定理学习认知结构理论.docx

定理学习认知结构理论这是一堂由西安市教研室组织的计算机辅助教学公开课（其教学过程的完整， 重点（垂径定理及其证明）、难点（辅助线OA ,OB的连结，利用圆的轴对称性推证垂 径定理）把握的清醒，师生互动的活跃（贯穿整堂课的人机对话、师生间的交流与协 作），思想方法提炼的注重（对基本图形Rt?AOE的总结、作辅助线的总结、定理在 几何计算和证线段相等方面应用的总结等），以及教师对教学内容的熟识和对教学 基本功的运用等，都给在场近百名教师留下了深刻而美好的印象（然而，教学过程不仅是教师教的过程，更是学生学的过程，那么，本课例所展 示的是一个什么样的学习过程呢，1（定理呈现的二个层次为了学习垂径定理，课例首先复习了 “轴对称图形”，这是初二学习过的知识 （见几何第二册P.88），并且学生已经见到过许多轴对称图形（如几何第一 册P1中的五角星，第二册中的等腰三角形等），进入几何第七章，学生又接触 到一个新概念一一圆。将这两个已有知识（指轴对称图形与圆）加以组合一一教师通 过提问和电脑显示，得出一个新的知识：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线 都是它的对称轴（课例称此为本节课的第1个结论）。这是一个在原有知识经验基础 上建构新知识的过程，其基本形式是同化。紧接着，教师继续通过提问和电脑显示，让学生经历“直观感受一一直觉猜想 逻辑证明”的发现过程，得出“垂径定理”（这是本节课的第2个结论）。此 处，明显调动了三个知识作为同化“垂径定理”的基础（其一是，上面刚刚完成的 “圆是轴对称图形”；其二是，大家已经熟悉的“等腰三角形是轴对称圈形”；其三 是，轴对称方法（为什么会想到用轴对称方法，这是一个难点，后文还要谈到）（上面的叙述可以表示为图l 一 30,从中不难看到，“垂径定理的发展分为 两个层次。第一层次是由两个已有的知识组合出一个新知识，并立即作为继续建构 新知识的固着点、生长点（接着，添上两个已知的知识，推导出垂径定理，这使我 们对圆的认识更深入了，这当中，电脑的动态演示发挥了激活记忆、激发兴趣的重 要作用（所以，学生对“垂径定理”的学习过程，是学生原有认知结构（图1-30中虚 线包围部分）中的有关知识与新学习内容相互作用（同化），形成新认知结构的过 程。它的中介有文字符号，也有数学符号，但最为突出的中介是计算机（计算机使 学生“动”起来，使课堂“活”起来;变枯燥为有趣，变抽象为具体（2:定理学习的三个阶段（1）第一阶段是输入阶段即给学生提供新的学习内容，创设符合学习内容的情境，提示新旧知识之间联 系的线索。本课例是通过复习提问、电脑显示来创设问题情境的，从图l 一 21、图1 一 22到圈1 一 23,学生直观地感受到应有“垂径定理”，但还不能证明它，从而产 生解决这个问题的心向：怎样证明3个等式呢，AE= EB， ? ADDBACCB=,使学生在心理上产生学习新知识的需要，这是输入阶段的关键（从这一意义上 说，教师对情境的创设是成功的，能引起学生的学习兴趣，能激发学生的学习动机 （2 ）第二阶段是新旧知识相互作用阶段，产生学习的需要之后，学生原有的知识与新的学习内容就发生作用，这种相互 作用有两个最基本的形式一一同化和顺应，同化使新内容纳入原有数学认知结构， 从而扩大原有认知结构的过程（参见图1-30）（当原有认知结构不能同化新的内容 时（比如全新的一类知识，初一从算术到代数的学习，从代数到几何的学习等），就 要改造原有的认知结构，以使新内容能适应这种认知结构，这就是顺应（本课例对 “垂径定理”的学习，主要是同化（当然，原有的轴对称图形的认知结构已有所改 变，原有的圆的认知结构也有所改变，以顺应新知识的学习，但主要形式还是同 化，下面我们来说具体过程，先说等式?，证明线段相等，学生是既有经验，又有方法，一个比较自然的思 路是（全等法）：欲证AE = EB，我们来找两个三角形，使AE ,EB为两个三角形的对 应边;然后证两个三角形全等;但两个三角形不是现成的，故要连辅助线OA，OB（难 点之一）（只要突破了作辅助线的难点，证AE二船就不会有很大困难，但是，怎样证明弧段等式?