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人口与社会的数学模型,1.人口增长和预测模型Malthus模型Logistic模型中国特色人口模型Leslie 离散模型,中 国 药 科 大 学 言方荣 等 编制,人口增长和预测模型,Malthus模型Logistic模型中国特色人口模型Leslie 离散模型,当今人类面临的五大问题,(1)人口问题(2)工业化的资金问题(3)粮食问题(4)不可再生的资源问题(5)环境污染问题(即生态平衡问题)。建立人口增长数学模型，用以描述人口增长过程，通过分析对人口增长进行预测，制定相应的人口政策以控制人口增长，于国于民均有利。,人口模型的研究,1798年 Malthus出版了人口原理，书中提出了著名的影响深远的Malthus人口模型1838年 对Malthus模型进行了修正，得出了Logistic模型1924年引入概率观点对人口问题进行了研究，,1945年P.H.Leslie完成了按龄离散型人口模型。1959年Van.H.Fpoerster提出现代按龄连续型人口模型近年来我国学者为了解决我国人口迅猛增长问题，建立了有关中国人口预测和控制模型，为我国制定人口政策提供依据。,影响人口增长的因素,人口的基数，出生率和死亡率的高低，人口男女比例大小，人口年龄组成情况，工农业生产水平的高低，营养条件，医疗水平，人口素质，环境污染情况。另外还涉及到各民族的风俗习惯，传统观念，自然灾害，战争，人口迁移等等。,建模总的思路,如果一开始把众多因素都考虑，则无从下手。先把问题简化，只考虑影响人口增长的主要因素 增长率(出生率死亡率)及人口基数。其余因素的影响暂不考虑，建立一个较粗的数学模型。在这个模型的基础上逐步考虑次要因素的影响，进而建立与实际情况更吻合的人口模型。,用微分方程描述人口增长过程,初看起来，人口增长是不能用微分方程来描述的，因为人口总数是按整数变化的而不是时间的可微函数。然而，如果总数很大时，可以近似认为它是时间的连续函数，甚至是可微函数。这即离散变量连续化处理，这一点应能很好地理解和掌握。,一、Malthus模型,Malthus与人口指数增长模型,英国人口统计学家Malthus(1766一1834)在担任牧师期间，查看了教堂100多年人口出生统计资料，他发现这样一个现象，即人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。于是在1798年人口原理一书中，提出了闻名于世的Malthus人口指数增长模型,模型的构成,设N(t)表示t时刻人口总数，r(t，N(t)表示t时刻人口增长率，假设只考虑人口增长率，其他因素的影响暂不考虑。则在t到t+t这段时间内人口增长为 N(t+t)N(t)=r(t，N)N(t)t两端同除以t，并令t0，有 dN/dt=r(t,N)N(t)(1）模型(1)看似简单，其实由于出生率r(t，N)的不确定性，给(1)的求解带来困难。下面将逐步深入地讨论模型(1)。,Malthus模型的构成,根据Malthus基本假设，在上述模型中令 r(t,N)=r(常数)得 dN(t)/dt=rN(t)N(t0)=N0(2)其解为 N(t)=N0er(t-t0)(3)(2)是(常微分)线性方程，称为Malthus人口模型。即人口以er为公比，按几何级数增加。因为这时r表示年增长率，通常r1，所以可用近似关系er l+r将(3)式写作 N(t)N0(l+r)t-t0(4),Malthus模型的检验,据估计1961年全世界人口总数为3.06109，而在此之前的10年人口按每年2%的速率增长。因此 t0=1961，N0=3.06109，r=0.02 于是 N(t)=3.06109e 0.02(t-1961)(5)这个公式非常准确地反映了在1700-1994年期间世界估计人口总数。因为在这期间地球上人口大约每隔35年增加一倍，而上述方程断定每隔34.6年增加一倍。(人口倍增时间),人口倍增时间T的计算,设在T=t-t0时间段内地球上的人口增加一倍。