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    任意角的三角函数修改.ppt

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    任意角的三角函数修改.ppt

    摩天轮相信同学们都不陌生吧,好多同学都坐过,当你坐上摩天轮后,你就开始绕中心不停地旋转,这样就形成了各种各样的角。,问题1:如图,摩天轮的半径为10m,中心O离地面为20m,现在小明坐上了摩天轮,并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动,当转动30秒后小明离地面的高度是多少?60秒后呢?,.,10m,20m,300,问题2:设转动度后小明离地面的高度为h,为00900,试着写出h和的关系式。,P1,任意角的三角函数,掌握任意角的三角函数的定义;已知角终边上一点,会求角的各三角函数值;记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一)。,知识与能力,1、理解并掌握任意角的三角函数的定义;2、树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数;3、通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力。,过程与方法,1、使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式;2、学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。,情感态度与价值观,任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号),以及这三种函数的第一组诱导公式。,重点:,用单位圆上点的坐标刻画三角函数,学生熟悉的函数y=f(x)的实数到实数的对应,而这里给出的函数首先是实数(弧度制)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度制)到实数(横坐标或纵坐标)的对应.这就会给学生理解造成一定的困难。,难点:,锐角三角函数定义,在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?,锐角三角函数定义,r=1,锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示,在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆。,任意角的三角函数,推广:,我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切)。,x,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:,y 叫的正弦,x叫的余弦,叫的正切,任意角的三角函数定义:,思考:,求角的三角函数值,即可求终边与单位圆交于点的纵横坐标或坐标的比值。,如何求角的三角函数值?,y,x,O,例1:求 的正弦,余弦,正切的值.,根据上述方法否能求得特殊角三角函数值?,分析:由OMPOM0P0,可求出相应的三角函数值。,例2:已知的终边经过点P0(4,3),求角的正弦,余弦,正切的值。,解:,例3:如图所示,已知角终边上一点P的坐标为(4,3),求角的三角函数值。,解:4,3,5,事实上:三角函数也可定义为,设是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则,根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦,正切的值在四个象限内的符号?,任意角的三角函数符号,规律:“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”.,例4:确定下列三角函数值的符号。,分别位于第三象限、第四象限、第一象限、第四象限。,例5:求证:当且仅当不等式组下列不等式组成立时,角为第三象限角。,因为sin0,所以在第三象限或第四象限,或的终边落在y轴的负半轴上。因为tan0所以在第一象限或第三象限。由于sin0与tan0同时成立,所以在第三象限。,解:,直角三角中的锐角三角函数 象限角中的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数 任意角终边上任一点坐标定义三角函数,反思三角函数的定义,根据三角函数的定义:终边相同的角的同一三角函数值是否相等?,诱导公式,终边相同,终边相同的角的集合为:,点的坐标相同,同一三角函数值,终边相同的角的同一三角函数值相等,由此得到一组公式(公式一):,利用公式一,作用在于可将求任意角的三角函数值,转化为求0(或0360)范围内的三角函数值。,例6:求下列三角函数的值。,解:,前面我们学习了任意角的三角函数,它主要从数上研究了它们,能否从图形上来研究呢?,单位圆中的三角函数线,思考1:如图,设角为第一象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则,都是正数,你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗?,思考2:若角为第三象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则,都是负数,此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示?,思考3:为了简化上述表示,我们设想将线段的两个端点规定一个为始点,另一个为终点,使得线段具有方向性,带有正负值符号。根据实际需要,应如何规定线段的正方向和负方向?,规定:线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向,反向时为负方向。,一、有向线段,我们规定OM与x轴同向时,OM的方向是正向,x为正值;OM与x轴反向时,OM的方向是负向,x为负值;无论是那种情况都有:OM=x=cos。我们规定MP与y轴同向时,MP的方向是正向,y为正值;MP与y轴反向时,MP的方向是负向,y为负值;无论是那种情况都有:MP=y=sin。,二、正弦线、余弦线,设任意角与单位圆交于点p(x,y),则r=|op|=1.,sin=,y,因此,p(x,y)坐标也表示为p(cos,sin).,cos,=x,三、正切线,称AT为角的正切线.,过A(1,0)作圆的切线,,例7:不查表,比较大小。,解:,由图形得到,和,解:,由图形得到,(),和,解:,由图形得到,和,1、正弦线,2、余弦线,3、正切线,注意:正弦线、余弦线、正切线都是有向线段,有正负之分.,结论,三角函数线是三角函数的几何表示,它可以直观刻画三角函数的概念与三角函数的定义结合起来,可以从数与形两方面认识三角函数的定义.,定义域为R;,定义域为R;,定义域为,三角函数(正弦,余弦,正切)都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.(由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)所以三角函数可以记为:,1、任意角的三角函数定义,.,(),+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,2、三角函数在象限内的符号,应用,(1)判断符号,(2)求值,、公式一(诱导公式),1.(2009全国)的值为(),A,A.,B.,C.,D.,解析:,本题主要考察诱导公式:,A.0,C.1,D.,B.,2.(2009陕西)则 的值为(),B,解析:,本题考查同角三角函数的基本关系式和运算能力,以及转化与化归的思想。因 故选B。,3.(2007江西)若,则 等于(),A.-3,B.,C.3,D.,D,解析:,故选D,1.以下四个命题中,正确的是(),D第四象限的角可表示为:,A在定义域内,只有终边相同的角的三 角函数值才相等。,B,C若a是第二象限的角,则,C,。,2.若角a的终边过点(-3,-2),则(),Asina tana0Bcosa tana0Csina cosa0Dsina cota0,C,C,C,3,D,B,4.当为钝角时,cos和tan取负值。,5.(1)正(2)负(3)零(4)负(5)正(6)正,6.(1)或或(2)或或(3)或或(4)或或,7.(1)0.8746(2)(3)0.5(4)1,1.终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况,包括三角函数值的符号情况,终边相同的角的同一三角函数的值相等。,2.(1)如图所示(2)、(3)、(4)略。,3.225角的正弦、余弦、正切线的长分别为2.5米,4.3米,2.9米,期中5,2.5是准确数,其余都是近似数(图略)。,4、三角函数线是三角函数的几何表示,它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来,可以从数与形两方面认识三角函数的定义,并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一得理解容易了。,

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