信号检测与估计理论.ppt

1,同学们晚上好第四章 信号的波形检测,2,理想中的学者，既能博大，又能精深。精深的方面，是他的专门学问，博大的方面，是他的旁搜博览。博大要几乎无所不知，精深要几乎惟他独尊，无人所有。胡适,胡适（），汉族，安徽绩溪上庄村人。现代著名学者、诗人、历史家、文学家，哲学家。,3,希望胡适我从山中来，带得兰花草，种在小园中，希望花开好。一日望三回，望到花时过；急坏看花人，苞也无一个。眼见秋天到，移花供在家；明年春风回，祝汝满盆花！,4,兰花草歌词 我从山中来带着兰花草种在小园中希望花开早一日看三回看得花时过兰花却依然苞也无一个眼见秋天到移兰入暖房朝朝频顾惜夜夜不能忘但愿花开早能将宿愿偿满庭花簇簇开得许多香,5,希尔伯特(Hilbert,David，1862-1943)德国数学家,生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。,6,康托的连续统基数问题。算术公理系统的无矛盾性。只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。两点间以直线为距离最短线问题。拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。对数学起重要作用的物理学的公理化。等23个问题,7,世纪演讲：开尔文（Lord Kelvin 18241907）19世纪英国卓越的物理学家。原名W.汤姆孙（William Thomson。由于装设大西洋海底电缆有功，英国政府于1866年封他为爵士，后又于1892年封他为男爵，称为开尔文男爵，以后他就改名为开尔文。,8,物理大厦已经落成，所剩只是一些修饰工作。同时，他在展望20世纪物理学前景时，却若有所思地讲道：“动力理论肯定了热和光是运动的两种方式，现在，它的美丽而晴朗的天空却被两朵乌云笼罩了，”“第一朵乌云出现在光的波动理论上，”“第二朵乌云出现在关于能量均分的麦克斯韦-玻尔兹曼理论上。,9,W.mson在1900年4月曾发表过题为19世纪热和光的动力学理论上空的乌云的文章。他所说的第一朵乌云，主要是指A迈克尔孙实验结果和以太漂移说相矛盾；他所说的第二朵乌云，主要是指热学中的能量均分定则在气体比热以及势辐射能谱的理论解释中得出与实验不等的结果，其中尤以黑体辐射理论出现的“紫外灾难”最为突出。开尔文是19世纪英国杰出的理论物理和实验物理学家，是一位颇有影响的物理学权威，他的说法道出了物理学发展到19世纪末期的基本状况，反映了当时物理学界的主要思潮。第一朵乌云 迈克耳逊莫雷实验与以太说破灭 第二朵乌云黑体辐射与紫外灾难 广义相对论、量子力学。,10,第4章 信号波形的检测,4.1 引言 在第3章信号的统计检测理论基础上，推广讨论噪声背景中信号波形的最佳检测问题。即，如何将统计检测理论用于波形检测。即从随机矢量统计检测到随机过程统计检测的推广。随机过程的波形检测问题。噪声背景中信号波形的最佳检测，研究受噪声污染的接收信号波形中，信号状态的最佳判决问题。内容包括最佳准则下的判决式、系统结构、性能分析和最佳波形设计等。信号波形的最佳检测广泛应用于通信系统、雷达等系统。,11,研究匹配滤波器的目的 在数字通信系统中，滤波器是其中重要部件之一，滤波器特性的选择直接影响数字信号的恢复。在数字信号接收中，滤波器的作用有两个方面：使滤波器输出有用信号成分尽可能强；抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。,12,对最佳线性滤波器的设计有两种准则：1 一种是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小，由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器；2另一种是使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大，由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器。