即 当T=t-t0时，2N0=N0e rT e rT=2 两端取对数，得 rT=ln2 即 T=ln2/r=0.6931/r=34.6 与现有的数据吻合得较好,Malthus模型不符合未来长期预测,因为当t+lim N(t)=lim N0e r(t-t0)=+由Malthus模型(5)式可以推出2510年世界人口总数将是21014人(如果将全世界所有陆地，海洋面积均算在内的话，每人平均仅有0.864m2(9.3平方英尺)，2635年将为1.81015人(每人平均有0.093m2(1平方英尺)，2670年将是3.61015人(3600万亿)。显然，这些数字说明Malthus人口模型对长期预测是不正确的。,二、Logistic人口模型,二、Logistic模型,Malthus模型为什么只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数呢?究其原因，人口总数不太大时，人口总数增长的线性数学模型(即Malthus模型)是正确的，但当人口总数非常大时，地球上的各种资源，环境条件等因素对人口增长的限制作用将越来越显著。此时人口增长率就要随人口的增加而减小。即应该对Malthus模型中关于人口增长率为常数这一假设作修改。,Logistic模型的构成,我们在线性方程(2)的右端加上一项-bN2。(对于一般的生物，这一项称为竞争项)。此时r(t,N)=r-bN,方程(2)变成 dN/dt=rN-bN2 N(t0)=N0(5)这称为Logistic模型，其中r、b称为生命系数其解为 N=b/r+(1/N0-b/r)e-r(t-t0)-1(6)这个模型是荷兰数学家Verhulst首先发现的。,Logistic模型的分析,一般来说，常数b同r相比是很小的。因此，如果N不太大，竞争项“-bN2”同rN相比可以略去。人口总数将按指数方式增长。当N很大时，竞争项“-bN2”就不能忽略了，这样就会使人口总数急剧增长的速度减缓下来。由Logistic模型(6)式可以得出N(t)具有如下规律:(1)当t时，N(t)r/b。结论是不管其初值如何，人口总数最终将趋向于极限值r/b。,模型分析,(2)当00 所以N(t)是时间的单调递增函数。又 d2N/dt2=rdN/dt-2bNdN/dt=(r-2bN)N(r-bN)显然，当N0，曲线向上凹。当Nr/2b时，d2N/dt2 0，曲线向下凹曲线N(t)的形状如图1所示，这种曲线称为S形曲线(Logistic曲线)。,图1 S形曲线(Logistic曲线),N(t)r/b r/2b O t,Logistic曲线的形状说明,由曲线的形状，可以得出如下结论:在人口总数达到极限值一半(即r/2b)以前，是加速增长时期，过这一点以后，增长的速度逐渐减小，并且迟早会达到零，这是减速增长时期。,Logistic模型预测未来人口总数,就必须先估计生命系数r和b。据生物学家估计，r的自然值为0.029，又在1961年人口总数为3.06109时，人口的增长速率为2%。由 N-1 dN/dt=r-bN 即 0.02=0.029-b(3.06109)得 b=2.94110-12按照Logistic模型，地球上人口总数极限值为 r/b=0.029/2.94110-12=9.86109(近100亿),模型预测说明,1961年世界人口总数为30亿左右，尚未达到地球所能养活人口极限100亿的一半。因此世界人口总数将处于加速增长时期。这与1961年以后的一段时期世界人口增长很快确实是吻合的。,Logistic模型：美国人口增长,皮尔(Pearl)和里德(Reed)1920年提出的美国人口增长的Logistic模型为 N(t)=1972682000/1+e-0.03134(t-1914.3)由该模型公式算出的美国人口总数的理论值与实际人数比较见表1.1由表1.1对照可以看出，美国实际人口总数从1790年到1950年这段时间与预测人数是比较吻合的.,表1 1790-1950年美国人口总数,Logistic模型的应用,1845年Verhulst曾预言比利时人口的最大值为660万人，法国人口的最大值为4000万人。