工程力学第六章答案 梁的变形.docx

第五章梁的变形测试练习1. 判断改错题5-1-1梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面,转角亦为零.（）5-1-2两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的 截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。（）5-1-3悬臂梁受力如图所示，若A点上作用的集中力P在AB段上作等效平移，则A截面的 转角及挠度都不变。（）5-1-5挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。（5-1-6等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。（5-1-4图示均质等直杆（总重量为W），放置在水平刚性平面上，若A端有一集中力P作用， 使AC部分被提起，CB部分仍与刚性平面贴合，则在截面C上剪力和弯矩均为零。（）P妨AbAB3ACB题5-1-3图题5-1-4图） 5-1-7两简支梁的抗刚度EI及跨长2。均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等 而转角是相等的。（）5-1-8简支梁在图示任意荷载作用下，截面C产生挠度和转角，若在跨中截面C又加上一 个集中力偶M0作用，则梁的截面C的挠度要改变，而转角不变。（）2ql/2l/2题5-1-7图题5-1-8图5-1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时， 梁同一截面的应力及变形均相同。（）5-1-10图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积 分常量。（）题5-1-9图题5-1-10图2. 填空题5-2-1挠曲线近似微分方程y”（x）=-华）的近似性表现在和EI5-2-2P已知图示二梁的抗弯度EI相同，若使二者自由端的挠度相等，则节=22aP2题5-2-2图5-2-3应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是：。5-2-4在梁的变形中挠度和转角之间的关系是 。5-2-5用积分法求图示的外伸梁（8D为拉杆）的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边 界条件是 ,连续条件是。5-2-6用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是,连续条件是。5-2-7图示结构为 次超静定梁。题5-2-7图5-2-8纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩M的关系为，其变形曲线为 曲线。5-2-9两根EI值相同、跨度之比为1： 2的简支梁，当承受相同的均布荷载q作用时，它 们的挠度之比为。5-2-10当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是x的 次方程。梁上作用有集中力时，挠曲线方程是x的次方程。梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是x的次方程。 5-2-11图示外伸梁，若AB段作用有均布荷载，BC段上无荷载，则AB段挠曲线方程是x 的 次方程；BC段挠曲线方程是x的 次方程。q,、Px 2 .5-2-13已知梁的挠度曲线方程为y(x) = (3/-x),则该梁的弯矩方程为。6 EI5-2-14梁的变形中，挠度和截面弯矩M的关系是，挠度和截面剪力Q的关系是5-2-15为使图示AB段的挠曲线为一直线，则x= 。5-2-16要使图示简支梁的挠曲线的拐点位于距A端1/3处，则M1：M2=。5-2-17图示静定梁，其BD上无荷载作用，若已知B截面的挠度yB,则。截面的挠度yC=_ D截面的转角。D=。题5-2-15图题5-2-16图A；题5-2-17图5 Pl 5C 384EIPl3d,3E75-3-2悬臂梁长为1，梁上作用有均布荷载q，则自由端截面的挠度为。()3. 选择题5-3-1简支梁长为1，跨度中点作用有集中力P，则梁的最大挠度f=( ) (EI=常量)A Pl 3n Pl 4A，48EIB.48EIql 4ql 3ql 4ql 3a,6e7b,6e7c'seid丽5-3-3两梁尺寸及材料均相同，而受力如图示，则两梁的A. 弯矩相同，挠曲线形状不相同B. 弯矩相同，挠曲线形状相同C. 弯矩不相同，挠曲线形状不相同D. 