两直线相互关系、多元函数极限连续.ppt

回忆：,空间平面方程：,1.点法式方程,2.三点式方程,3.截距式方程,4.一般方程,三个条件确定一张平面,5.两平面夹角余弦公式：,6.点到平面距离公式：,空间直线方程：,1.一般方程,2.对称式方程,3.空间直线的参数方程,4.空间直线的两点式方程,注：直线的四种方程本质上都是由两个平面方程联立得到，四种方程之间可以相互转化。,例1 将下面直线的一般方程化为对称式方程、参数方程及两 点式方程。,例2 一直线过点A(2,-3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程。,解,所以交点为B(0,-3,0),因为直线与y轴垂直相交，,由两点式写出方程。,定义 两直线的方向向量的夹角称为两直线间的夹角（锐角）。,L1:,两直线的夹角公式,二、两直线间的相互位置关系,1.两直线间的夹角,L2:,2.两直线的位置关系：,例3 判定下列直线间的位置关系。,（1）,和,（2）,和,（1）,和,平行,垂直,定义,直线L和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线L与平面的夹角。,四、直线与平面的相互关系,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,例4 求过点(-3,2,5)且垂直于平面2x-y-5z=1的直线方程。,解,例5 求过点(-3,2,5)且与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行的 直线方程。,解,解,作过点M且与直线L垂直的平面：,令,例6 求过点M(2,1,3)且与直线L：垂直相交的 直线方程。,关键：求出交点坐标,M(2,1,3),代入平面方程得，,求得交点,所求直线方程为,L,解,课堂练习,课堂练习解答,课堂练习,课堂练习解答,直线与坐标面xoy、yoz都平行,则直线方程应为：,故当m=0、n0、p=6 时结论成立。,课堂练习另解,且有,故当m=0、n0、p=6 时结论成立。,第八章 多元函数,一、平面点集、n维空间,1.平面点集、邻域、内点、开集、边界点、边界、闭集、连通,连通的开集称为区域或开区域。,第一节多元函数基本概念,例如：,例如：,开区域连同它的边界一起称为闭区域。,有界集、无界集,无界开区域。,例如：,聚点,2.n 维空间、n 维空间中两点间距离公式、n 维空间中邻域等,n元函数,二元函数,例 求 的定义域。,求定义域,解,二、多元函数的概念,二元函数的图形通常是一张曲面,几何意义,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,三、多元函数的极限,例2 求证,证明,定义（略）,例3 求极限,解,例4 求,解：,又,此函数定义域不包括 x,y 轴,例5 讨论函数,在(0,0)的连续性。,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在。,故函数在(0,0)处不连续。,四、多元函数的连续性,确定多元函数极限不存在的方法：,又如,函数,上间断。,在圆周,例6 证明 不存在。,证明,令,其值随k的不同而变化，,故极限不存在。,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次。,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次。,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,例7,解,多元复合函数，多元初等函数,结论:一切多元初等函数在定义区域内连续。,例8 求函数,的连续域。,解：,