人大微积分课件6-2定积分在几何上的应用.ppt

第二节 定积分在几何上的应用,平面图形的面积 空间立体的体积 平面曲线的弧长 小结,x,y,o,一、平面图形的面积,1 直角坐标系情形,注 被积函数为上-下，上为 下为,注 被积函数为“右-左”右为直线，左为抛物线,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,面积元素,曲边扇形的面积,2.极坐标系情形,圆柱,圆锥,圆台,二 空间立体的体积,旋转体的体积为,变化范围,解,f,),(,),(,2,2,p,p,p,+,利用公式，,可知上例中,2、平行截面面积为已知的立体的体积,从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,建立坐标系，,底圆方程为,截面面积,立体体积,取平面与圆柱体的交线为 轴，底面上过圆心、且垂直于 轴的直线为 轴,解,建立坐标系，,底圆方程为,截面面积,立体体积,三 平面曲线的弧长,1、平面曲线弧长的概念,定理 光滑曲线弧是可求长的.,简介 光滑曲线,当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。,就是弧长元素,弧长,由第三章的弧微分公式知,2 直角坐标情形,解,(,1,所以弧长为,设曲线弧为,弧长,3 参数方程情形,解,的一拱的长度.,所以,曲线弧为,弧长,4 极坐标情形,从,.,解,1 求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,2 旋转体的体积,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,3 弧长的公式,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,四 小结,