弯矩不相同，挠曲线形状相同5-3-4图示(a)、(b)两梁，长度、截面尺寸及约束均相同，图(a)梁的外力偶矩作用在C截面，图(b)梁的外力偶矩作用在B支座的右作侧，则两梁AB段的内力和弯曲变形的比较是()。A. 内力相同，变形不相同B. 内力及变形均相同C. 内力及变形均不相同D. 内力不相同，变形相同5-3-5当用积分法求图示梁的挠度曲线方程时，在确定积分常量的四个条件中，除x=0,OA=0；x=0,yA=0外，另两个条件是()。A. "左=(K)右，(°C)左=(°C)右B. (jc) 左= (yc)右，yB=0C. y0，*=0D yB=0，°C=05-3-6 图示简支梁在分布荷载q ( x ) =f ( x )作用下，梁的挠度曲线方程为EIy(x) =-jj M(x)dxdx + Cx + D,，其中，积分常量()。A. C = 0, D = 0B. C = 0, D 丰 0C. C 丰 0, D 丰 0D. C 丰 0, D = 0q题5-3-6图mby 题5-3-5图5-3-7挠曲线方程中的积分常梁主要反映了A. 对近似微分方程误差的修正B. 剪力对变形的影响C. 约束条件对变形的影响D. 梁的轴向位移对变形的影响5-3-8图示悬臂梁在B、C两截面上各承受一个力偶矩作用，两力偶矩大小相等，转向相反，使梁产生弯曲变形。B截面的变形为()。A. y = 0,。卫 0 B. y 0, 。= 0睥z M0M:B(CC. y 丰 0,。卫 0 d。 y = 0, 0= 0:t j题5-3-8图5-3-9图示简支梁受集中力作用，其最大挠度f发生在()。A.集中力作用处B。跨中截面C.转角为零处D。转角最大处 5-3-10两简支梁EI及l均相同，作用荷载如图所示。跨中截面C分别产生挠度yC和转角()。° C，则两梁C点的挠度及两梁C点的转角有A. °C相等，yC不相等B。°C不相等，yC相等C. °C和都不相等D。°C和yC都相等4. 计算题5-4-1试画出图示各梁挠曲线的大致形状。(a)(b)(c)(d)(e)(f)题5-4-1图5-4-2 一简支梁承受图示分布荷载q=Kx2 （K为已知），试求此梁的挠曲线方程（设玫=常 量）。5-4-3已知图示梁的带积分常量的挠曲线方程为Ely (x) = 3q" x2 - x3 + C x + D (0 < x V 上)i 16 i 12 i i i ii 2EIy 2=业 x 2 - qLx 3 + q (x - 1 )4 + Cx + D16212 224 2 22 22试求方程中的积分常量。5-4-4试用叠加法求图示梁B点的挠度和转角。（EI=常量）y题5-4-2图<C| _ 1/2 _p=ql题5-4-4图5-4-5外伸梁受图示荷载作用，试求C截面的挠度和A截面的转角。（E/二常量。）5-4-6矩形截面梁AB的抗弯刚度为EI,受力如图示。试问B端支座向上抬高为多少时， 梁的A截面的弯矩和C截面的弯矩绝对值相等。（材料的抗拉与抗压性能相同）5-4-7图示弯曲的钢板梁AB,截面为矩形，宽度为b,高度为。，钢板放在刚硬地面上时 原有曲率半径为P，在两端受力P作用使其平直，则将有均布压力作用于刚硬地面C-C上。 已知刚梁E （弹性模量），试求所需的P力及其在压平时梁内的最大正应力。5-4-8长度为1、抗弯刚度为E/的悬臂梁AB,受均布荷载q作用而弯曲时，与半径为丫的 刚性圆柱面接触，如图所示。试求当梁上某一段AC与刚性圆柱面在C点接触(假设C点 与梁左端A的距离为X)时，B点的挠度。5-4-9单位长度重量为q、抗弯刚度为EI的矩形截面钢条，放置在水平刚性面上，刚条的 一端伸出水平面一小段CD，如图所示。若伸出长度为s试求刚条翘起而不与水平面接触 的CD段的长度b。. ql 45-4-10超静定梁如图所示，仙段内作用有均布荷载q，当 C支座向下沉陷卜褊时，题5-4-9图题5-4-10图5-4-11矩形截面悬臂梁如图所示，梁长为1，在沿其截面高度h承受非均匀加热，设梁顶 部温/度改变为t，J底部温/度改变为?2， 且*2>'1。温/度沿截面高/度壬线形以变。材料的线月膨月胀 系数为s弹性模量为E,由于不均匀受热而使梁发生弯曲变形，当梁的悬臂端施加偶矩M0 时，能使梁展直。问应施加多大的外力偶矩？题5-4-11图5-4-12悬臂梁AB和CD的自由端处用拉杆BC相连,受力如图所示，若AB梁和CD梁的抗 弯刚度EI相等，试求在下列两种情况下C点的挠度.(1) 当BC杆为刚性杆，即EA=8时；1 丑 EI(2) 当bc杆长为5，EI = jy时。2 1 2题5-4-12图5-4-13 AB与BC两梁铰接于B,如图所示。已知两梁的抗弯度相等，P=40kN/m,试求B 点的约束力。5-4-14悬臂梁和简支梁材料和截面均相同。已知E及未受力前AB梁B点与CD梁中点之 间的间隙 （垂直距离），如图所示，当受P力后AB梁在B点的挠度大于,试求各梁的 支座反力。5-4-15具有初始挠度的AB梁如图所示，梁的EI和/均为已知。