小波变换基础.docx

第9章小波变换基础9.1小波变换的定义给定一个基本函数w (t)，令/、1/t bW ab (t) = -a W (丁)(9.1.1)式中a,b均为常数，且a > 0。显然，w a b(t)是基本函数W(t)先作移位再作伸缩以后得到 的。若a,b不断地变化，我们可得到一族函数w a b(t)。给定平方可积的信号x(t)，即 x(t) g L2(R)，则 x(t)的小波变换(Wavelet Transform, WT)定义为WT (a,b) = -L j x(t)w * (口)dtx 丫 aa=j x(t)W* (t)dt =x(t),W (t)(9.1.2)a ,ba,b式中a,b和t均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换(CWT)。如无特别说明，式中 及以后各式中的积分都是从-8到+ 8。信号x(t)的小波变换WT (a,b)是a和b的函数，xb是时移，a是尺度因子。W(t)又称为基本小波，或母小波。W ab(t)是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，(9.1.2)式的WT 又可解释为信号x(t)和一族小波基的内积。母小波可以是实函数，也可以是复函数。若 x(t)是实信号，W(t)也是实的，则 WT(a,b)也是实的，反之，WT(a,b)为复函数。'在(9.1.1)式中，b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小波W (t)作伸缩。我们在1.1节中已指出，由W (t)变成W (-)，当a > 1 a时，若a越大，则W (-)的时域支撑范围(即时域宽度)较之W(t)变得越大，反之，当a < 1 a时，a越小，则k (-)的宽度越窄。这样，a和b联合越来确定了对x(t)分析的中心位置 a及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。图 9.1.1(a)基本小波，令 - = t'，则 dt = adt '，这样， a上式的积分即等于j k (t)|2dt。基本小波的伸缩及参数a和b对分析范围的控制(b)b > 0， a = 1 ,(c) b 不变，a = 2, (d)分析范围这样，(9.1.2)式的WT可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对x(t)作分析， 由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同 的分辨率这一基本要求。(9.1.1)式中的因子 A是为了保证在不同的尺度a时，k ab(t)始终能和母函数k(t)有着相同的能量，即(t )2 dt = - jk (a2)dtjk人a, b令x(t)的傅里叶变换为X(。)k(t)的傅里叶变换为平(。)，由傅里叶变换的性质，Wab(t)的傅里叶变换为：1 t bWab (t) = -a-W ()o Wb (。) = 4a 中(aO)e - 好(9.1.3)由Parsevals定理，(9.1.2)式可重新表为：WT (a,b) = 2-< X(Q) ,W b(Q) >=2_ j f (Q)W*(aQ)ejQbdQ(9 14)2兀y此式即为小波变换的频域表达式。9.2小波变换的特点下面，我们从小波变换的恒Q性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来 讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。比较(9.1.2)和(9.1.4)式对小波变换的两个定义可以看出，如果牛a b(t)在时域是有 限支撑的，那么它和尤(t)作内积后将保证WT(a,b)在时域也是有限支撑的，从而实现我 们所希望的时域定位功能，也即使WT (a,b危映的是x(t)在b附近的性质。同样，若 Wa b(Q)具有带通性质，即 %(Q)围绕着中心频率是有限支撑的，那么W b(Q)和X(Q) 作内积后也将反映X (Q)在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。显然， 这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波W(t)，使其在时域和频域都是 有限支撑的。有关小波的种类及小波设计的问题，我们将在后续章节中详细讨论。由1.3节可知，若W (t)的时间中心是七，时宽是A t, W (Q)的频率中心是Q°,带宽 是Aq，那么w (t)的时间中心仍是t。，但时宽变成aA七，W(a)的频谱aW(a。)的频率中 心变为。/a，带宽变成A。/a。这样，W()的时宽一带宽积仍是A卜。，与a无关。这 一方面说明小波变换的时一频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是 揭示了小波变换的一个性质，也即恒Q性质。