两角和、差的正弦、余弦和正切公式.ppt

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式,1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式,【即时应用】(1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“”或“”)cos15=cos(45-30)=cos45-cos30()sin15=sin(45-30)=cos45sin30-sin45cos30()cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45()cos15=cos(60-45)=cos60cos45-sin60sin45(),(2)计算sin72cos18+cos72sin18=_.(3)计算cos72cos12+sin72sin12=_.,【解析】(1)cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30,故错误；sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30，故错误;正确，cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45,故错误.(2)原式=sin(72+18)=sin90=1.(3)原式=cos(72-12)=cos60=.答案：(1)(2)1(3),2.二倍角的正弦、余弦、正切公式,【即时应用】(1)思考：二倍角公式tan2=中对任意的都成立吗？提示：不一定,当k+2k+(kZ)时，公式成立.(2)sin15cos15的值等于_.【解析】sin15cos15=2sin15cos15=sin30=答案：,(3)若tan=则tan2=_.【解析】答案：,热点考向 1 三角函数的化简【方法点睛】三角函数化简的技巧、方法和要求(1)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；(2)正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；(3)一些常规技巧：“1”的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等,(4)三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化(5)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.,【提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2,形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”.,【例1】化简下列各式：【解题指南】(1)若注意到化简式是开平方根和2是的二倍，是 的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；(2)由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点.,【规范解答】(1)因为 2,所以=|cos|=cos,又因为所以所以，原式=,答案：(1)(2)1,【互动探究】把本例中的(2)改为【解析】原式=答案：,【反思感悟】1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意2,+,-三个角的内在联系，cos2=sin(2)=2sin()cos()是常用的三角变换.2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧.3.常用的公式变形：,【变式备选】不查表求sin220+cos280+sin20cos80的值.【解析】sin220+cos280+sin20cos80=(1cos40)+(1+cos160)+sin20cos80=1 cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1 cos40+(cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20),热点考向 2 三角函数的求值【方法点睛】三角函数的求值主要有两种类型，即给角求值，给值求值.(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数.(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.,【例2】若 的值.【解题指南】本题可以利用 的变换，同时要注意x的范围和符号，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用 的变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解.,【规范解答】方法一：由,【反思感悟】1.此题若将 的左边展开成 再求cosx,sinx的值就很繁琐，把 作为整体，并注意角的变换 这样就可运用二倍角公式.化难为易，化繁为简是三角恒等变换的关键.2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.,【变式训练】(2012山东高考)若,sin2=则sin=()【解析】选D.由于，则2,，所以cos20.因为sin2=所以又cos2=1-2sin2，所以,【变式备选】已知 求sin(+)的值.【解析】又,sin(+)=-sin+(+),热点考向 3 三角函数的给值求角【方法点睛】1.三角函数的给值求角问题的一般思路(1)求出该角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出角.,2.三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时,尽量选择在该角所在范围内是单调的函数，这样,由三角函数值才可以唯一确定角.(1)若角的范围是(0,),选正、余弦皆可;(2)若角的范围是(0,),选余弦较好;(3)若角的范围为 则选正弦.,【例3】已知cos=(1)求tan2的值；(2)求.【解题指南】(1)利用同角三角函数关系式求出sin,tan,再求出tan2；(2)把写成-(-)，根据已知条件求出的正弦，-的正弦，求出cos，根据范围确定角.,【规范解答】(1)由,(2)由由=-(-),得cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-),【反思感悟】根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinBcosAsinAcosB两端同除以cosAcosB得tanB=tanA等变化技巧也经常用到.,【变式训练】已知、均为锐角，求+的值.【解析】,热点考向 4 三角函数的综合应用【方法点睛】三角函数公式和三角函数性质的关系(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为y=Asin(x+)的形式,再进一步探讨定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.(2)注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主要考查基本运算能力,【例4】已知函数f(x)=2sin(-x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.【解题指南】先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换，再求三角函数的性质.,【规范解答】(1)f(x)=2sin(-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,函数f(x)的最小正周期为.(2)由f(x)在区间 上的最大值为1，最小值为,【反思感悟】利用三角函数公式进行三角恒等变形，要求熟练掌握公式和变换技巧，强化运算能力.以基本三角函数的性质为基础求y=Asin(x+)的性质，有时给出角的范围时要注意x+的范围的变化.,【变式训练】(2013三明模拟)已知函数f(x)=(1)求f(x)的最小正周期.(2)若将f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.,【解析】(1)f(x)=sin(x+)+sin x=cos x+sin x=2(sin x+cos x)=2sin(x+),所以f(x)的最小正周期为2.(2)将f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数g(x)的图象.g(x)=f(x-)=2sin(x-)+=2sin(x+),x0,时，x+,当x+=，即x=时，sin(x+)=1,g(x)取得最大值2.当x+=,即x=时,sin(x+)=-,g(x)取得最小值-1.,【变式备选】已知函数(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间 上的值域.,【解析】(1)f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)sin(x+)=cos2x+sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin(2x-),周期T=,由函数图象的对称轴方程为(kZ).,(2)f(x)=sin(2x-)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，当x=时，f(x)取最大值1.又当 时，f(x)取最小值函数f(x)在区间 上的值域为,1.(2011福建高考)若tan=3，则 的值等于()(A)2(B)3(C)4(D)6【解析】选D.的值等于6.,2.(2011福建高考)若(0，)，且sin2+cos2=则tan的值等于()【解析】选D.sin2+cos2=sin2+(1-2sin2)=sin2=又(0,),sin=cos=,3.(2012重庆高考)设tan,tan是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(+)的值为()(A)-3(B)-1(C)1(D)3【解析】选A.由根与系数的关系可知tan+tan=3,tantan=2,4.(2013漳州模拟)已知tan=2,则=()【解析】选C.,5.(2013南平模拟)已知tan(x+)=2,则 的值为_.【解析】由tan(x+)=2,可得答案：,