当梁上作用有三角形分布 荷载时（q0已知），梁便呈直线形状。试求梁的初始挠曲线方程。A，题5-4-13图题5-4-15图5-4-16试根据对称性求图示梁的挠曲线方程。E/二常量5-4-17两端固定的等截面梁，梁上作用一外力偶矩M0，如图所示。欲使在固定端A的反 力偶矩MA为零，则力偶矩M0应作用在梁上何位置？（即x =?）题5-4-17图'题 5-4-16 图5-4-14图测试练习解答题1.判断改错题5-45-1-1 X。挠度祁转角不仅与弯矩有关，而且与边界位移条件也有关，例如，当悬臂梁自 由端作用有集中力P时，自由端的M=0,但挠度和转角都是最大值。5-1-2 X。凡弹，图变形均与材料的弹性模量值有关。5-1-3 ”。外力在研究的梁段以外，用等效力系代替不影响研究段的内力及变形。5-1-4 X。在C截面上弯矩为零而剪力不为力零。5-1-5 X。可以用于变截面梁，只是分母中的Iz不同。1,、M（x）1、5-1-6 X。根据一=±y （x）=,可知曲率一最大值应在M最大的截面处（EI=常量PEIp时）。5-1-7 ”。若将2q分解成正对称和反对称两组，就可明显看出，在正对称的q作用下C点 有挠度，转角等于零。5-1-8 X。在C截面加上一力偶矩后C截面的挠度不变，而转角改变。5-1-9 X。应力不同，变形相同。因为变形只与Iz有关，而T形截面无论丁是还是，其惯有关，丁性矩Iz是相等的。而应力不仅与Iz有关而且还与Jmax （上下边缘到中性轴的距离） 这种方法的最大拉应力比这种方法的最大拉应力要大。5-1-10 X弯矩方程式有三个，但积分时要分成四段，因截面改变处要分段。2.填空题 5-2-1忽略剪力Q的影响；1 +或）浇15-2-2a3Pa3P (2a)38。因 = 23EIP(2a)3o所以寸 =8P a 325-2-3小变形及材料为线弹性5-2-4y'(x)=O (x)5-2-5x = 0,B = AlBD ;5-2-65-2-7(01) a二次=0,=(0 ) , (y )2 A 1 A=y 2)A5-2-8=±二？; 圆弧线 PEI5-2-91：16。因湍/湍川5-2-105-2-115-2-123；214；4；合理安排受力，减小M ；减小l；加大EI5-2-13M (x) = P(l - x)5-2-14y''(x)=M (x)EI 'y"'(x)=Q(x)EI5-2-155-2-16l-a1/2/2aByC3.选择题5-3-1 A 5-3-25-3-6 D 5-3-74计算题5-4-2梁的挠曲线方程为5-2-17C 5-3-3C 5-3-8A 5-3-4D 5-3-9B 5-3-5 BC 5-3-10 B（1）求分布荷载的合力P = J q(x)dx = 3q （x）dx - x 3 求合力作用点到点的距离：d = = 了(2)PKl 3, RB求反力：气4123P _ Kl 344(3)Kx 3"T(4), M (x)代入 y" = -EF-Kl 5 -八中并积分，由边界条件确定C =-月了，D = 0所以5-4-3(1)Kx(5l 3 x2 x5 一 4l 5)360EI边界条件：x = 0,=61 = 0，解出 C1 = 0(2)y1=0,，x = 0,连续光滑条件:l2l2,解出巳=0=x2(y1)c=x2解出D = 05-4-4（1）只有q作用时，(6 B ) qqi3八，、6EI ''b qql 48EI(2)(6 B ) P只有P=ql作用时:p(2 )22EI=6c)P('b ) P=(yc)P3 P(-)2-+23EI2 EI 2（3）然后两者叠加:=(6B) q+（6b）P7ql 324 EI=(6 b)q+ (6 B)P11ql 448 EI5-4-5（1）只有M = 1 ql2作用时，（0 ）023EI（），G=(O )(2)只有q作用时(O )(3)叠加:5-4-6(jql2)-l86 EI(jql2)-l83EI+ (OA)7 ql 348 EI5ql 4384EI(1)(2)由 A、)48EI（刀(t)将B约束解除，用反力RB代替。C两截面的弯拒绝对值相等可列方程2 RJ = P 2 - rb1解出Rbf(t)P（3）在P和R =作用下，求B点的挠度。B 333EI23EI5-4-7这是(1)(2)(3)5-4-800时Pl 3144 EI（负号表示向上）个求变形和应力的综合题。求压力P：依题意，当两端加上力P后使其平直且在C-C面上产生均布压力q，此可以将其简化为两端铰支的简支梁，其反力均为P，C-C面上的均布压力q =简支梁在均布压力q作用下中点的挠度等于5,5q14384EI=5，解出P =max=8ql2,maxmax当q=0时，AB梁上没有外力24 Eh51216Eb5 ,h、(1"梁轴线平直，A端曲率为零。