在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应用。,13,解调器中抽样判决以前各部分电路可以用一个线性滤波器来等效.由数字信号的判决原理我们知道，抽样判决器输出数据正确与否，与滤波器输出信号波形和发送信号波形之间的相似程度无关，也即与滤波器输出信号波形的失真程度无关，而只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比，即信噪比。信噪比越大，错误判决的概率就越小；反之，信噪比越小，错误判决概率就越大。,14,通信系统中，最佳准则通常是最小平均错误概率准则，在雷达等系统中，一般采用奈曼皮尔逊准则。(主要用于雷达),图4.1 二元数字通信系统波形检测模型,15,16,17,BPSK,18,假设 下，接收信号波形一般可以表示为或式中，表示接收信号的有效时间；代表信号的随机参量。,本章信号模型,19,本章主要内容,匹配滤波器理论(预备知识之一);随机过程的正交级数表示(预备知识之二);高斯白噪声中确知信号的波形检测；高斯有色噪声中确知信号的波形检测；高斯白噪声中随机参量信号波形的检测；复信号波形的检测。,20,4.2 匹配滤波器理论 信号统计检测理论的重要结论接收信号的功率信噪比越大，贝叶斯检测的性能就越好。设计匹配滤波器构造最佳检测器的目的改善检测系统的功率信噪比。设线性滤波器，在其输入信噪比一定时，若其输出信噪比达到最大，则称该线性滤波器是与输入信号相匹配的匹配滤波器。在电子信息系统中，信号接收机通常要按照匹配滤波器来设计，以改善信噪比。匹配滤波器是电子信息系统中的重要组成部分。匹配滤波器理论是电子信息系统的重要基础理论。,21,图4.2 接收机模型,匹配滤波器设计的核心,贝叶斯准则,对接收信号x(t)=s(t)+n(t)进行非线性加工处理，以提高其功率信噪比，确保正确判决的高概率实现,22,4.2.1 匹配滤波器的概念 设线性滤波器，在其输入信噪比一定时，若其输出信噪比达到最大，则称该线性滤波器是与输入信号相匹配的匹配滤波器。由匹配滤波器的概念，我们可以理解研究匹配滤波器的目的。,23,4.4.2 匹配滤波器的设计 设线性时不变滤波器如图4.3所示，其系统函数为，脉冲响应为。,图4.3线性滤波器,第一步：基于线性滤波器的频谱，观测输出信号so(t)和no(t)的时频域特性。第二步：根据线性滤波器输出功率信噪比的数学特性分析，讨论其最佳设计问题。,24,25,设线性时不变滤波器的输入信号为其中，是能量为 的确知信号；是零均值、功率谱密度为 的平稳加性噪声。1.根据线性系统的叠加定理，滤波器的输出信号为,26,由于滤波器是线性的，且x(t)=s(t)+n(t)，所以单独考虑他们的输出响应。首先给出假设，若输入信号s(t)为能量信号 如果输入信号s(t)的傅立叶变换存在，并且为(频谱函数),则输出信号so(t)的傅立叶变换存在，并且为,27,2.输出信号 设输入信号 的频谱函数为，则若 在 时刻达到最大（峰值），则 3.输出噪声 的平均功率 输出噪声 的 功率谱密度为,28,输出噪声平均功率,29,4.输出峰值功率信噪比,30,可见，使输出峰值功率信噪比 最大，在于如何设计滤波器的系统函数。,31,5.施瓦兹不等式 为了 获得使 最大的滤波器的系统函数 或脉冲响应，要用到施瓦兹不等式。施瓦兹不等式的基本形式如下：,a,b,32,其中，和 是两个复函数，“*”表示复共轭。当且仅当满足时，施瓦兹不等式取等号成立；其中，是任意非零常数。,33,的不等式 为了将施瓦兹不等式用于 令 和,34,另外根据帕斯瓦尔定理，输入信号s(t)的能量为,这样，式便可写为,35,7.