两条直线的位置关系、复习.ppt

要点梳理1.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为 k1,k2,则有l1l2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2.,9.2 两条直线的位置关系,k1=k2,平行,基础知识 自主学习,(2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1l2k1k2=-1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜 率不存在时，两直线垂直.2.两直线相交 交点：直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的 公共点的坐标与方程组 的解一一对应.相交方程组有，交点坐标就是方程组 的解；平行方程组；重合方程组有.,唯一解,无解,无数个解,3.三种距离公式（1）点A（x1，y1）、B（x2，y2）间的距离:|AB|=.（2）点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离:d=.（3）两平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0（C1C2）间的距离为d=.,基础自测1.（2008全国文，3）原点到直线x+2y-5=0的 距离为（）A.1 B.C.2 D.解析,D,2.（2008福建文，2）“a=1”是“直线x+y=0和 直线x-ay=0互相垂直”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a=1时,直线x+y=0与直线x-y=0垂直成立；当直线x+y=0与直线x-ay=0垂直时，a=1.所以“a=1”是“直线x+y=0与直线x-ay=0互相 垂直”的充要条件.,C,3.一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个 端点是A（2，1），则它的另一个端点B的坐标 是（）A.（-3，1）或（7，1）B.（2，-3）或（2，7）C.（-3，1）或（5，1）D.（2，-3）或（2，5）解析 设B（x，1），则由|AB|=5，得（x-2）2=25，x=7或x=-3.B点坐标为（7，1）或（-3，1）.,A,4.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点 A（3，2）、B（a，-1），且l1与l垂直，直 线l2:2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于（）A.-4 B.-2 C.0 D.2 解析 l的斜率为-1，则l1的斜率为1,kAB=1,a=0.由l1l2,b=-2,所以a+b=-2.,B,5.已知l1的倾斜角为45，l2经过点P（-2，-1），Q（3，m），若l1l2，则实数m=.解析 由已知得l1的斜率k1=1,l2的斜率k2=.l1l2，k1k2=-1.,-6,题型一 两条直线的平行与垂直【例1】已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标.（1）MOP=OPN（O是坐标原点）；（2）MPN是直角.MOP=OPNOMPN，MPN是直角MPNP，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 设P（x，0），（1）MOP=OPN，OMNP.kOM=kNP.又kOM=1，x=7，即P（7，0）.（2）MPN=90，MPNP，kMPkNP=-1.又kMP=（x2），kNP=（x5），=-1，解得x=1或x=6,即P（1，0）或（6，0）.,探究提高（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2,l1l2 k1=k2,l1l2 k1k2=-1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.（2）注意转化与化归思想的应用.,知能迁移1 已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.解 设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0，kABkBC=0-1，即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.,（1）若CD是直角梯形的直角边，则BCCD，ADCD，kBC=0，CD的斜率不存在，从而有x=3.又kAD=kBC，=0，即y=3.此时AB与CD不平行.故所求点D的坐标为（3，3）.（2）若AD是直角梯形的直角边，则ADAB，ADCD，kAD=，kCD=.由于ADAB，3=-1.又ABCD，=3.,解上述两式可得 此时AD与BC不平行.故所求点D的坐标为综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或,题型二 两直线的交点【例2】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解.解 方法一 先解方程组得l1、l2的交点（-1，2），再由l3的斜率 求出l的斜率为-，于是由直线的点斜式方程求出l:即5x+3y-1=0.,思维启迪,方法二 由于ll3，故l是直线系5x+3y+C=0中的一条，而l过l1、l2的交点（-1，2），故5（-1）+32+C=0，由此求出C=-1，故l的方程为5x+3y-1=0.方法三 由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x+2y-1+（5x+2y+1）=0中的一条，将其整理，得（3+5）x+（2+2）y+（-1+）=0.其斜率 解得=，代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.,探究提高 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：（1）与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0（mR且mC）（2）与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0（mR）（3）过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=0（R），但不包括l2.,知能迁移2 过点P（3，0）作一直线l，使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程.解 方法一 当lx轴时，方程为x=3，此时A（3，4），B（3,-6）.线段AB的中点为（3,-1）不合题意，当l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k(x-3),将此方程分别与l1,l2的方程联立，,将此方程分别与l1,l2的方程联立，解之，得xA=和xB=P（3，0）是线段AB的中点，xA+xB=6，即 解得k=8.故所求的直线l为y=8(x-3),即8x-y-24=0.,方法二 设l1上的点A的坐标为（x1,y1）,P（3，0）是线段AB的中点，则l2上的点B的坐标为（6-x1,-y1）,解这个方程组，得点A的坐标为由两点式可得l的方程为8x-y-24=0.,题型三 距离公式的应用【例3】已知点P（2，-1）.（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.思维启迪,解（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，-1），可见，过P（2，-1）且垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在，其方程为x=2.若斜率存在，设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知，得=2，解得k=.