定义Q = A。/。=带宽冲心频率(9.1.5)为母小波W（t）的品质因数，对w （t），其带宽/中心频率= /。 QQ / a 。因此，不论a为何值（a > 0）， w （-）始终保持了和（t）具有性同的品质因数。恒Q性质 a是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重要原因。图9.2.1说明了 W（。）和W（a。）的带宽及中心频率随a变化的情况。中（a。）0。t图 9.2.1W（。）随 a 变化的说明；（a） a = 1，（b） a = 2，（c） a = 1/2将图9.1.1和图9.1.2结合起来，我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点:当a 变小时，对x（t）的时域观察范围变窄，但对X（。）在频率观察的范围变宽，且观察的中心 频率向高频处移动，如图9.2.1c所示。反之，当a变大时，对x（t）的时域观察范围变宽， 频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动，如图9.2.1b所示。将图9.1.1和 9.2.1所反映的时一频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、 带宽、时间中心和频率中心的关系，如图9.2.2所示。A /2(a 1/2) 2。0(a 1)。0(a 2) 。0/20图9.2.2 a取不同值时小波变换对信号分析的时一频区间由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图9.2.2中三个时、频分析区间（即 三个矩形）的面积保持不变。由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口。该分析窗口在高频端（图中2Q处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率 0边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中Q0 /2处）， 频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的«值下，图9.2.2中分析窗的面积保持不 变，也即时、频分辨率可以随分析任务的需要作出调整。众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖 脉冲等。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频 域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信 号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分 辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满 足这些客观实际的需要。总结上述小波变换的特点可知，当我们用较小的«对信号作高频分析时，我们实际上 是用高频小波对信号作细致观察，当我们用较大的«对信号作低频分析时，实际上是用低 频小波对信号作概貌观察。如上面所述，小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析 时的规律，也符合人们的视觉特点。现在我们来讨论一下小波变换和前面几章所讨论过的其它信号分析方法的区别。我们知道，傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频域有着最佳的定位功能（频 域的8函数），但在时域所对应的范围是-"+8，完全不具备定位功能。这是FT的一 个严重的缺点。人们希望用短时傅里叶变换来弥补FT的不足。重写（2.1.1）式，即STFT (t,Q)=J x(t )g* (t -1)e-jQtdt(9.2.6)=J x(t )g* (t )dT=x(t ), g (t -1)ejmt ,T由于该式中只有窗函数的位移而无时间的伸缩，因此，位移量的大小不会改变复指数e-QT的频率。同理，当复指数由e-jQT变成e-j2qt （即频率发生变化）时，这一变化也不会影响窗函数g（t ）。这样，当复指数e-g的频率变化时，STFT的基函数gtT （t）的包络不会改变，改变的只是该包络下的频率成份。这样，当Q由Q。变化成2Q。时，gtT （t）对x（t ） 分析的中心频率改变，但分析的频率范围不变，也即带宽不变。因此，STFT不具备恒Q-256 -性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力，如图9.2.3所示。图中g (t) = e_t2/t .10图9.2.3 STFT的时一频分析区间(a)g璀(t)=g(t-1)e-jn0.,g(t)=g(t-1)e-j200 , (b)G(Q)是 g。)