呢,这时学生来说是既缺少经验，也缺少办法的问题 （怎么办,我们的想法是引导学生回到最原始的起点一一两弧相等的定义（数学定理的本质不就是数学概念之间的关系吗,）。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 等弧（见几何第ADDB三册P.65）（由此，想到将两弧重合的叠合法（难点之二）。当然要使与重 合，可以利用圆的旋转不变性，也可以利用圆的轴对称性（前者的证明过程相当于 证圆心角定理（见几何第三册P - 86,很快就要学到），需先证么（A弼二么 DOB;后者的关键是要说明点A与点B关于GD对称，可直接由?AOB为等腰三角形得 出（再一次看到连结OA ,OB的作用）（两相比较，显然是后者较方便（当然，学生的 思维未必都能一步进到较优状态（证三个等式同时成立），他们会把三个等式分两次 来证明，但教师可以发挥深谋远虑的组织者作用（不要当灌输者与贩卖者），于思路 初步打通之后，让学生回想三角形全等的定义:能够完全重合的两个图形叫做全等 形一一这又导致叠合法（于是，三个等式可以用同样的轴对称方法一次完成，从分 两步证到一步证完的启发引导可体现元认知的调控作用，也让学生获得元认知体验 并积累元认知知识（由上面的分析可以看到，如何由圆的对称性想到“叠合法”，进而如何想到用 “轴对称法 一次完成三个等式的证明，是整个定理学习的难点与关键。一般地 新旧知识相互作用的关键正是学生头脑中是否有相应的知识与新知识发生作用。教 师的主导作用就在于查明学生头脑中是否有该相应的知识，并通过恰当的方式促进原有知识与新知识的相互作 用，组织协作学习，本课例在难点的处理中，运用，直观性原则通过电脑演示折叠而直接给学生出 示圆的对称性，出示叠合法及轴对称法，其好处是：1）把定理的发现与定理的证明统一了起来；2）降低了学习的难度，节省了思考的过程（其缺点则是，减少了学生的学习体验，也错过了一次逻辑思维训练的机会（比 如，从直观发现到逻辑证明之间还右一些细致的分析工作可作;对于辅助线为什么 连结OA,OB而不连结AD，DB，教师也不要借学生的口代替教师应做的启发:至于怎 样想到三个等式一齐证，怎样实现三个等式一齐证等，都是思维训练的极好素材（定理证明之后，第二阶段就完成了，学生对圆的认识更充实了，对轴对称图形 的认识更丰富了，数学认知结构得以扩充，主要表现为：1）知识内容的增加（有两个明显的知识增加：圆是轴对称图形；垂径定理（2）数学经验的丰富（如“直观感受一一直觉猜想一一逻辑证明”的发现经历;面对新问题（三个等式、特别是弧段等式）如何调动原有知识的思维经历；以及轴对称方法的应用和逻辑 推理能力的提高等，都作为软件，溶解在学生新的认识结构中，从质和量两个方面 获得丰富（3）第三阶段是操作阶段（这里说的操作是指数学思维活动，主要有例题与练习等活动，这使刚产生的新 的数学认知结构变得完善，其基本形式是学生解决数学问题（对此，本课例组织了 两个层次的变式练习。首先，给出练习1（两问）和例1，让学生在定理证明的基础上，进行间题解决 的练习，从中得到体验，并获得经验，这就使新知识与原有知识的联系更加密切， 使数学活动经验的积累更加丰富，从而起到了完善新认知结构的作用（在练习1中，通过多个图形（正例反例）的辨析，有利于深入理解定理的两个条 件与三个结论（但笔录省去了图1- 25中（1）,（4）的分析，有的情况未交代清楚）（例1本身也是知识内容的丰富，稍作引申即可得弦长a，圆心距d与圆半径R 的公式a222 ? （）+=dR2只要知道其中两个量即可求出第三个量，到练习2和例2,数学活动经验学习的要求提高了，学生面对两个圆的新情景，需综合远用数学知识，需要有一点创新精神。课例对例2的处图31理，重点放在结论的证明上，启发学生提出4种繁简不 一的证明思路，这有利于培养学生思维的深刻性与广阔 性。