但在1930年比利时人口已经达到809万人，二者相差很大。这似乎表明Logistic模型对于比利时的人口来说很不精确。经过分析，因为在当时比利时的工业飞速发展，使得比利时有足够的财富供养更多的人口。因此，对比利时的Logistic人口模型中的生命系数b应作适当调整，即减小b值。法国1930年人口总数同Verhulst的预测十分一致。这又证明了Logistic人口模型的正确性。,三、中国特色的简单人口模型,模型背景,问题:1994年3月7日扬子晚报登载“中国社会科学院最近预测，今年我国总人口将超过12亿，据国家计生委估计，中国总人口峰值年是2044年，峰值人口达15.6亿或15.7亿。人口增长到顶峰后，就有可能走下坡路，出现下降趋势。”即2044年后我国总人口数将减少。则前面的数学模型都不合适，因为它们都是单调上升的（只要N0r/b）。,中国特色人口模型构成,根据国家计生委预测，2044年人口达到峰值后开始下降，即有 0 tt*而前面的模型中dN/dt0,为此我们修改模型，最简单的是选取 dN(t)/dt=r(t)N(t)中的r为 r(t)=r-B(t-t0)，其中r,B为参数。这样得到新的数学模型:dN/dt=r-B(t-t0)N(t)N(t0)=N0,特色模型求解,下面根据t0=1994时N0=12亿及到2044年人口达高峰并开始下降来估算r，B，并预测今后一些年的人口总量 在2044年人口达最大值时，dN(t)/dt|t=2044=0，由此算出 r-B(2044-1994)=0,B=r/50 代入模型公式解得:N(t)=Cexprt-(t-t0)2/100,代人初始条件得到：N(t)=N0expr(t-t0)1-(t-t0)/100,人口预测,以t0=1994，N0=12亿，及t=2044代入得 N(2044)=N0e 25r=12e25r取r=0.01，算得 N(2044)=15.41亿取r=0.011，得 N(2044)=15.8亿。这个数值与计划生育委员会的预测基本一致。由r=0.011，B=r/50，预测1995，2000，2054，2094年的人口为 N(1995)=1213亿 N(2000)=12768亿 N(2054)=15626亿 N(2094)=12亿,评 注:,(1)解决一个实际问题所建立的数学模型不是一成不变的，应随情况的改变而改变。一个国家工业化的发展，环境污染状况以及社会风尚，人口素质等因素都对生命系数r和b有重大影响。因此，这些系数随着时间的推移每过几年都应重新估计一次。(2)在上述模型中，把人口总数看作处于同等地位的成员组成的。严格说来是不对的。,模型的进一步考虑,建立更精确的数学模型，应当根据成员的年龄分组。因为小于育龄阶段的成员和大于育龄阶段的成员均不能生育，而在育龄阶段的成员在不同的年龄段的生育能力也有大小之分。另外还应当把人口总数的成员按男性和女性分开，因为总数增长率在较大程度上取决于女性的数目而不是取决于男性的数目。因而得到Leslie模型和女性繁殖模型。,四、Leslie 离散人口模型,四、Leslie 离散模型,前面的模型没有考虑到社会成员之间的个体差异，即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。完全忽略这些差异显然是不合理的。但我们不可能对每个人的情况逐个加以考虑，故仅考虑年龄的差异对人口变动的影响，即假设同一年龄的人有相同的死亡概率和生育能力。这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口总数，而且能够预测老年人口、劳动力人口、学龄人口等不同年龄组的人口信息。,1.模型建立,设xk(t)为第t年年龄为k的人口数量,k=0，1，2，100，即忽略百岁以上的人口。如果知道了第t年各年龄组的人口数，各年龄组人口的生育及死亡状态，就可以根据人口发展变化规律推得第t+l年各年龄组的人口数。