匹配滤波器的系统函数 例用施瓦兹不等式取等号成立的条件，当满足时，的不等式取等号成立，为在噪声为非白色情况下，这样的匹配滤波器称为广义匹配滤波器。,36,8.白噪声时的匹配滤波器若，则匹配滤波器的系统函数其，。,这种滤波器的传输函数除相乘因子Ke-jt0外，与信号频谱的复共轭相一致，所以称该滤波器为匹配滤波器。,37,则最大输出功率信噪比为 匹配滤波器的脉冲响应为 通常我们讨论白噪声下的匹配滤波器。匹配滤波器的系统函数或脉冲响应中的系数，代表匹配滤波器的相对放大量，取k1，不影响匹配滤波器的特性。,只与有用信号的能量有关，而与波形无关，也即保持能量就行线性滤波处理不会造成信号的失真,38,39,4.2.3 匹配滤波器的主要特性(加性白噪声干扰)主要讨论白噪声条件下匹配滤波器的5个特性匹配滤波器脉冲响应h(t)的特点和t0时刻的选择匹配滤波器输出功率信噪比匹配滤波器的适应性匹配滤波器与相关器的关系匹配滤波器输出信号的频谱函数与输入信号频谱函数的关系,40,我们讨论白噪声条件下匹配滤波器的主要特性。1.匹配滤波器脉冲响应t0时刻的选择和h(t)的特点 为使输入信号 的全部都对输出信号 有所贡献，应满足这就是说，至少要选择在输入信号s(t)的末尾。,41,图4.4匹配滤波器的脉冲响应特性,h(t),随机过程的观测时间要足够长,42,43,44,为使匹配滤波器为物理可实现，脉冲响应应该满足,2.匹配滤波器的输出功率信噪比,与输入信号的能量有关，与s(t)的波形无关,45,3.匹配滤波器的适应性 设与输入信号 相匹配的滤波器的系统函数为若，则与其相匹配的滤波器的系统函数为因为 迟后 的时刻为，如果输出 信号出现最大值的,46,时刻都选择在信号的末尾，则 这样 二者具有相同的特性。这说明匹配滤波器对幅度变化、时延变化的信号具有适应性。若，则其匹配滤波器为显然，时，的频谱特性与 的频谱特性不同。这说明匹配滤波器对频移信号不具有适应性。,47,4.匹配滤波器与相关器的关系,I 自相关器,图4.5自相关器,用时间平均代替统计平均,48,信号s(t)与噪声n(t)不相关,自相关函数度量它本身和其平移后的波形两者之间的相似程度,49,举例：随机正弦信号参量Um，0或具有随机变量，则称此种信号为随机正弦信号。最常见的随机正弦信号是相位为随机变量，又称随机相位正弦信号。,50,随机相位正弦波的二阶统计特征不随时间变化，因此是属于广义平稳随机过程。特别是因为时间平均与统计平均完全相同，是具有各态经历的平稳随机过程。,具有随机幅度及相位的正弦信号不属于各态经历的平稳随机过程,51,具有随相相位的正弦信号自相关函数,52,白噪声,N 0为白噪声的单边功率谱密度,图1-5为白噪声的功率谱密度及自相关函数。可见，白噪声具有一个明显的特征，即不同时刻取值是不相关的。这对白噪声中取信号极为有用。,53,54,自相关函数计算电路，输入信号为x(t)=s(t)+n(t)，其中s(t)为被测信号；n(t)为观测噪声。自相关输出就是自相关函数，即,观测噪声n(t)为白噪声，则只要延时 0，则一定有Rn()=0.,实际上很难有理想白噪声，此时Rn()为一种衰减的曲线，见图1-7。此时要做到Rn()足够小，则必有一定值。令Rn()的相关时间e定义为,55,显然，白噪声的Rn()=0（当 0），即e=0。e越大，表示Rn()越大，即表示该噪声不同时刻的相关性越大。因此，要充分减小Rn()，则须要求延迟电路的 e。,56,图4.6互相关器,如果相关器的输入信号为,II 互相关器,57,则互相关器的输出为,58,两个随机过程互不相关时，则一定有Rxy()=Ryx()=0。例如，被检测信号与系统的观测噪声之间不存在相关性，因此采用互相关方法有利于抑制观测噪声。,互相关函数具有下列重要特性：（1）Rxy()仅与时间差有关，而与计算时间t的起点无关。