的 FT,G'（。）是g； t （t）的FT, （c）在不同的Q0和t处，时宽、带宽均保持不变我们在第六至第八章所讨论的M通道最大抽取滤波器组是将x（n）分成M个子带信号，每一个子带信号需有相同的带宽，即2兀/M，其中心频率依次为七k , M2兀，k = 0,1,M -1 （注：若是DFT滤波器组，则中心频率在”k, k = 0,1,M -1）， M且这M个子带信号有着相同的时间长度。在小波变换中，我们是通过调节参数。来得到不 同的分析时宽和带宽，但它不需要保证在改变«时使所得到的时域子信号有着相同的时宽 或带宽。这是小波变换和均匀滤波器组的不同之处。但小波变换和7.9节讨论过的树状滤 波器组在对信号的分析方式上极其相似。由后面的讨论可知，离散小波变换是通过“多分 辨率分析”来实现的，而“多分辨率分析”最终是由两通道滤波器组来实现的。由（9.1.1）式，定义WT （a,b）|2 = Xj x（珈 *（口）dt2（9.2.7）x寸aa为信号的“尺度图（scalogram）”。它也是一种能量分布，但它是随位移b和尺度a的能量 分布，而不是简单的随（t,。）的能量分布，即我们在第二章至第四章所讨论的时一频分布。 但由于尺度a间接对应频率（a小对应高频，a大对应低频），因此，尺度图实质上也是一 种时一频分布。综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调节对信号分析的时宽/带宽等一系列突 出优点，因此被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换是八十年代后期发展起来的 应用数学分支。法国数学家Y.Meyer，地质物理学家J.Morlet和理论物理学家A.Grossman 对小波理论作出了突出的贡献。法国学者I.Daubechies和S.Mallat在将小波理论引入工程 应用，特别是信号处理领域起到了重要的作用。人们称这些人为“法国学派”。在小波理论 中一些有影响的教科书如文献3,5,8,16等，一些有影响的论文如文献 42,43,51,52,53,87,88,105,116等。国内从工程应用的目的较为全面地介绍小波理论的著作 见文献21，结合MATLAB介绍小波理论的著作见文献18.9.3连续小波变换的计算性质1.时移性质若x(t)的CWT是WT (a,b),那么x(t-t )的CWT是WT (a, b-t )。该结论极易证 明。记 y(t) = x(t-t )，贝gWT (a,b) = -L Jx(t -t叩*(lL)dt-aa=1 J x (t 阳(''-(b-T)dt' vaa=WT (a,b-t )(9.3.1)2.尺度转换性质如果 x(t)的 CWT 是 WT (a,b)，令 y(t) = x(人 t)，则证明:WT (a, b)=WT (Xa,人b)WT (a,b) = -L Jx(Xt)W*(口)dt，令t' = Xt， yv.;aaWT (a,b) = -1= Jx(t')w*( 1 Xb)Xdt'(9.3.2)_1_1_.v'X xXat Xb 只J x(t)W* ()dtxa= -1= WT( Xa, Xb)该性质指出，当信号的时间轴按X作伸缩时，其小波变换在a和b两个轴上同时要作相同 比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变换优点的又一体现。3.微分性质如果 x(t)的 CWT 是 WT (a,b)，令 y(t) = = x'(t)，则xdt8WT (a, b) = WT(a, b)(9.3.3)证明:1 dx(t) A - b、 WT (a,b) = J W*()dt=Lim-i J x(t + At) x(t)w *(口)dts：aAta=Lim -At r 0At |_ w'a!= J x (t + At )W* (- )dt !=J x(t )W* (_- )dtia(aa由(9.3.1)式的移位性质，有叮(a, b)=施"("，b + 也)一 "(% b)yAt 0'8即WT (a, b) = -WT(a, b)4.两个信号卷积的CWT,令 x(t), h(t)的 CWT 分别是 WT (a, b) 及 WT (a, b)，并令 y(t) = x(t) * h(t)，则 h, 一、h. 一 、WT (a,b) = x(t)*WT(a,b)(9.3.4)=h(t')*WT (a,b)b .式中符号*表示对变量b作卷积。证明:WT (a,b) = -L jj+3x(T)h(t-t)dT W*(1)dty°a -3a=j+3 x (t )j h(t-t )w * (1b )dt dT-3 vaa再由(9.3.1)式的移位性质，有WT (a,b) = j+8x(t)WT (a,b-t)dxy-3h同理，WT (a,b) = j +3h(T)WT (a,b-t)dTy-3*式得证。于是(9.3.4)5.