专升本辅导-第6讲定积分及其应用.ppt

一、复习要求（1）理解定积分的概念与几何意义（2）掌握定积分的基本性质（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法（4）掌握牛顿莱布尼茨公式（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法（6）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积（8）会用定积分求沿直线运动时变力所作的功,第6讲 定积分及其应用,二、内容提要,1定积分概念,记为,即,（3）定积分上下限互换时，定积分变号而绝对值不变，,即,（1）代数和的积分的等于积分的代数和，即,2定积分的基本性质,3牛顿莱布尼兹公式,（3）牛顿莱布尼兹公式：,4定积分的换元积分法和分部积分法,，则有,（2）奇（偶）函数在对称积分区间上的定积分计算法则：,或记为,则定义,存在或收敛，否则称广义积分,发散或不存在,5广义积分,同样，可定义：,其中,平面图形的面积为,6定积分的应用,的旋转体，则其体积为,成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积为,三、例题及说明,（2）,或,解（1）,1基本概念,解（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,2定积分的分部积分法,或,定积分的分部积分公式为,解（1）,（2）,（3）,3定积分的换元法,解（1）设,，则,（2）设,，则,（由单值性也可取,则原式,（3）设,，则,证 设,，则,等式左边,4分段函数的积分,解（1）,（2）,（3）,解（1）原式,第二个被积函数是偶函数，第三个被积函数是奇函数,（2）原式,前者被积函数是偶函数，后者被积函数是奇函数，,原式,原式,例1 求,解（1）,（2）,（3）,6变上限积分及其对上限的导数,又,证,解（1）,，发散,（3）,，收敛,7广义积分,（2）,，收敛,，发散；,，发散；,，收敛,解,8平面图形所围区域的面积,解 首先由联立方程,，求得两曲线交点坐标为,解（1）取上半支抛物线,（2）,9旋转体的体积,