（2）Rxy()=Rxy(-)（3）,59,互相关函数特性对于从噪声中检测微弱信号极为有用。互相关器，输入信号为两路，x(t)=s(t)+n(t)为被检测的信号及混入的观测噪声；y(t)为参考信号，要求与被检测信号s(t)相关。,60,2 匹配滤波器与互相关器的关系,61,其中，为实信号；本地信号为。相关器如图4.6所示。这样，有当 时，有 在白噪声情况下，与 相匹配的滤波器的 脉冲响应为。这样，匹配滤波器的输出信号为,62,当 时，有 上述结果表明，在 时刻，匹配滤波器的输出与相关器的输出是相等的。在信号波形检测中，最佳判决式是以相关运算形式出现的。上述结果说明，实现相关运算的相关器，可以等价地由匹配滤波器来实现。,63,64,图4.7 输入为正弦信号,计算卷积,计算方差,65,Space Segment Constellation,66,Space Segment Constellation,67,Kwajalein Atoll,US Space Command,Control Segment,Hawaii,Ascension Is.,Diego Garcia,Cape Canaveral,5个监测站,1主控站,3 注入站,68,User Segment,69,70,71,72,GNSS信号及其测量原理,随机噪声码：每一时刻，码元是0或是1完全是随机的一组码序列，这种码元幅值是完全无规律的码序列，称为随机噪声码序列。特性：它是一种非周期序列，无法复制。但是，随机噪声码序列却有良好的自相关性，GPS码信号测距就是利用了GPS测距码的良好的自相关性才获得成功。,73,伪随机码（Pseudo Random Noise Code PRN),74,伪随机码（Pseudo Random Noise Code PRN),75,伪随机噪声码的产生,原始序列,伪随机序列自相关,76,77,78,捕获到信号,79,80,81,匹配滤波器的本质,82,5 匹配滤波器输出信号的频谱函数与输入信号频谱函数的关系,能量频谱,83,补充例题4-1*：设输入信号如下，试求该信号的匹配滤波器传输函数和输出信号波形。,其他,分别求输入信号s(t)的频谱函数、系统的系统函数、系统脉冲响应函数及信号波形。,84,匹配滤波器的传输函数为,匹配滤波器的单位冲激响应为取t0=T，则有,(1)输入信号频谱函数,85,(2)匹配滤波器的输出为,其他,=,匹配滤波器的输出波形如图4-1*所示。可见，匹配滤波器的输出在t=T时刻得到最大的能量。,86,图4-1*信号时间波形,(,a,),(,b,),s,o,(,t,),O,T,t,(,c,),2,T,2,T,2,T,2,3,T,h,(,t,),0,T,t,2,T,1,s,(,t,),0,T,t,1,(3)信号时间波形,87,4.3 随机过程的正交级数展开 随机过程的正交级数展开，是把第三章关于信号统计检测的理论和方法推广应用到信号波形检测的数学工具。为什么要考虑随机过程的正交级数展开？当进行信号波形检测时，由于滤波器通频带附近范围内，白噪声被色化，因此使得各样本xk(k=1,2,N)之间存在相关性，从而使问题复杂化。,88,关于级数展开：欧拉公式与泰勒级数,复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为时，此点可表示为,e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e可以用计算方法定义为,89,欧拉公式与三角函数的关系,由泰勒级数展开,三角函数可表示为,同样若 展开，可得到,90,正交多项式,91,92,如果n(t)为白噪声，根据采样定理，对x(t)进行幅度采样，样本记为xk,则各样本之间是不相关的。如果n(t)为高斯白噪声，则xk是相互统计独立的。但是对于有色噪声，xk之间是统计相关的，问题比较复杂。