,k岁人口死亡率 和k岁育龄妇女年生育率,首先引入k岁人口的死亡率和k岁育龄妇女的年生育率这两个概念k岁人口的年死亡率dk=一年内k岁的死亡人数/这年内k岁的人口数k岁妇女的年生育率bk=一年内k岁妇女生育婴儿数/这年内k岁妇女人数,Leslie人口模型公式,第t+l年k+1岁的人口数就是第t年k岁的人口数扣除它在该年的死亡人数，即 xk+1(t+1)=(1-dk)xk(t)，令pk=1-dk称为k岁人口的存活率，故各年龄组人口随时间变化规律可用递推公式 x k+1(t+l)=pkxk(t)(k=0，1，99)来表示。再考虑到零岁的人数 x0(t+l)=bkxk(t)/2,其中xk(t)/2为第t年k岁妇女数。由此得到的人口模型是 x0(t+1)=bkxk(t)/2 x k+1(t+1)=pkxk(t),k=0，1，99(1),人口模型的矩阵形式,根据人的生理特征，妇女的育龄区间一般取为15岁至49岁，即当k49时，bk=0。令 Xk(t)=(x0(t),x1(t),，xk(t)，,x100(t)T b0/2 b1/2 b2/2.b99/2 b100/2 p0 0 0 0 0 L=0 p1 0 0 0 0 0 0 p99 0,则人口模型(1)的矩阵形式为 X(t+1)=LX(t)(2)其中L称为Leslie矩阵。当第t0年人口已知时，就可以推得第t年人口为 X(t)=L t-t0 X(t0),2.人口预测,利用模型(2)及1982年人口普查数据对我国的人口数量进行预测所得的结果如表2所示，从1983年到1990年这8年的对比看来，用模型(2)预测的结果还是令人满意的。,表2 我国人口预测,但长期发展下去，人口数量仍然偏多，不甚合理。其主要原因是在预测过程中，始终用1982年生育率与死亡率来代替以后各年的生育率与死亡率。而1982年育龄妇女的生育率很高，按照1982年的生育状况，每对夫妇一生中平均要生育2.63个孩子，且生育高峰集中在25岁左右，这势必导致人口的大量增加，因而得到人口的预测值比较大。,3.人口控制,人口预测的反问题是人口控制问题:应调节哪些因素，才能使我国人口发展到一个合理水平?从模型(2)看，各年龄组人口的数量由x(t0),bk,dk所确定，其中x(t0)是人口的现实状态，人们无法改变，死亡率dk己经到了较低水平，改变也不会太多，现实可行途径是调节生育率bk。在这儿我们采取一个比较简单的方法，即假设各年龄组妇女的生育率均在1982年人口普查数据的基础上同乘一个比例常数r，看长期发展下去这个常数取多大，才能使人口发展到一个稳定状态，且进一步讨论到达稳定人口分布时，各年龄组的人口有什么关系。,比例系数r的确定,这个问题的数学提法是用rbk/2代替莱斯利矩阵的第一行对应元素bk/2，记代替以后的矩阵L(r)，如何选取r,使 lim tX(t)=lim t L(r)t-t0 X(t0)存在。记X0=lim t X(t)，对X(t+l)=L(r)X(t)两边取极限，可以得到X0=L(r)X0。这意味着要选取r,使矩阵L(r)有特征值1，且X0就是特征值1所对应的L(r)的特征向量。经过代人计算后可知，矩阵L(r)仅有一个正特征值，且当这特征值为1时,r必须满足 r=2/(b0+p0b1+p0p1b2+p0p1.p99b100)代人1982年生育率bk和留存率pk,得 r=0.7942。,控制生育时我国人口预测值,用r=0.7942去乘以1982年各年龄组妇女的生育率后可以得到，要达到稳定的人口分布，一个妇女一生中应该生育2.09个孩子。按照X(t+l)=L(0.7942)X(t)重新推算我国人口变化的结果如表2所示。,表2 控制生育时我国人口预测值(亿),预测结果注释,从表2看出，当一对夫妇生2.09个小孩时，我国人口在近50年内还是要不断增长的，到2050年前后才能慢慢稳定下来，出现这一现象的原因是我国现在的人口中，青少年所占的比例很大，在短期内进入婚育期的人数较多，故人口现在还必须经历一个增长过程。,