任意三角函数的定义(PPT课件).ppt

121 三角函数的定义（一）,1.初中学过的锐角三角函数的定义:,在直角三角形ABC中，角C是直角，角A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜边AB之间的比值来定义角A的三角函数.,2.用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数：,以坐标原点为角的顶点，以OX轴的正方向为角的始边，则角的终边落在直角坐标系的第一象限内，若点P(x,y)是角终边上的任意一点，点P到原点O的距离是r,试将角的三角函数用x、y、r的式子表示出来,sin=，cos=，tan=。,3.任意角的三角函数:,（1）确立任意角在直角坐标系中的位置；,以坐标原点为角的顶点，以OX轴的正方向为角的始边；,（2）在其终边上取点A，使OA=1，点A的坐标为(l,m)，再任取一点P(x,y)，设点P到原点的距离为r，OP=r（r0），根据三角形的相似知识得：,因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得,不论点P在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于的大小，与点P在终边上的位置无关。即当点P在的终边上的位置变化时，这三个比值始终等于定值。,叫做角的余弦，记作cos,即cos=；,叫做角的正弦，记作sin，即sin=；,叫做角的正切，记作tan，即 tan=,依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应：当2k(kZ)时，它有唯一的正切值与之对应.因此这三个对应法则都是以为自变量的函数，分别叫做角的余弦函数、正弦函数和正切函数。,3.角的其他三种函数：,角的正割：,角的余割：,角的余切：,4.几点说明：,(1)这里提到的角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值都相等。,(2)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置（终边在坐标轴上除外），即函数的定义与的终边位置无关。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。,(3)三角函数是以“比值”为函数值的函数。,(4)对于正弦函数sin=,因为r0，所以恒有意义，即取任意实数，恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域是R；,对于正切函数tan=,因为x=0时，无意义，又当且仅当的终边落在y轴上时，才有x=0，所以当的终边落不在y轴上时，恒有意义，即tan=恒有意义，所以正切函数的定义域是|k+（kZ）,从而三角函数的定义域是 y=sin,R y=cos,R,y=tan,k+（kZ）,例1.已知角的终边过点P（2，3），求的六个三角函数值。,解：因为x=2，y=3，所以,sin=,cos=,tan=,cot=,sec=,csc=,解：（1）因为当=0时，x=r，y=0.所以,例2.求下列各角六个三角函数值：（1）0；（2）；（3）,sin0=0，cos0=1，tan0=0，,csc0不存在，sec0=1，cot0不存在.,(2)；,解：（2）因为当=时，x=r，y=0.所以,sin=0，cos=1，tan=0，,Csc不存在，sec=1，cot不存在.,(3),解：（3）因为当=时，x=0，y=r.所以,sin=1，cos=0，tan 不存在，,csc=1，sec 不存在，cot=0.,例3.角的终边过点P(b，4)，且cos=则b的值是（）,解：r=,cos=,解得b=3.,（A）3（B）3（C）3（D）5,A,例4.在直角坐标系中，终边过点(1，)的所有角的集合是.,解：点(1，)在第一象限，且x=1，y=,所以r=2，sin=，cos=,所以满足条件的角=2k+,|=2k+，kZ,例5.已知角的终边上一点P(，y)(其中y0)，且sin=，求cos和tan.,解：sin=,解得y2=5，y=,当y=时，cos=,tan=,当y=时，cos=,tan=,