,现在考虑随机过程x(t)的展开,93,为分析和解决各样本xk之间是统计相关这个问题，因此对于非白噪声过程寻求一种正交级数展开的方式，以便使展开式的各项系数之间是互不相关的。随机过程可以用傅立叶级数表示，但只有当观测时间T趋于无穷大时，各项系数才是不相关的。本节所讲“卡亨南洛维展开”就是这样一种特殊的展开方式。,94,4.3.1 正交函数集及确知信号的正交级数展开 1.若实函数集 在 时间内满足 则函数集 就是正交函数集。其中，称为第 个坐标函数，它们之间是相互正交的，而本身是归一的。如果在 外不存在另一个函数，使,95,则正交函数集 是完备的正交函数集。2.设确知信号，其能量，则 可用正交级数表示为其中，是信号 在第 个坐标函数 上的正交投影，称为 的第 个展开系数，并由下式解得对于确知信号，各展开系数 是确定的量。,96,4.3.2 随机过程的正交级数展开 接收信号其中，是确知信号；是零均值平稳随机过程，所以 也是平稳随机过程。随机过程的样本函数是时间的函数，所以对给定的样本函数，也可以用正交级数展开式表示为而展开系数为,97,对随机过程 而言，展开系数 是随机变量。结果说明；随机过程 可由其展开系数 来表示；问题是展开系数 之间可能是相关的。,98,4.3.3 随机过程的卡亨南洛维展开 基本思想：根据噪声 的统计特性，正确选择正交函数集 以使展开系数 之间是互不相关的随机变量。,在前面展开问题解决的基础上，我们考虑如何选择正交函数集，使展开系数xk互不相关。,99,设 是确知信号；是均值为零、自相关函数为 的平稳随机过程。则 的展开系数为,100,展开系数的均值为 欲求展开系数 与 互不相关，应满足其中，是 的方差。现讨论如何选择正交函数集，才能使展开系数 与 互不相关。,101,欲使上式等于，则 应满足这是一齐次积分方程。其中，是已知的噪声 的自相关函数，它是积分方程的核函数；是积分方程的特征值；是积分方程的特征函数。该积分方程的含义：在噪声 的自相关函数 下，满足该积分方程的特征函数 作为正交函数集 的第 个 坐标函数，所构成的正交函数集，对 进行展开，则展开系数 之间是互不相关的。这就是随机过程的卡亨南洛维展开。,102,103,4.3.4 白噪声下正交函数集的任意性 设,其中,是均值为零、功率谱密度 的白噪声，其自相关函为，于是，任取正交函数集，x(t)的展开系数 与 之间的协方差函数为,104,这说明，在 是 白噪声情况下，取任意正交函数集,对 进行正交级数展开，其展开系数 之间是互不相关的。这就是白噪声下，正交函数集选择的任意性。,105,4.3.5 参量信号时随机过程的正交级数展开 设,如何对参量信号进行展开？才能保证各展开系数之间互不相关？,106,107,108,当平稳噪声 的自相关函数为 时，的展开系数 之间互不相关的正交函数集 的每个坐标函数 仍应满足（）的积分方程。当平稳白噪声时任意正交函数集，均能使 之间互不相关。,109,前面预备知识主要内容总结匹配滤波器理论匹配滤波器的概念、设计、特性随机过程的正交级数展开随机过程的卡亨南洛维展开白噪声情况下正交函数集的任意性,110,4.4 高斯白噪声中确知信号波形的检测 我们从最基本的高斯白噪声中确知信号波形的检测开始讨论。主要讨论的内容为：简单二元信号波形的检测；一般二元信号波形的检测；M元信号波形的检测。,111,每种检测探讨的思路信号模型；最佳判决式；检测系统结构；检测性能分析；最佳波形设计，用充分统计量的方法分析设计,112,简单二元信号波形的检测1.信号模型 简单二元信号波形检测中，两个假设下的接收信号分别为,113,其中，为确知信号，能量；是均值为零、功率谱密度为 的高斯白噪声。,信号的波形检测首先要解决的问题是，根据在（0，T）时间内的观测信号波形x(t)的统计特性，作出是假设H0还是H1成立的统计判决，为此按照三个步骤进行判决表示式的讨论。,114,2.