人大微积分课件5-2微积分基本定理.ppt

一、积分上限函数及其导数二、积分上限函数求导法则三、微积分基本公式,第二节 微积分基本定理,1.积分上限函数 设 在区间 上连续，且，则 存在，如积分上限 在 上任意变动，那么对于每一取定的 值，均有唯一的数 与之对应，所以 是一个定义在 上的关于 的函数，记为,一、积分上限函数及其导数,称 为积分上限函数.,2.积分上限函数的几何意义 积分上限函数 在几何上表示为右端线可以变动的曲边梯形的面积.,3.性质,证,(1)定理1 若 在 上连续，则积分上限函数 在 上具有导数，且它的导数.,即：,(2)定理2 若函数 在 上连续，则积分上限函数 是 在区间 上的一个原函数.,1.法则1 若 在 上连续，是 上的某一定点，则，有,二、积分上限函数求导法则,2.法则2 若函数 在闭区间 上连续，是 上的某一定点，函数 可微，且，则有,证 令，,3.法则3 若函数 在区间 上连续，且 与都可微，则有,证,例1 求,解 由法则1得,4.例题,例2 求,解 由法则2得,解 由法则3得,例3 求,例4 求,解 这是一个 型未定式，可利用洛必达法则计算，分子为,由法则2得,因此,证,三、微积分基本公式,(为常数).,令，,2.说明,(2)微积分基本公式揭示了定积分与原函数之间的关系，是它的任一原函数在 上的增量，也是函数 在 处的函数值.,(1)微积分基本公式使用的条件是，被积函数 在积分区间 上必须连续，若不满足条件，不能使用公式.,(3)为方便起见，记，,例6 求,解,3.例题,例5 求,解,例7 设，求,解,解 当 时，,当 时，,所以，,例9 求,解,由例7，例8，例9可见，若被积函数在积分区间上存在有限个第一类间断点，或在积分区间上分段表示，或带有绝对值，应利用定积分在积分区间的可加性分段积分，以保证被积函数在各积分区间上的连续性或非负性.,