两个信号和的CWT令 x (t),x (t)的 CWT 分别是WT (a,b),WT (a,b)，且 x(t) = x (t) + x (t)，12x1x 212则(9.3.5a)(9.3.5b)WT (a, b) = WT (a, b) + WT (a, b) xx1x 2同理，如果 x(t) = kx (t) + k x (t)，则 1 12 2WT (a,b) = kWT (a,b) + kWT (a,b) x1 x12 x 2(9.3.5)式说明两个信号和的CWT等于各自CWT的和，也即小波变换满足叠加原理。看 到WT的这一性质，估计读者马上会想到WVD中的交叉项问题。由(9.3.5)式看来，似 乎小波变换不存在交叉项。但实际上并非如此。(9.1.2)式所定义的CWT是“线性”变换， 即X(t)只在式中出现一次，而在(3.1.2)式的 WVD表达式中X(t)出现了两次，即X。+T /2)X*(t -T /2)，所以，我们称以Wigner分布为代表的一类时一频分布为“双线 性变换”。正因为如此，Wt,。)是信号x(t)能量的分布。与之相对比，小波变换的结果 WT (a,b)不是能量分布。但小波变换的幅平方，即(9.2.7)式的尺度图则是信号x(t)能 量的一种分布。将X (t)=气(t) + X2(t "代入(9.2.7 )式，可得:WT (a.b)2 = WT (a, b)|2 + |WT (a, b)|2XX1X2+ 2WT (a,b)|WT (a,b) cos(0 -0 )(9.3.6)X1X2X1X2式中0 ,0分别是WT (a,b)和WT (a,b)的幅角。X1 X 2X1X 2证明：WTx (a, b)|2 = WTX (a, b)WT* (a, b)=WT (a, b) + WT (a, b)WT* (a, b) + WT* (a, b)X1X2X1X2=Wt (a, b)|2 +|WT (a, b)|2+ WT (a, b)WT* (a, b) + WT (a, b)WT* (a, b)*X1X2X1X2由于后两项互为共轭，因此必有(9.3.6)式.(9.3.6)式表明在尺度图中同样也有交叉项存在，但该交叉项的行为和WVD中的交 叉项稍有不同。我们在3.5节中已指出，WVD的交叉项位于两个自项的中间，即位于(t ,Q )处，t = (t +1 )/2,Q = (Q +Q )/2,(t ,Q ),(t ,Q )分别是两个自项的时一日 日日 12日 121122频中心。由(9.3.3)式可以得出，尺度图中的交叉项出现在川孔(a,b)和WT (a,b)同时不为零的区域，也即是真正相互交叠的区域中，这和OWVD有着明显的区别。可以证明俄 书】，同一信号x(t)的WVD和其尺度图有如下关系：WT (a,b)|2 = jj W (t,Q)W (,aQ)dtdQ(9.3.7)W a式中W(t,Q)是母小波甲(t)的WVD，该式揭示了 WVD和WT之间的关系，这说明cohen类的时一频分布和小波变换有着非常密切的内在联系。6.小波变换的内积定理定理 9.1 设 X (t),x (t)和W (t) g L2(R) , x (t),x (t)的小波变换分别是WT (a,b)1212X和 WT2 (a, b)，则JJ+8WT (a,b)WT* (a,b)db = Cx (t),x (t)(9.3.8)0 一8xx2a2W 12式中"VdQ(9.3.9)W(。)为W (t)的傅里叶变换。证明：由(9.1.4)式关于小波变换的频域定义，(9.3.8)式的左边有：j8j8 J8 X (O)W* (aO)ejQbd。8 X * (O，)W(aO，)e-jQbd。'dadb0 一84兀 2 _8-8a2=88J8 X (。)X*(O，)W*(aO)W(aO，)dQd。©(。-。')bdb0 -8 4兀 2a -812=J8J8 也J8 X (。)X * (。' )W* (aO)W(a。' )8 (。-。')dQd。' 0 -8 2冗。-8 12=J8J8 虫J8 X (。)X * (。)|W(a。)|2d。 0 -8 2兀 a -8 12=J8_L J8 件(a。)2 d(aO)X (。)X *(O)d。o 2兀-8 a。12假定积分(a。)= c0a。0。 W存在，再由Parseval定理，上述的推导最后为c J8 X (。)X * (O)dQ = cx (t), x (t)w 2k -8 12w 12于是定理得证。(9.3.8)式实际上可看作是小波变换的Parseval定理。该式又可写成更简单的形式, 即(9.3.10)WT (a, b),WT (a, b)= c x (t), x (t)x1x 2W 12进一步，如果令气(t) = x() = x(t)，由(9.3.8)式，有(9.3.11)|x(t)|2dt = j8a-2Wt (a,b)|2dadb -8C 0 -8该式更清楚地说明，小波变换的幅平方在尺度一位移平面上的加权积分等于信号在时域的 总能量，因此，小波变换的幅平方可看作是信号能量时一频分布的一种表示形式。(9.3.8)和(9.3.11)式中对a的积分是从08，这是因为我们假定a总为正值。