最佳判决式 把随机过程x(t)用正交级数展开系数xk表示。,115,于是，利用随机过程的正交级数展开，用展开系数表示的信号模型如下其中，是高斯随机变量，互不相关，也统计独立。,116,由于信号s(t)是确知信号，n(t)是零均值、功率谱密度为Pn=N0/2的高斯白噪声，所以，无论在假设H0还是H1下，接收信号x(t)都是高斯随机过程。已经知道，x(t)的展开系数xk是高斯随机过程的积分结果，因而xk是高斯随机变量，展开系数之间是互不相关的，也是统计独立的。这时，只要分别求出展开系数xk在两个假设下的均值和方差，就可以得到它的概率密度函数p(xk|Hj),j=0,1;k=1,2,117,其在假设 的均值和方差分别为,118,119,类似地在假设 下均值和方差分别为,120,这样,121,(2)取前有限N维，构成似然比检验，并化简 因为展开系数xk是相互统计独立的，于是在N有限情况下，由前N个系数构成的N维矢量xN在两个假设下的似然函数分别为,122,所以，由似然比检验并化简，两边取自然对数得,123,(3)取 的极限，得最佳判决式因为在两个假设下接收信号x(t)的展开系数有无穷多个，而式只取前N项 利用并取 的极限，则（）式变为,124,125,3.检测系统的结构 由判决式（），检测系统结构如图4.8所示。即由接收信号x(t)与确知信号s(t)经相关运算得到的。称之为相关检测系统。图4.8 相关检测系统结构,126,当然，由匹配滤波器与相关器在 时刻输出相等的性质，检测系统也可由图4.9所示的匹配滤波器实现。,127,4.检测性能分析（求判决概率和偏移系数）,128,检验统计量，无论在假设 下，还是在假设 下，都是高斯随机变量。其均值和方差分别为和,129,130,再求偏移系数，结果为于是，判决概率为,131,132,于是，进行整理得，判决概率为,133,上述检测性能的分析结果表明，在噪声n(t)是零均值，功率谱密度均匀的高斯白噪声条件下，简单二元确知信号的波形检测性能决定于偏移系数d2,d2与信号s(t)的能量Es有关，与信号s(t)的波形无关。由第三章知识知道，如果检验统计量lx(t)是高斯随机变量，则在求得偏移系数d2后，也可以直接写出检测的偏移概率。,134,5.最佳波形设计 偏移系数，是功率信噪比。在 一定的条件下，决定于信号能量，而与信号的波形无关。所以，在高斯白噪声中，对于简单二元确知信号的检测，只要保持信号s(t)的能量Es不变，原理上信号波形可任意设计。这在实际工程中是非常有用的。例如，采用线性调频信号，编码信号等，可降低发射机的峰值功率，改善信噪比。,135,图4.10 接收机工作特性,d为参量,为参变量,136,图4.11检测概率PD与参数d的关系,137,6.充分统计量的分析方法 随机过程的正交级数展开法，的展开系数是无限维的。充分统计量的分析方法是有限维的。充分统计量分析方法的数学基础是白噪声下，正交函数集的任意性：任意正交函数集对 进行展开，其展开系数 之间是互不相关的。充分统计量分析方法的基本思想：构造与信号 有关的正交函数集，获得展开系数；其中只有第一个展开系数 含有假设 还是假设 的信息，它是一个充分统计量；由 构成似然比检验，得判决式。,138,(1)正交函数集的构造 取正交函数集的第一个坐标函数 为信号 的归一化信号，即其余坐标函数，与 构成正交函数集。(2)这样，的第一个展开系数 为于是，在假设 下和假设 下x(t)的第一个的展开系数分别为,139,式中，n1是高斯白噪声n(t)在正交级数展开式中的第一个展开系数，Es1/2是确知信号s(t)的正交级数展开式中的第一个展开系数，显然，展开系数x1是高斯随机变量。