我们的顺便建议是，在例1与倒2之间不妨设计一 些过渡，对例2的结论也可以直接设计一些发现过程， 比如，借助于电脑的动态演示，将弦AB止下平移， 当AB为直径时（图131），易见OC=OC， OA =OB，相减 AC=AO 一 CO=OB - OD二DB，这包含着例2证明的基本结构，但还没有出现“垂径定理”，学生就会在图1-31与图1-27之间探索并发现“垂径定理”的作用（又如，直接对例1中图1-26（也就是定理证明中的附图1-24）增加一个同心 圆，所得到的还是轴对称图形（电脑显示图132中的（1）、（2）、（3）并演示图形折 叠），让学生像观察图123 一样观察图132（3）中有哪些等量关系（开放题），自 己发现结论（AC=DB）（这一处理不仅使得从例1到例2（或从定理到例2）更自然，而 且强化了定理证明的方法（一种集直观、运动和美于一身的对称方法）（应该明白， 定理证明的方法大都是重要而典型的基本方法，不要把它当作“出租车”，完成“运输定理”的任务之后就开走。B0P32由上面的三个阶段可以看到，“垂径定理”的学习是以文字符号、数学符号和 计算机为中介的掌握知识（外在结果）、积累数学活动经验（内在结果）的一个动态过 程，这个过程基本上是以学生为中心来展开的（而教师则起着设计者、组织者、参 与者、指导者和评估者的作用），表现为:1）发挥了学生的主动性，如创设情境，诖学生通过观察并调动已有的知识经 验，自己发现“垂径定理''，让学生对例2的证明进行发散思考等（2）从头到尾，人机之间、师生之间始终进行着不间断的交流，这同时，也营造 了一种“协作学习”的气氛，当然，其中一些提问稍显生硬（3）安排了 20多分钟（超过了一半的时间）用于练习，使学生有较多的机会应用 新学的知识，将知识外化，并通过外化达到新知识的内化（定理学习的5个步骤3课例中垂径定理的学习是一个下位学习，因为原有认知结构中存在层次上高于 新定理的知识一一轴对称图形，而圆是一类特殊的轴对称图形，圆的垂径定理对于 轴对称图形的性质而言，处于下位关系（课例中，根据下位学习的性质将垂径定理的学习组织为5个步骤：（1）感知定理通过复习提问和电脑演示，首先激活相应的上位知识，并由学生获得的定理的直观认识，提出直觉猜想（课例中，教师启发学生找图1-23有哪些相等关系）（2）写出定理的条件和结论，课例中先用文字语言，后用数学符号表示两个条件（直径、垂直于弦）、三个结论（这当中有师生间的多次对话-（3）寻找解题思路，即从原有认知结构中提取出相关知识，沟通条件与结论之间的联系（课例在处 理中，与定理结论的发现相一致，演示了折叠法，找出“轴对称方法”来完成定理 的证明（4）证明定理（略）（5）应用巩固，即通过练习和例题将新定理纳入原有的认如结构，并使新的认知结构更加充实、完善（上文已从两个层面上说过）（4（商榷与建议（1）数学公开课是数学教研活动的一个传统方式，近年来正表现出一净扣高涨 与发展的势头，值得注意的是，这种崇高的活动已经受到八股化的影响（一张听课 打分表把“复习引入，新课讲授、例题练习、小结作业” 一一量化。教师们更多考 虑的是课堂控制、时间控制，最好是铃响完课、分秒不差（当然，规范化没有什么 错误，但单一化、绝对化就会扼杀教师的个性风格，就会限制学生的活动空间，就 会削弱教学的创造活力，课堂不仅没能成为学堂，反而越来越成为戏院，一堂公开 课成了一幕有固定程式的教案剧（活动型、探索型、民主开 放型的公开课能不能上 呢，确实没有人说过不让上，但“评估标准”缺少这方面的得分点，教师只好采用 保险的方式:严格按照教材内容，适当加上电脑演示（往往离计算机直接是数学教育 的一部分尚有距离），完整安排提问、讲解、练习、总结、作业（2）中学数学教学正在从教师满堂灌的讲授模式走出来，“边讲边问边答”已 经成为公开课的一种新模式（本课例的笔录中有三四十个回合的师问生答，实际现 场比这个数字还要大一些（无疑这是一个进步（然而，高密度问答背后，常常是把可 供探索的问题分解为能力要求较低的记忆性问题或理解性问题。这能使教学进程很 顺利，能使教学情节受控制，怛创新精神却少了（另外“师问生答竹的形式亦有点 单调，既缺少学生的提问又缺少学生之间的交流与交锋（这就使得“边问边答”也 意味着控制与支配（