当荷载q由0增加，到1梁A端的弯矩为-=q 12，A端曲率20即有M (x)EIEI2 EI时，梁上某一段AC与刚性面接触，C点端曲率为1P (x)2 q(i - x)2r EI7,'2 EI解得 x = l - qrB点的挠度包括三部分，即,、 X 21云I、1，IET、：IE7=一 (i )$1为C点的挠度(y)i=方=方(/-：苛*"为C点的转角引起B点的挠度")2,、，qr'，qr(yB)3为CD段当作悬臂梁在q作用下B点的挠度2qr 2(y )=备(i -x)4EIB 3 8 EL 以上三种挠度叠加，即为点B的挠度y = =(E -12) B 2r qr5-4-9由于AB段平直，所以B点的弯矩、转角及挠度均等于零。B点和C点与刚性平面接 触，简化为铰支座，则BCD端简化为外伸臂梁。在该梁上作用有均布荷载q(自重)但要满足 0 B = 0的条件，如图(a)所示。求0B时，可取BC为简支梁，而CD上的均布力向C点1平移得一集中力qa和一力偶矩M =-qa 2，如图(b)所示。根据。=0的条件求解，即 024,(qa2) - b0 = (0 ) +(0 )=虹-= 0B B q B M 0 2 EI6 EI解出b = (2aBrTTTTTrrnJSLJcDqa2/25-4-10这是一个在外力作用及有支座位移下的一次超静定问题。将C约束解除，用约束力ql4R代替，成为基本结构。变形协调条件是打=A=-矗(向上)。ql 43R 13在q和rc共同作用下求出yc =云或一2Cr，并将其代入变形协调方程，解出Rc = 12q/(f)，然后根据平衡方程求出 RA、rb 即 RA = 24q()，RB = §q/()，。 5-4-11梁在不均匀温度的变化下，发生弯曲和伸长变形，由于t2>t1，所以轴线以上伸长少， 而轴线以下伸长大，使梁发生凸向下的弯曲变形，B点有向上的挠度，设为(、)t。在梁的 自由端上作用力偶矩M0后，能使变形展直，B点又回到原水平位置，设M0作用下B点的 挠度为(A )。由( Q广(A )，变形条件可以解出M。值。其中 B M0B tB M0a(t t )12M 12a(t t )EI(A)=一f4，(A) = c0.，代入变形条件中解得M =一r4。B t 2hB M0 2EI0 h5-4-12 (1)当杆BC的EA= 时，杆不变形，将BC杆切短，用RBC代替其约束，取基5PR 135 P13本结构。变形协调条件为*斗c (I)，解出Rr=方，则匕=七=B-= 有。B cBC 32 c b3EI96 EIEA(2)当EA =万 时，杆BC有伸长变形，同样将BC杆切段，用RBC代替，取基本结构。BC 2 R 13.一.这时的变形协调条件为 y = y +A1 , A1 =片，解出C B BC BC EA2 EI5 P 25 P13R =, y =BC 56C 336EI5-4-13这是一个二次超静定问题。若不计杆的轴向变形，则结构无水平约束力，将该问题 简化为B铰只有一个垂直约束力为未知数的结构。在B铰处切断，用约束力RB代替，取出 基本结构，并根据b点的变形协调条件建立补充方程(yB)AB=(yB)BC_ q x 44 R x 44* ab _ 8EI3EI(yB)BCP x 22 +2 EIR x 44 ( P x 23 B+ 3EI" 3EI代入变形协调方程求出R=8.75kN5-4-14因为AB梁点的挠度大于，因此在P作用下AB梁与CD梁共同受力，成了一次 超静定问题。若将两梁拆开，约束反力R分别作用在梁上，则成为基本结构。变形协调方程为(七)AB=(七)CD +A 代入变形协调方程解出R = 16 P - H1 A ,并由平衡条件求个梁的约束反力，将(yB ) AB(P R)13(、，(yB ) CD3EIR1348 EI1717/3RC = RD = R-, RA = P - R ,Ma = (P - R)l.5-4-15(1)将A端的约束反力用MA、RA表示；(2) 列出弯矩方程M(x) = MA + RAx一2q0x2 + §q0x3(3) 代入挠曲线近似微分方程并积分；(4)根据A端的位移边界条件求出C=0,D=0;(5) 根据B端的边界条件，即x=l时，M=0 (即y，=0)； x=l时，*=°解出M = - q 12 , R = q l ；A 15 0 A 5 0 'q x2 / 一， 、(6) 最后的出初始挠度曲线方程y = 一 (一413 + 812x一5lx2 + x3)。1201EI5-4-16结构为对称，而外力M0为反对称。若将结构取出一半(如取左边一半)，贝域为A 端为固定端、C端为铰支座的单跨超静定梁。在C截面上作用有力偶矩耳，AC段的长度l为5。只要解出AC梁的挠度方程即可，CB段的挠度曲线与AC段组成反对称的挠度曲线，y(x)=-上(也x2 -Mx3).4 EI 2 l5-4-17若不计梁AB的轴向变形，这是一个二超静定问题。将A固定端解除用约束反力Ra、 Ma =0,代替，并由A点的。A=0、y=0的变形条件建立两个补充方程，并令Ma=0，求出x = 3。