,140,对于接收信号的其余展开系数xk(k=2),根据正交函数展开的概念，xk是x(t)在坐标函数fk(t),k=2上的正交投影，由于fk(t),k=2与f1(t)正交，即与信号s(t)正交，所以信号s(t)在fk(t),k=2上的正交投影等于0,因此在假设H0和H1下，x(t)的第k（k=2）个展开系数分别为.,141,即无论在假设H0还是H1下，其他展开系数仅仅是噪声信号n(t)在fk(t)，k=2上的正交投影，因为n(t)是高斯白噪声，所以，展开系数nk是高斯随机变量，且相互统计独立。这说明：展开系数 在假设 下和假设 下是不一样的；而展开系数 不含有是假设 还是假设 的信息；是充分统计量。,142,(3)最佳判决式（利用充分统计量x1构成似然比检验）展开系数 是高斯随机变量，并有,143,所以，由 构成似然比检验，有化简得将 用（）式代换,最终判决式为它与(4.4.10)式完全一样。,144,4.4.2 一般二元信号波形的检测1.信号模型其中，信号 和 是能量分别为 和的确知信号；是均值为零、功率谱密度为 的高斯白噪声。,145,2.最佳判决式(1)利用展开系数表示信号模型。由于n(t)是高斯白噪声，所以任选正交函数集fk(t),对接收信号x(t)进行正交级数展开表示，则在假设H0下。,146,147,因此，在两个假设下，用正交级数表示接收信号x(t),则有当然，Xk是高斯随机变量，且相互统计独立。,148,因此，在两个假设下，分别求其均值和方差，则可以得到xk的概率密度函数。,149,这样，展开系数xk的概率密度函数为,其中，,150,(2)取前有限N项构成似然比检验，并化简得,151,(3)取 的极限，得判决式,152,3.检测系统的结构 根据判决式，检测系统的结构如图4.12所示，它是双路互相关器检测系统。,153,双路匹配滤波器检测系统结构如图4.13所示。,154,4.检测性能分析（判决概率和偏移系数）为了性能分析方便，定义信号 与 的波形相关系数 为 检验统计量 为,155,该检验统计量是高斯随机变量。其均值、方差分别为：,156,偏移系数 为判决概率为,d的增大,157,5.最佳信号波形设计 由偏移系数 可见，在 一定 的条件下，检测性能与信号、的能量、有关，也与它们的波形相关系数 有关。为设计两信号的最佳波形，约束信号能量之和。Es0Es1=2Es.,158,设 为常数，则 当，且 时，最大，检测性能最好。这时，与 互为反相信号，但与信号波形无关，并有,159,当 时，两信号正交，检测性能较差。,当 时，,160,6.充分统计量分析方法 类似于简单二元信号波形检测的情况，对于一般二元信号波形的检测问题，也可以采用充分统计量的分析方法。白噪声的自相关函数是狄拉克函数，因而使x(t)正交级数展开式系数xk互不相关的正交函数集是任意的这一特点，构造与信号s0和s1有关的正交函数集来展开x(t),从而获得有限维的充分统计量，实现一般二元信号的波形检测。,161,表明s1和s2之间不一定正交,162,(1)正交函数集的构造 若取正交函数集的第一个坐标函数为,163,根据格拉姆施密特正交化的方法，构造正交函数集的第二个坐标函数,164,165,其余 是与 构成正交函数集 的坐标函数。且是两两正交的任意归一化函数。,166,(2)信号模型的展开系数,167,168,可见，展开系数、含有关于假设 还是假设 的信息，是充分统计量；而 不含有关于假设 还是假设 的信息。展开系数、是相互统计独立的高斯随机变量，且相互统计独立,169,170,和,171,172,173,检验统计量是x1和x2的线性加权和,174,因为而代入（）式，整理得判决式与（）判决式完全一样。,175,例 考虑二元移频键控(FSK)通信系统,两个假设分别为其中,信号 和 分别为信号振幅 和频率 已知,且;是零均值、功率谱密度为 的高斯白噪声。若先验概率，现采用最小平均错误概率准则，试设计信号检测系统，并计算平均错误概率。,176,解 这是一般二元信号波形检测问题。在两个假设下接收信号x(t)分别为,177,信号能量分别为这样，。因为，所以判决式为 检测性能分析检验统计量 是属于高斯分布的。