人大版 微积分 第四章 最大值、最小值问题.ppt

莫兴德广西大学数信学院,微 积 分,链接目录,参考书,1赵树嫄.微积分.中国人民出版社2同济大学.高等数学.高等教育出版社,第四章最大值、最小值问题,最大值、最小值问题,在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，怎样才能是2用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值的存在性；最值的求法。,假定f(x)在 a,b 上连续，除去有限个点外处处可导，且至多有有限个点处导数为0。我们就在这样的条件下讨论f(x)在 a,b 上的最值的求法。,一、最值的求法,首先由闭区间上连续函数的性质f(x)在 a,b 上必存在最大值和最小值,其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得，则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),二、应用举例,例1,解,计算,例2,解,得驻点,这些点处的函数值为：,比较以上各点处的函数值可知,在求函数的最值时，特别值得指出的是下述情况：f(x)在一个区间内可导，且只有一个驻点x0，并且 这个驻点x0同时也是f(x)的极值点，则当f(x0)是极大（小）值时，f(x0)是函数 f(x)在该区间上的最大（小）值。,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击速度为2千米/分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？,例3,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例4,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高。,最大收入为,例5,解,如图,解得,例6,解,将不等式改写为,则问题转化为：,易见,三、小结,注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,思考题,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,