图的长方体容器中盛了一半的水。钢绳的抗拉刚度为 EA，初始时容器左右下方均由铰支承，钢绳伸直但无应力。现将容器右部下方的支座缓慢移开。不考虑容器的重量和绳的自重，在水未溢出的前提下求钢绳的伸长量。,考虑由于水的倾斜而引起的重心位置变化：,钢绳拉伸点到支座的水平距离：,重心到容器左侧面的距离：,记水的重量为 P，钢绳拉力为 F，,重心到支座的水平距离：,可以认为 比 a 小很多，则有：,记,故钢绳的伸长量,分析和讨论,本题何处用到有关小量的假定并将其二阶量忽略？,六、非线性问题,物理非线性,几何非线性,稳定问题,分段线性问题,应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性,稳定问题的一般性概念,稳定问题的一般性概念,构件是否存在失稳问题,考察柔度,稳定问题的一般性概念,构件是否存在失稳问题,考察柔度,构件往什么方向失稳,两个主惯性矩方向上约束不同 考察柔度,稳定问题的一般性概念,构件是否存在失稳问题,考察柔度,构件往什么方向失稳,两个主惯性矩方向上约束不同 考察柔度,两个主惯性矩方向上约束相同 考察主惯性矩大小,稳定问题的一般性概念,构件是否存在失稳问题,考察柔度,构件往什么方向失稳,两个主惯性矩方向上约束不同 考察柔度,两个主惯性矩方向上约束相同 考察主惯性矩大小,在多大压力下构件会失稳,特征方程,临界荷载,如何失稳,理想压杆：分岔失稳,非理想压杆：极值失稳,临界应力,分析和讨论,如果压杆的下端四周固定，上端自由并承受轴向压力，其横截面如下图所示。试判断失稳的方向。,六、非线性问题,物理非线性,几何非线性,稳定问题,分段线性问题,刚性杆稳定的临界荷载,应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性,稳定问题的一般性概念,螺旋弹簧的旋转刚度为，杆是刚性的。,刚性杆的稳定问题,在什么条件下刚性杆能够返回初始的平衡位置？,弹簧提供的阻止刚性杆倾斜的力偶矩,力 F 在此位置上对左端的力偶矩,能够返回初始平衡位置,不能返回初始平衡位置,临界荷载,考虑右段的平衡,中间铰处的相对转角为 2,再考虑左段的平衡,例 若螺旋弹簧的旋转刚度为，杆是刚性的，求临界荷载 Fcr。,提示 稳定问题的分析中，应先设想结构一个失稳状态，然后在已变形的构形中考虑力和矩的平衡。,例 铅垂立柱为刚性的，设钢丝绳抗拉刚度为 EA，初始拉力为零，求临界荷载。,设失稳时立柱偏转角为，考虑立柱的平衡：,钢绳的伸长量,钢绳伸长量与偏转角之间的关系为,六、非线性问题,物理非线性,几何非线性,稳定问题,分段线性问题,刚性杆稳定的临界荷载,弹性稳定的微分方程,应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性,稳定问题的一般性概念,考虑右半部的平衡,A、B、R 不全为零。,弹性稳定的二阶微分方程,特征方程,A、B、R 有非零解的必要条件,临界荷载,弹性稳定的二阶微分方程,提示 特征方程包含了稳定问题的全面信息。根据特征方程，可以用数值方法寻求临界荷载。,特征量 kL 是无量纲量。特征方程是关于 kL 的方程。推导特征方程时，要将 kL 作为一个整体处理。,特征方程的推导方法：利用齐次边界条件（位移为零、转角为零等）建立关于待定系数的齐次线性方程组，再从系数行列式为零的条件引出特征方程。,在推导特征方程时，如果事先将挠度、弯矩等按正方向设定，可以有效地减少出错的可能性。,例 图示结构中，AB 段为刚体，BC 段抗弯刚度为 EI，A处有一螺旋弹簧，其刚度，求这个结构的稳定特征方程。,结构失稳形态如图。,建立如图的坐标系。,考虑整体平衡。,在弹性区段取右段考虑其弯矩,其通解,A、B、有非零解的必要条件,特征方程,考虑弹性区的边界条件,六、非线性问题,物理非线性,几何非线性,稳定问题,分段线性问题,刚性杆稳定的临界荷载,弹性稳定的微分方程,非理想压杆,应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性,稳定问题的一般性概念,例 分析有横向均布荷载的受压杆的临界荷载。