这 两个式子中出现的a-2是由于定义小波变换时在分母中出现了 1拓，而式中又要对a作 积分所引入的。读者都熟知傅里叶变换中的Parseval定理，即时域中的能量等于频域中的能量。但小 波变换的Parseva定理稍为复杂，它不但要有常数加权，而且%的存在为条件。9.4小波反变换及小波容许条件下述定理给出了连续小波反变换的公式及反变换存在的条件。定理9.2设x(t加(t) g贝R)，记W(。)为q (t)的傅里叶变换，若 七:零<8则x(t)可由其小波变换WT (a,b)来恢复，即x(9.4.1)x(t) = f8a-2 j8 WT (a, b)q (t)dadbC 0-8 xa，b证明：设x(t)=气。)，x2(t) =5 (t-1'),则(气。),x( )= x (t') 1 t b 1t' bWT (a, b)=f 5 (t -1')q ()dt =q ()立 vaa <a a将它们分别代入(9.3.8)式的两边，再令t' = t，于是有x(t) = f8a-2 j8 WT (a, b)q (t)dadb C 0-8 x皿于是定理得证。在定理9.1和定理9.2中，结论的成立都是以Cq<8为前提条件的。(9.3.9)式又称为 “容许条件(admissibility condition)。该容许条件含有多层的意思：1. 并不是时域的任一函斜(t) g L2(R)都可以充当小波。其可以作为小波的必要条件 是其傅里叶变换满足该容许条件；2. 由(9.3.9)式可知，若七<8，则必有W (0) = 0，否则七必趋于无穷。这等效地 告诉我们，小波函数W (t)必然是带通函数；3, 由于中(。)|。0 = 0，因此必有L (t)dt = 0(9.4.2)这一结论指出，W(t)的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。以上三条给我们勾画出了作为小波的函数所应具有的大致特征，即W(t)是一带通函 数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时一频定位的角度，我们总希望/ (t)是有限支撑 的，因此它应是快速衰减的。这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波 (wavelet )的原因。2. 由上述讨论，W (t)自然应和一般的窗函数一样满足：W (t)dt V8(9.4.3)3. 由后面的讨论可知，尺度。常按a = 2j来离散化，j e Z .由(9.1.3)式，对应的傅 里叶变换2刀2中(20)ej，由于我们需要在不同的尺度下对信号进行分析，同时 也需要在该尺度下由WT (a,b)来重建x(t)，因此要求|(2j。)|2是有界的，当j由一 8+8时，应有A <|W(2j。)< B(9.4.4)j = 8式中0 <A<B<8。该式称为小波变换的稳定性条件，它是在频域对小波函数提出的又 一要求。满足(9.4.4)式的小波称作“二进(dyadic)”小波。9.5重建核与重建核方程我们在上一节指出，并不是时域任一函数都可以用作小波W(t)。可以作为小波的函数 至少要满足(9.3.9)式的容许条件。与此结论相类似，并不是(a,b)平面上的任一二维函 数WT(a,b)都对应某一函数的小波变换。WT(a,b)如果是某一时域信号，如x(t)的小波 变换，它应满足一定的条件，此即本节要讨论的内容。定理9.3设(a。,b是(a,b)平面上的任一点，(a,b)上的二维函数WT；(a,b)欲是某一函数的小波变换的充要条件是它必须满足如下的重建核方程，即(9.5.1)WT (a , b )=卜 a-2WT (a, b)K (a , b ; a, b)dadbX 0 00一8 XV式中WT (a ,b )是WT (a,b)在(a ,b )处的值，八 0x001 K (a , b ; a, b) = J VvVCV,b 什)V,b(t 加*(t )dt% b0(t )0, b0(9.5.2)称为重建核。证明：由(9.1.2)式小波变换的定义，有WT (a, b) = j x(t)v* (t)dta, b将(9.4.1)式代入该式，有WT (a ,b ) = j1"a一2" WT (a,b)vx 0 0Cv 0 _g=f8a一2WT (a, b) jv (t)V a,b(t )dadb V,b*a0，b0(t )dt0-8 xCV=f8a_2f8 WT (a,b)LV0-8 xCV(t )dt dadb0 b,b(t),w(t)dadb0,b0此即(9.5.1)和(9.5.2)式。(9.5.1)式的重建核方程和(9.5.2)式的重建核公式说明，若WT (a,b)是x(t)的小 x波变换，那么在(a,b)平面上某一点(a ,b )处小波变换的值WT (a ,b )可由半平面00x00(a g R +,b g R)上的值WT (a,b)来表示，也即，WT (a ,b )是半平面上WT (a,T)的总xx 00x贡献。