定积分的几何应用.docx

定积分的几何应用定积分的几何应用内容摘要自十七世纪下半叶牛顿和莱布尼茨确定了微积分的基础以来，微积分已经经历了近 四百年的发展，微积分不仅在数学领域，在现代科学各个领域都发挥了巨大的作用，微 积分的思想更是达到了哲学的高度。可以预见，微积分在将来的应用会越来越广泛，越 来越深入，但微积分由于其思想的复杂性、系统性，给使用者带来了不便，本文就微积 分在数学几何领域的应用做了一些总结和创新，得出了在直角坐标系和极坐标系情况下， 平面图形的面积、旋转体体积、光滑曲线的弧长和旋转曲面的面积的求解方法，以方便 相关领域的人士在工作和学习中参考使用。【关键词】定积分几何坐标系面积体积弧长The application of definite integral geometryAbstractSince the second half of the seventeenth Century the Newtonian and Leibniz to determine the basis of calculus, calculus has experienced nearly four hundred years of development, not only in the field of mathematics calculus, in modern scientific fields have played an important role, the calculus idea is to achieve a high degree of philosophy. Can foreknow, calculus in the future will be more widely used, more and more deeply, but due to the complexity of ideas of calculus, system, users have inconvenience, the calculus in mathematics geometry application some summary and innovation, derived in Cartesian coordinate and polar coordinate conditions, planar graph area, the volume of body of rotation, smooth arc length of a curve and a rotating surface area method, so as to facilitate the related people in the working and learning reference.【Key words】 Integral geometry coordinates area volume arc length一、引言（1）（一）定积分的历史（1）（一）定积分思想的意义（1）二、定积分与微元法（2）（一）定积分的定义（2）（二）微元法的原理（2）（三）微元法的步骤（3）三、平面图形的面积（3）（一）直角坐标系情形（3）（二）极坐标系情形（4）四、体积（5）（一）平行截面面积为已知的立体的体积（5）（二）旋转体体积（5）五、光滑曲线的弧长（7）六、旋转曲面的面积（8）参考文献（9）致谢（10）定积分的几何应用一、引言本文在总结前人的经验和方法的基础上，通过使用定积分的方法和思想，得出了在 直角坐标系和极坐标系情况下，平面图形的面积、旋转体体积、光滑曲线的弧长和旋转 曲面的面积的求解方法。（一）定积分的历史十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分 别在英国和德国独自研究并完成了微积分的创立工作，微积分学不仅成了推动近代数学 发展强大的引擎，而且同时也极大地推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、 经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。而定积分思想是微积分学 的重要组成部分，在现代科学领域有着广泛的应用。定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经能看出端倪。在国外，古希腊时期阿基 米德在公元前240年前后，就曾用求和的方法计算过抛物线、弓形及其他图形的面积。在 国内，公元263年我国刘徽提出的割圆术,也是同一思想。在历史上，积分观念的形成比 微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前，有关定积分的种种研究成果还是孤 立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿-莱布尼茨公式建立以后,计算问 题得以解决,定积分才迅速建立发展起来。牛顿和莱布尼茨对微积分的创建都作出了巨大 的贡献，但两人的方法和途径是不同的。牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究 微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分析学方法引进微积 分要领的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深;但莱布尼兹的表达形 式简洁准确，胜过牛顿。