,建立坐标系，,建立弯矩方程：,这是一个非齐次线性微分方程。,由于非齐次项为多项式，所以特解可选取同阶多项式，其系数可由待定系数法确定。,由边界条件确定 A 和 B,例 分析有横向均布荷载的受压杆的临界荷载。,建立坐标系，,建立弯矩方程：,这是一个非齐次线性微分方程。,当 时上式趋于无穷大,故可认为,例 图示空心圆柱 E 为已知，如果柱顶位移最多只允许为，钢索的拉紧力最大为多少？,建立弯矩方程：,由边界条件确定 A、B 和,式中,顶端挠度最大允许值为,柱顶端压力与钢索拉紧力之间有,六、非线性问题,物理非线性,几何非线性,稳定问题,分段线性问题,刚性杆稳定的临界荷载,弹性稳定的微分方程,非理想压杆,应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性,稳定问题的一般性概念,七、能量方法,基础性概念和基本方法,应变能和外力的功,应变比能,应变能,外力的功 W,杆件的拉压,圆轴的扭转,梁的弯曲,应变能和外力的功,W=,例 横截面如图的变厚度圆环的中心线半径为 R，壁厚 随 呈线性变化（上下对称），圆环长度为 L，两端转矩为 T，求横截面上方位角为 处的切应力，以及两端面的相对转角。,薄壁杆件扭转切应力公式,中线所包围的面积,壁厚,扭转切应力,应变比能,取微元体积,应变能,外力的功,由功能关系,主要的计算方法,卡氏第二定理,卡氏第二定理仅限于线弹性系统。,单位荷载法,单位荷载法可广泛地应用于各类弹性系统，包括曲杆、变截面杆、非线弹性杆，以及温度变形等情况。,主要的计算方法,图乘法,图乘法仅限于线弹性等截面直杆（梁、轴）及其组合结构。,图乘法还可用于计算轴力图和扭矩图。同时存在轴力、扭矩和弯矩的区段必须分别计算各种内力图乘。,例 如图的刚度各段的抗弯刚度均为 EI，球形重物置于最下方横梁的何处，才不致于沿梁滚动？,只有球所在的位置梁的转角为零，才能使球不会滚动。,作相应弯矩图。,在球所在位置作用一单位力偶矩，并作相应弯矩图。,设球与左端的距离为 x。,用能量法求解超静定问题,用能量法求解简单超静定问题的要点：,1)用多余支反力代替结构中某点的约束以形成静定基。,2)在静定基上用能量法计算解除约束点处由原有荷载和多余支反力所引起的位移。,3)利用协调条件建立关于多余约束力的方程并求解。,例 如图结构中，求 CD 杆的轴力与 A 截面的内力。,结构是对称的，荷载是反对称的。,设想在中部将横杆切开。,截面处对称内力为零，故轴力为零。,设想在 A 截面将圆环切开。,截面处对称内力为零，故轴力为零，弯矩为零，仅有剪力。,圆环弯矩,单位力引起的弯矩,由协调条件,七、能量方法,互等定理,基础性概念和基本方法,功的互等定理,互等定理中的力和位移都是广义的。,P1 在 P2 所引起的位移上所做的功，等于 P2 在 P1 所引起的位移上所做的功。,互等定理中的两个力不一定是同时存在于结构之中的。,例 矩形板轴向抗拉刚度为 EA，泊松比为，求板在图示的一对力 F 的作用下的轴向变形。,设想板的另一受力状态如图。,易得第二种状态下的横向变形为,设第一种状态下所求的轴向变形为 L，由功的互等定理：,力学量和几何量的功共轭,集中力 P,线位移 a,集中力偶矩 m,角位移,均布荷载 q,面积 A,压力 p,体积 V,功的量纲,提示 在应用互等定理时，一般应构造同一个结构的另一种状态，这种状态应包含所求的变形，以及产生这种变形所需的荷载。,例 圆形板的弹性模量为 E，泊松比为，直径为 d，厚度为 t。求板在图示的一对力 F 的作用下的面积改变量。,设想板的另一受力状态如图。,易得第二种状态下的径向应力和周向应力均为 p，,故径向应变为,故直径变化量为,设第一种状态下所求的面积改变量为 A，由功的互等定理：,七、能量方法,互等定理,温度荷载问题,基础性概念和基本方法,单位荷载法在热应力问题中的应用,单位荷载法,其中,故有,真实荷载下的微元变形量,单位荷载法在热应力问题中的应用,T 是温升,提示 在热应力问题中，d(L)、d 和 d 是温度所引起的微元变化量。