两种基本积分法.ppt

,二、分部积分法,一、换元积分法,两种基本积分法,第二类换元法,基本思路,第一类换元法,设,可导,则有,第一类换元法,1.不定积分的换元法则(I),定理3.1,(也称配元法,凑微分法),即,值域含于f 的定义域，则,有连续的导数，且,例1.求,解:令,则,故,原式=,注:当,时,注意换回原变量,例2.求,解:,令,则,想到公式,例3.求,想到,解:,(直接配元),例4.求,解:,类似,例5.求,解:,原式=,例6.求,解:原式=,例7.求,解:,例8.求,解:原式=,例9.求,解:原式=,例10 求,解法1,解法2,两法结果一样,例11.求,解法1,解法 2,同样可证,或,例12.求,解:原式=,例13.求,解:,例14.求,解:,原式=,例15.求,解:原式=,分析:,例16.求,解:原式,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?,2.求,提示:,法1,法2,法3,作业,不定积分的换元法则II,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,定理3.2 设,是连续函数,有连续的导数，且,证:,则,例1.求,解:令,则,原式,例2.求,解:令,则,原式,例3.求,解:,令,则,原式,令,于是,说明:,1.被积函数含有,除采用三角,采用双曲代换,消去根式,所得结果一致.,或,代换外,还可利用公式,2.两个常用双曲函数积分公式,例4.求,解:令,则,原式,例5.求,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式,令,原式,例6.求,解:令,则,原式,当 x 0 时,类似可得同样结果.,小结:,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,2.常用基本积分公式的补充,7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,令,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t 的有理函数的积分,三角函数有理式的积分,则,例7.求,解:令,则,3.定积分的换元法,定理3.3 设函数,单值函数,满足:,1),2)在,上,证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,是,的原函数,因此有,则,则,说明:,1)当,即区间换为,定理 1 仍成立.,2)必须注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.,3)换元公式也可反过来使用,即,或配元,配元不换限,例1.计算,解:令,则,原式=,且,例2 计算,解,例3.,证:,(1)若,(2)若,偶倍奇零,证,（1）设,（2）设,