在对微积分具体内容的研究上，牛顿先有导数概念，后有积分概念; 莱布尼兹则先有积分概念,后有导数概念。虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异， 但殊途同归。各自独立地完成了创建微积分的盛业，荣耀应由他们两人共享。定积分概念的理论基础是极限。人类得到比较明晰的极限概念，花了大约2000年的 时间。在牛顿和莱布尼茨的时代,极限概念仍不明确。因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分 的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个 半世纪的争论，并引发了第二次学危机。经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别 是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义， 极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础。（二）定积分思想的意义定积分不仅是一种方法，又是一种基本思想。定积分的思想即化整为零、近似代替、 积零为整、取极限。定积分这种求和的极限的思想在高等数学、物理、工程技术、其他 的科学领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分 中求和的极限的数学结构是一样的，通过对曲边梯形的面积、变速直线动的路程等实际问 题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为 离散等过程,使定积分的概念逐步发展建立起来。可以说，定积分最重要的功能是为我们 研究某些问题提供一种思想方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散 的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等。定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学 史上，而且是科学思想史上的重要里程碑定积分思想，是人类智慧的可贵结晶，已成为人 类文明中的瑰宝。定积分既是一种求值的高级运算方法，又是定义函数的一种工具。例如，连续函数 的变上限积分是其的一个原函数，当有些函数的原函数不是初等函数时，例如，求正弦曲 线、椭圆弧长等所遇到的椭圆积分就不是初等函数，这时，我们就把这个积分本身,作为新 函数的定义，以此为出发点来研究这个函数。有时，积分本身是我们熟悉的函数，也可以这 样做，这也开阔了思路,增加了原来函数的一个等价定义。二、定积分与微元法(一)定积分的定义任何一个数学概念，都具有抽象性、精确性、应用广泛性。数学生命力的源泉在于它 的概念和结论尽管极为抽象，现代教科书中有关定积分的定义是由黎曼给出的。设闭区间a, b上有(n -1)个点，依次为a = x x < x <.< x < x = b把区间a, b0 < 12n-1n ，分成n个小区间广七-)，(,JIZ,./)，这些分点或这些闭子区间构成对a, b的一个分割，记为T = x x,.,x 或T = ,，小区间的长度为x = x - x，并记 0, 1 n1 2 nii ii-1T11= maxUx， (1 < i < n)，在各小区间上任取一点&. ,( E 6x)， (i = 1,2,.,n)，并作和式S =咒f (Ei么土，如果不论对a,b怎样的分法，也不论在小区间上,xj上点匕怎 i=1样的取法，只要当ITII - 0时，和s总趋于确定的极限/，我们称函数f (x)在区间a,b上可积，极限/称为函数f (x)在区间a,b上的定积分，记为Ib f (x)dx = / = lim 云 f (E )ax aT LoI =1(二)微元法的原理定积分的几何应用问题普遍具有一个固定的模式，即求与某个区间a,b上的变量 f (x)有关的量，这个量可以是面积，体积，弧长等，即二(x) x G a, b。在任意小区间(x,x + dx)包含于a,b上，把的微小增量近似的表示为q的线 性形式 f (x )a x，其中f (x)为某一连续函数，而且当 靠L 0时-f (x )a x = 0即 d=f (x)ax,因此定积分I f (x)dx即为该问题所求的值。采用微元法时需注意两点1.所求量关于分布区间必须是代数可加的，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和。2. 的近似值可表示为f (g.)a， 匕，子11 j I J，、目 - 、.I口J*，小量。(三) 微元法的步骤1 .根据问题的具体情况，选取一个变量。例如x为积分变量，并确定其变化区间 a, b；2 .在区间a, b内任取一个小区间x, x + dx ,求出相应于这个小区间的部分量AQ的 近似值.如果AQ能近似地表示为a,b上的一个连续函数在x处的值f (x)与dx的乘积， 就把f (x)dx称为量Q的微元且记作，即dQ = f (x)dx3. 以所求量Q的微元f (x) dx为被积表达式，在区间a, b上作定积分，得Q =b f (x) dxa三、平面图形的面积图1(一)直角坐标系情形1.