信号 与 的波形相关系数为，这样,178,于是，偏移系数判决概率,179,平均错误概率 如果采用充分统计量的分析方法，结果是相同的参见习题4.11。现在请大家思考采用充分统计量的方法解决这个问题。,180,例 设连续相位移频键控(CPFSK)二元通信系统,两个假设下的信号分别为其中,、和、已知，且满足；假设；叠加噪声 是零均值、的高斯白噪声。问使平均错误概率 最小的差频 是多少？（设连续相位移频键控系统是等能量的）,181,解 设，。因为，。这样，有于是显然，使 最小，要求 最大，即要求 最小,根据波形相关系数的定义，有,182,式中，。为获得使 最小的，令解方程满足该方程的，就是使平均错误概率 最小的两个信号的频率差。是超越方程，用搜索法解得第一个符合要求,183,的结果为此时，。结果如图4.14所示。,解,184,对于连续相位移频键控系统，为了实现简单，通常采用正交信号,185,6.二元信号波形检测归纳,1 正交函数集fk(t)选择的任意性,2 判决式都有相关运算的形式,因此可以用相关器实现或者用匹配滤波器等效实现,186,3 展开方式不唯一,4 判决概率由偏移系数d2确定,187,设 为常数，则 当，且 时，最大，检测性能最好。这时，与 互为反相信号，但与信号波形无关，并有,188,5 一般二元信号波形检测的判决域划分,189,190,判决域划分示意图,该方程是一条直线，即为判决H1成立还是H0成立的分界线,191,192,斜率为？及其二者之间的关系,信号s0(t)和信号s1(t)差矢量的斜率为,193,所以判决域分界线是垂直于信号间连线的一条直线。,如果二元信号假设的先验概率相等，采用最小平均错误概率准则，则似然比检测门限为1，则判决域的分界线应满足如下方程,也即判决域的分界线是信号s0和s1的垂直平分线。,194,如果二元信号假设的先验概率相等，而且两个信号的能量Es0=Es1=Es,采用最小平均错误概率准则，则判决域的分界线应满足如下方程,也即判决域的分界线是信号s0和s1连线的垂直平分线，并通过判决域的原点。,195,对于M元信号波形的检测，其主要任务仍然是根据采用的最佳检测准则，将判决空间R划分为M个不相覆盖的子空间Ri,并根据判决表示式设计最佳检测系统，分析检测系统的性能。,4.4.3 M元信号波形的检测,196,主要采用准则奈曼皮尔逊准则最小平均错误概率准则贝叶斯准则,197,4.4.3 M元信号波形的检测1.M元信号波形检测的信号模型其中，是确知信号，能量为；是零均值、功率谱密度为 的高斯白噪声。,198,199,2.M元信号波形检测的最佳判决式 M元信号波形的检测采用充分统计量的分析方法。构造与 有关的前 个正交函数集的坐标函数，而正交函数集的其余坐标函数 是不必具体构造的，从而获得正交函数集；用 对接收信号 进行正交级数展开，得,200,对于白噪声，正交函数集的选择是任意的，所以利用拉姆施密特正交化方法来构造一个与各假设Hj下的信号sj相联系的正交函数集fk(t),使各假设Hj下的接收信号x(t)的展开系数xkj互不相关。,201,令正交函数集fk(t的第一个坐标f1(t)为,202,令正交函数集fk(t的第二个坐标f2(t)为,203,令正交函数集fk(t的第三个坐标f3(t)为,204,直到构造正交函数集fk(t的第M个坐标fM(t)，对于k=M+1的坐标系数，则不需要特殊设计。这样就获得了正交函数集的构造。,205,注 意,206,207,208,209,210,211,212,Hi成立,213,214,215,3.检测性能分析 基本方法仍然是先求出各假设 下检验统计量的概 率密度函数，然后根据判决式对 在相应区间积分。得各判决概率,因此与第三章等协方差矩阵不等均值一般高斯信号的检测问题相似，只是这里推广到了M元。,216,217,图4.16四元信号检测判决域划分,218,图4.17四元信号检测系统结构,