,例 一矩形截面悬臂梁底面温度升高了 T2，顶面温度升高了T1，且温度沿高度线性变化，T2 T1，计算自由端的竖向位移和横向位移。,取微元长度如图,在自由端作用向上的单位 1 的力，相应的虚弯矩为,则微元两侧面由于温度升高而产生的夹角为,根据单位荷载法：,又，微元长度由于温度升高而产生的增量为：,在自由端作用向左的单位 1 的力，相应的虚轴力为：,根据单位荷载法：,例 两段抗弯刚度均为 EI 的梁制成刚架安装于刚性壁和铰之间。安装时梁内无应力。安装后梁 BC 段的温度升高，底面温度升高了 T2，顶面温度升高了T1，且温度沿高度 h 线性变化，T2 T1，AB 段温度不变。材料的线热膨胀系数为。求 C 截面处的弯矩。,解除 A 处的水平约束和竖直约束,0,0,0,考虑温度、多余约束力以及单位荷载对弯曲的影响：,协调条件,协调条件,协调条件,由此可得 C 截面弯矩,七、能量方法,互等定理,温度荷载问题,非线性问题,基础性概念和基本方法,单位荷载法在物理非线性问题中的应用,单位荷载法,满足物理非线性关系 的微元变形量,提示 在物理非线性问题中，需要导出新的微元变形量的表达式，然后再将其代入单位荷载法计算式中。,例 悬臂梁承受均布荷载作用。若梁的材料的应力应变的绝对值间的关系满足，求自由端处的挠度。,先求梁的微元段两端面间的相对转角,平截面假设依然成立,正应力,正应力关于中性轴的矩构成截面上的弯矩,记,同样根据平截面假设,故有,为求自由端处挠度，在该处加上单位荷载,对于矩形截面,七、能量方法,互等定理,温度荷载问题,非线性问题,动荷载问题,提示 在动荷载问题（尤其是冲击问题）中，多考虑直接采用能量守恒方法。,基础性概念和基本方法,例 两根正方形截面梁在中央垂直交错，但之间有间隙。一重物 F 从高度 h 处自由落下，求梁中最大应力。,重物下落高度,两梁中间挠度关系,重物势能,应变能,机械能守恒,荷载与变形成正比,若=0，,例 单位重量为 q 的均质梁 AB 从高度 H 处自由落在刚性支架 D 上，求梁中最大弯矩。,分析,例 单位重量为 q 的均质梁 AB 从高度 H 处自由落在刚性支架 D 上，求梁中最大弯矩。,由于对称性，可以只考虑其一半。,建立如图坐标系。,动挠度方程,动弯矩方程,变形的势能减小,应变能,机械能守恒,刚体位移的势能减小,最大动弯矩,七、能量方法,互等定理,温度荷载问题,非线性问题,动荷载问题,提示 在动荷载问题（尤其是冲击问题）中，多考虑直接采用能量守恒方法。,基础性概念和基本方法,八、应变的测量,应变测试原理,k 灵敏度系数,原理：电阻丝长度的变化可引起电阻的变化。在一定范围内，电阻变化率与正应变成正比。,应变测试原理,1.应变片和电阻应变仪,应变片,应变测试原理,2.惠斯顿电桥,应变测试原理,电桥平衡条件,电阻改变,相邻桥臂异号，相对桥臂同号。,2.惠斯顿电桥,应变测试原理,四分之一桥连接,桥臂接入方式,半桥连接,全桥连接,应变测试原理,3.温度补偿,由于不可避免的温度变化，将使应变片产生附加值。,提示 温度补偿片必须接在测试片的相邻桥臂上。,八、应变的测量,应变测试原理,常用测试方法,测拉伸正应力,测试方法一,测试方法二,提示 如果荷载存在偏心，则上述测量不能反映拉应力的真实状况。,提示 如果同时存在拉伸和弯曲荷载，则上述测量不能反映扭转切应力的真实状况。,测扭转切应力,测试方法一,圆轴侧面各点处于纯剪状态，主方向与轴线成 45角。,测试方法二,测扭转切应力,测试方法二,测扭转切应力,提示 按照这种方式布片，无须温度补偿。,测试方法二,测扭转切应力,测弯曲正应力,提示 按照这种方式布片，无须温度补偿。,直角应变花,等角应变花,测一般双向应力状态,训练内容结束,谢谢大家,祝 大 家 成 功,祝 大 家 成 功,为 川 大 争 光,为 川 大 争 光,为 成 才 而 拼 搏,