设函数y = f (x), y = g(x)在区间a,b上为连续函数且f (x) > g(x)(图1)，则所围阴影面积A有：面积微元 dA = f (x) - g(x)dx面积Ab f (x) -g(x)dxa图2(图3)2.设函数x=w (y), x =。(y)在区间c,d上为连续函数且W(y) >。(y)(图2)则所围阴影面积A有：面积微元 dA = w (y)-0(y) dy面积 A = Jb f (x) -g(x)dy a例一：求由y2 = 2x,y = x-4 所围图形的面积解：两曲线的交点为(2, -2)，(8, 4)。根据此图形特点，可以选择y作为积分变量，其 变化区间为-2, 4。图形的面积微元为：dA = (y + 4-y 2)dy2从而可得图形面积A = j4 (y + 4-2y2)dy =(号 + 4y-)1-2 = 183.一般地：如果曲边梯形的曲边为参数方程；* = "")y =w (t)曲边梯形的面积A = j叩(t)“(t)dt.，t其中t,t对应曲线起点与终点的参数值，在t,t 上1 21 2X = e (t)具有连续导数，y =W (t)连续。例二：求椭圆丑+兰=1的面积(图4) a 2 b 2解：椭圆的参数方程I x=acos ty = b sin t由对称性知总面积等于4倍的第一象限部分面积A = 4a ydx = 40 b sin td (a cos t) = 4ab j 2 sin2 tdt =兀 ab0 ? 0(二) 极坐标系情形1.曲边扇形(图5)设图形由曲线r=r (0)及射线0=a, 0=P所围成其中r (0) 在a,0上连续，且r (0)>0,取0为积分变量,其变化区间为 a, p,相应于0, 0+d0的面积微元为dA = ir(0)2d02则图形面积为A = jp !r (0 )2d0 a 22.一般图形(图6)图3图50由曲线r = r (0), r = r2 (0)及射线0=a, 0=p所围图形的面积微元为dA = 1r 2(9) - r 2(9 )的2 11则面积为 A = fp 1 r 2(9)-r2(9 )d9a 2 21例三：求心形线r = a(1+ cos9 )所围平面图形的面积(1 > 0 )(图7)解：dA = 2a2(1+ cos9)2d9利用对称性知 A = 2 - 2 a 2" (1+ cos 9 )2 d9=a2 户(1+ 2cos 9 + cos2 9)d903八 1 一=a 2 9 + 2sin 9 + sin 2924四、体积(一)平行截面面积为已知的立体的体积设立体介于x = a,x = b之间，A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积.(如图)取x为积分变量,其变化范围为a,b.(图8)体积微元为dV = A( x)dx图7图8则体积为 V = j bA(x)dxa例四：一平面经过半径为A的圆柱体的底圆中心，并与底 面交成角a，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.(图9)解：取坐标系如图，底圆方程为x2 + y2 = R2垂直于x轴的截面为直角三角形41截面面积 A(x) = (R2 - x2) tan a ,2立体体积 V = . R (R2 一 x2) tan adx = R3 tan a.2 - r3(二)旋转体体积平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体.1.设旋转体绕x轴形成.(图10)则如前所述，可求得截面面积A(x) =n 产=nf (x)2,则 V = jb丸f (x)2dxa2.设旋转体绕y轴形成.(图10)同理，可得体积为 V = j d丸顿y )2 dyc或者当e (y)不易求时可使用柱壳法：取x为积分变量，其变化范围为a,b.在。,引内任取区间微元x,x + dx，在x,x + dx上任取一点&,这样以dx为底，图10f (E )为高的小曲边梯形绕y轴所产生的环形薄片的体积 idV =, = 2丸 Jx+dx f (E )dx i i x因此旋转体体积为 V = 2兀Jbxf (x)dxa例五：求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积.解：可求得过点O及P(h,r)的直线方程为y = rx (图11)h很uh/丸r2x 丸r2la得 V = J h 丸(_x) dx =h =0 h3h2 o 3例六 求圆心在(b,0),半径为a(b>a)的圆绕y轴旋转而 成的环状体的体积.图11解:圆的方程为(x-b)2 + y2 = a2 (图12)则所求体积可视为分别与直线y = a, y = a及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差.则图12x = b + 寸a 2 y 2, x = b 侦 a 2 y 2V = Ja 丸(b +-av;a2 - y2 )2 dy - Ja 丸(b - ：a2 - y2 )2dy-ay ， a2. y、1=8兀 b( v'a2 一 y2 +一 arcsin)a = 2*2 a 02 兀 2 a 2b3.设旋转体绕平面直线y = kx,( k丰0,k丰s)形成 (图 13)取x为积分变量，其变化范围为a,用.