既然(a,b)平面上各点的WT (a,T)可由(9.5.1)式互相表示，因此这些点上的值是 x相关的，也即(9.4.1)式对x(t)的重建是存在信息冗余的。这一结论告诉我们可以用(a,b) 平面上离散栅格上的WT (a,b)来重建x(t)，以消除重建过程中的信息冗余。x在第二章中已指出，当用x (t)的短时傅里叶变换STFT (t,。)来重建x(t)时，(t,。)平 x面上的信息也是有冗余的，即(t,。)平面上各点的STFTx(t,。)是相关的，因此引出了离 散栅格上的STFT，如(2.2.6)式，进一步的发展即是信号的Gabor展开与Gabor变换。由此可以得出，将一个一维的函数映射为一个二维函数后，在二维平面上往往会存在信息 的冗余，由此引出了二维函数的离散化问题及标架理论。有关离散小波变换及小波标架的 内容将在本章的最后两节来讨论。重建核k (a ,b ;a,b)是小波W (t)和(a ,b )处的小波W(t)的内积，因此k反w 0 0a, b0 0a 0，b0W映了w (t)和W(t)的相关性。若a = a ,b = b，即两个小波重合时，k取最大值；a, ba。00W若(a, b)远离(a , b )，则k将迅速减小。若能保证k =5 (a - a , b - b )，则(a, b)平面 0 0WW00上各点小波变换的值将互不相关。这等效地要求对任意的尺度a及位移b，由母小波W(t)形成的一族W (t)是两两正交的。可以想象，若a,b连续取值，要想找到这样的母小波 a, bW (t )使寸ab (t)两两正交，那将是非常困难地。因此，连续小波变换"孔(a, b)必然存在信息冗余。然而，当a,b离散取值时，则有可能得到一族正交小波基寸讣(t)。9.6小波的分类由前两节的讨论可知，作为一个小波的函数W(t)，它一定要满足容许条件，在时域一 定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，当然，若时域越窄，其频域必 然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面我们往往只能取一个折中。此外，我们希望由母小波W(X)形成的W (t)是两两正交的，或是双正交的;进一步，我们希望W(X) a,b有高阶的消失矩，希望与W (x)相关的滤波器具有线性相位，等等。我们可以根据上述要 求对现已提出的大量的小波函数作一粗略地分类。在下面的分类中，第一类是所谓地“经 典小波”，在MATLAB中把它们称作“原始(Crude)小波”。这是一批在小波发展历史上 比较有名的小波；第二类是Daubecheis构造的正交小波，第三类是由Cohen，Daubechies 构造的双正交小波。9.6.1经典类小波1. Haar小波Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是：I10 <'< 1/2Iw (t) = 11/2 < t < 1 10其它l>其波形如图9.6.1 (a)所示。W(t)的傅里叶变换是：W (O) = j _4sin2()e- jg。 a(9.6.1)(9.6.2)Haar小波有很多好的优点，如:(1) Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为(0, 1)；(2)若取a = 2j, j g Z+, b g Z，那么Haar小波不但在其整数位移处是正交的，即W (t),W (t k)= 0，而且在j取不同值时也是两两正交的，即W (t)，w (2一jt)= 0 如图 9.6.1(b)和(c) 所示。所以Haar小波属正交小波；(3) Haar波是对称的。我们知道，离统的单位抽样响应 若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除 相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一一个既 具有对称性又是有限支撑的正交小波；(4) Haar小波仅取+ 1和一1，因此计算简单。但Haa r小波是不连续小波，由于tw (t )dt 0,因此W(O)在。=0处只有一阶零点，这就使得Haar 小波在实际的信号分析与处理中受到了限制。但由于 Haar小波有上述的多个优点，因此在教科书与论文 中常被用作范例来讨论。图 9.6.1 Harr 小波，(a) W (t)，(b) W (t 1)，(c) W (t/2)2. Morlet 小波Morlet小波定义为(9.6.3)W (t) = e12/2ejtW(O) = <2 e-(o-0)2/2(9.6.4)其傅里叶变换它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分析的信号一般是实信号，所以在MATLAB中将(9.6.3)式改造为:(9.6.5)V (t) = e-12/2 cos。t0并取。0 = 5。该小波不是紧支撑的，理论上讲t可取-8 +8。但是当。0 = 5，或再 取更大的值时，V (t)和W(。)