在a,b内任取区间微元x,x + dx，则过点(x, f (x)和(工+ dx, f (x + dx)作y = fcx的垂线，交y = kx于点P, P，记PP 3 ,在x, x + dx上任取一点& ,点Q (& , f(&)到y = kx的距离记为r ,1212ii i这样以M为底，r为高的小曲边梯形绕y = kx所产生的体积微元dV = V=兀J x+、2 dtx其中，r =住二也，记OP三，<1 + k 2则：阵园一阿|=*2+眺)2一1dt = t =1 + kf '(& )dxv1 + k 2 i曲线绕平面直线y = kx,(k莉,k丰3)形成的旋转体体积为V =兀J"2dta=w kx3：)2 .= h+kf -(x) dxJb kx - f (x)2 |j + kf'(x)dx (1+ k 2)32 a例七：求函数y = x2 + 4,(0 < x < 1)绕直线y = 4x旋转所成旋转体的体积.解： V =J 1(4x - x2 - 4)2(1+ 4 x 2x)dx =竺兀(1+ 42)23 015 x 17234.设旋转体绕平面直线y - y0 = k(x- x0),(k莉,k更3)形成令 y - y = y ,x - x = x，则曲线方程变为 y = f (x + x ) - y ,x e a - x ,b - x ， 从0101110010 o而同理得旋转体体积 V = -Jb(kx-kx ) - (f (x) - y )211 + kf x)dx (1+ k 2)32 a00图14五、光滑曲线的弧长(一)设光滑曲线方程：y = f (x),(a < x < b)(图14)取x积分变量，变化区间为a, b . a, b内任意小 区间x,x + dx的一段弧长可用相应的切线段近似代替即s r 顼(dx)2 + (dy)2 =顼1+ yf2dx则弧长微元(弧微分)ds = (1+ y2dx故弧长为s = Jb <1+ yf2 dxa(二)若曲线方程由参数方程：x=°"),(a<t<P)则如前所述： y =w (t)弧长微元 ds = i(dx)2+( dy )2 =g'2(t) +w'2(t) dt故弧长为s =。3'2(t) +"2(t)dta(三) 若曲线方程由极坐标系方程:r二r(9) (a<0<p).表示x = r Kg 9，( a< t")y = r (9 )sin 9则 s = J° (02(t) +"2(t)dt = f ：'r2(9) + r2(9)d9 aa222例八：求星形线x3 + y3 = a3 (a > 0)的弧长(图15)f一，解：星形线的参数方程为Jx = a cos31.(0 < t < 2丸) y = a sin31根据对称性 s = 4 S = 4 J：J (x，)2 +(y，)2 dt =4 j 2 3a sin t cos tdt = 6a.例九：求阿基米德螺线r = a (a >0)上相应于9从0到2丸的弧长. s = f /r2(9) + r'2(9)d9 a=f2"'a 29 2 + a 2 d90解：、r ' = a,=af2丸布并1 d9=a 2兀 J1 + 4兀 2 + ln(2兀 + J1 + 4兀 2)2 L六、旋转曲面的面积设平面光滑曲线y = f (x), xe a,b(f (x) >0),取积分变量为x , x e a,b,在a,b 上任取小区间尤,X + dx，通过x轴上的点x与dx分别做垂直于x轴的平面，它们在旋转 曲面上截下一条狭带，当dx很小时，狭带的面积近似于一圆台的侧面积，取面积元素 dS = 2兀f (x.;1 + f '2(x)dx，则旋转曲面面积为S = 2兀bf (xT+f '2 (x)dxa若曲线由参数方程I* = x(t)，t e a，3 y (t) > 0定义，面积元素y = y (t)dS = 2兀 y(tx' 2(t) + y' 2(t)dt，则旋转曲面面积为 S = 2兀 j。y(t：'x, 2(t) + y, 2(t)dt a若曲线由极坐标系方程；x '(?)cos?定义，x' 2(0) + y'2(0) = r2(0) + r'2(0)，则旋转 y = r (0 )sin 0曲面的面积 S = 2兀 j。r(0)sln 0 疽r2(0) + r '2(6)d0 a例十：求半径为R的球面面积。解：球面可看作由半圆y =、RF (-R < x < R)绕x轴旋转而成，于是A = 2兀 j R(R2 - x2 - '1 + x2 dx = 4兀 R2-rX R 2 - x 2例十一：求摆线Ix = a(t-洒t) (0 < t < 2兀)绕x轴旋转一周所得旋转体的表面积y = a(1- cos t)解：A = 2兀 j2%(1-cos t) <x '2(t) + y' 2(t)dt 0=2兀 j 质2a2(1-cost) sin 0264 9=兀a 23参考文献：【1】李锐、项海容：基于两期生命周期模型的农户金融行为的计量分析，管理世界2006年 第 9 期，123-126.【2】秦雅倩、周小伟：农村居民耐用消费品购买策略模型，贵州农业科学2009年第3 期，123-126.【3】杭斌：习惯形成下的农户缓冲储备行为，经济研究2009年第1期。，123-126.【4】杭斌、申春兰中国农户预防性储蓄行为的实证研究，中国农村经济2005年第3 期，123-126.致i射：首先，我要衷心地感谢我的指导教授老师，感谢他对我的耐心指导，从我的论文选题、论文写作的各个阶段，恩师都给予了我很大的帮助。 其次我要感谢XX/XX同学，他们既是我的同学，又是我的挚友，大家生活上 互相关心、互相帮助，学业上互相鼓励、共同进步，我们相处得非常愉快。 我始终感到，能与这些优秀的同学共同学习，是我今生的荣幸。最后，感谢 各位评审专家百忙中评审本论文，并提出宝贵意见！