在时域和频域都具有很好的集中，如图9.6.2所示。Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。但该小波是对称的， 是应用较为广泛的一种小波。-4-202400.51图9.6.2 Morlet小波，(a)时域波形，(b)频谱3 .Mexican hat 小波该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr小波。它定义为V (t) = c(1 12)e-12/2(9.6.6)2式中C =方兀1/4，其傅里叶变换为中(。)=J2兀。2。-。2/2(9.6.7)该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹 如一顶草帽，故由此而得名。其波形和其频谱如图9.6.3所示。该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小 波变换。由于该小波在。=0处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人 眼视觉的空间响应特征，因此它在1983年即被用于计算机视觉中的图像边缘检测131,75(a)时域波形，(b)频谱图9.6.3墨西哥草帽小波，4. Gaussian 小波高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为：,、 dkV (t) = c et /2 ,k = 1,2, ,8(9.6.8)dtk式中定标常数是保证V (t)|2 = 1。该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当k取偶数时V(t)正对称， 当k取奇数时，V(t)反对称。图9.6.4给出了 k = 4时的v (t)的时域波形及对应的频谱。-10-50510151000.5图9.6.4高斯小波，取k = 4，(a)时域波形，(b)频谱9.6.2正交小波目前提出的正交小波大致可分为四种，即Daubechies小波，对称小波，Coiflets小波 和Meyer小波。这些正交小波和前面所讨论的“经典小波”不同，它们一般不能由一个简 洁的表达式给出W(t)，而是通过一个叫做“尺度函数(Scalling function)”的4 (t)的加权 组合来产生的。尺度函数是小波变换的又一个重要概念。由下一章的讨论可知，小波函数 W(t)，尺度函数4(t)同时和一个低通滤波器H0(z)及高通滤波器H 1(z)相关连，H0(z)和 H 1( z)可构成一个两通道的分析滤波器组。这些内容构成了小波变换的多分辨率分析的理 论基础。因此，在讨论正交小波时，同时涉及到尺度函数4(t)，分析滤波器组H0(z)，H 1(z) 及综合滤波器组%(z)，G1(z)。MATLAB中的Wavelet Toolbox中有相关的软件来产生各 类正交小波及其相应的滤波器。1. Daubechies 小波Daubechies小波简称db小波。它是由法国女学者Ingrid Dauechies于90年代初提出并 构造的。Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度取2的整数次 幂时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作Ten Lectures on Wavelet (小波十讲)深受同行们的欢迎。dbN中的N表示db小波的阶次，N = 210 .当N = 1时，db 1即是Haar小波。因此， 前述的Haar小波应归于“正交小波”类。Daubechies计算出了 N = 2 10时的 4 (t),匕,h1, g0及g 1。在MATLAB5.3中，N的阶次还可以扩展。db小波是正交小波，当 然也是双正交小波，并是紧支撑的。4(t)的支撑范围在t =。(2N -1)，W(t)的支撑范 围在(1 - N)N。小波W (t)具有N阶消失矩，W(Q)在 = 0处具有N阶零点。但db 小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组(CQMFB)。图9.6.5给出了 N = 4时，W(t)，4(t)及W(Q)，(Q)的波形。有关db小波的构造等更多内容见第十 一章。2. 对称小波对称小波简记为symN， N = 2,3,8，它是db小波的改进，也是由Daubechies提出 并构造的。它除了有db小波的特点外，主要是W(t)是接近对称的，因此，所用的滤波器 可接近于线性相位。图9.6.6是N = 4时的对称小波。3. Coiflets 小波该小波简记为coifN， N = 1,2，5.在db小波中，Daubechies小波仅考虑了使小波函 数寸(t)具有消失矩(N阶)，而没考虑尺度函数4(t)。R.Coifman于1989年向Daubechies 提出建议，希望能构造出使4(t)也具有高阶消失矩的正交紧支撑小波