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上，可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.,（2）作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由lOP，得klkOP=-1，所以由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过 的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.,探究提高（1）注意讨论斜率不存在的情况.（2）数形结合是解决解析几何问题特别要注意的一种思想方法.知能迁移3 已知三条直线l1：2x-y+a=0（a0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.(1)求a的值;(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件:P是第一象限的点;P点到l1的距离是P点到l2的距离的;P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.,解(1)l2即为2x-y-=0,l1与l2的距离a0,a=3.,(2)假设存在这样的P点.设点P(x0,y0),若P点满足条件,则P点在与l1、l2平行的直线l：2x-y+C=0上，且 即C=或C=，若P点满足条件，由点到直线的距离公式,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，x0-2y0+4=0或3x0+2=0；由于P点在第一象限，3x0+2=0不满足题意.联立方程联立方程假设成立，P 即为同时满足三个条件的点.,题型四 对称问题【例4】（12分）求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.转化为点关于直线的对称，利用方程组求解.解题示范解 方法一 由知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），2分设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.3分在直线l上任取一点（1，2），,思维启迪,由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，5分由点到直线的距离公式得 8分解得k=(k=2舍去)，10 分直线l2的方程为x-2y=0.12分方法二 设所求直线上一点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点 在直线l上.6分,变形得 8分代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2(y-1)+3,10分整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.12分,探究提高 对称问题是解析几何中的一个重要题型，是高考热点之一.两条曲线关于一条直线对称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决.求点P（x0,y0）关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q（x1,y1）的坐标，可利用PQl及线段PQ被l平分这两个条件建立方程组求解,本题方法二就是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题，这是解这类问题的一个通法.,知能迁移4 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直 线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线 方程.解 方法一 由 得 反射点M的坐标为（-1,2）.又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关 于直线l的对称点P(x0,y0)，由PPl可 知,kPP=-=,而PP的中点Q的坐标为Q点在l上，3-2+7=0.由根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.,方法二 设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P(x,y),则 又PP的中点 在l上，,可得P点的坐标为代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,所以所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.,方法与技巧1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对 于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1l2k1=k2；l1l2 k1k2=-1.若有一条直线的斜率不 存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别 注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点 的对称.利用坐标转移法.,失误与防范 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线 的斜率是否存在.两条直线都有斜率，可根据判 定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑.,思想方法 感悟提高,一、选择题1.若点（5，b）在两条平行直线6x-8y+1=0与 3x-4y+5=0之间，则整数b的值为（）A.5 B.-5 C.4 D.-4 解析 把x=5代入6x-8y+1=0得y=，把x=5代入3x-4y+5=0得y=5,b5.又b为整数，b=4.,定时检测,C,2.光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为（）A.y=3x-3 B.y=-3x+3 C.y=-3x-3 D.y=3x+3 解析 点M关于x轴的对称点M(2,-3)，则反 射光线即在直线NM上，y=-3x+3.,B,3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为（）A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 解析 令y=4x3=4,得x=1,切点为（1，1），l的斜率为4.故l的方程为y-1=4(x-1)，即4x-y-3=0.,A,4.光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上,被y=x反射后的 光线所在的直线方程为（）A.B.C.D.解析 由 即直线过点（-1，-1）.又直线y=2x+1上一点（0，1）关于直线y=x对称 的点（1，0）在所求直线上，所求直线方程为,B,5.已知直线l过点P(3,4)且与点A（-2,2）,B(4,-2)等距离,则直线l的方程为（）A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0 D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0 解析 设所求直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由已知，得 k=2或k=-.所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.,D,6.已知直线l1,l2的方程分别为 x+ay+b=0,x+cy+d=0，其图象如图所示，则有（）A.ac0 B.ac C.bd0 D.bd 解析 直线方程化为 l1：y=-x-，l2：y=-x-.由图象知，-0,-0-,ac0,b0,d 0.,C,二、填空题7.过点A（2，-3），且与向量m=（4，-3）垂直的 直线方程是.解析 与向量平行的直线斜率为-，则与其 垂直的直线斜率为.直线方程为 y+3=(x-2),即4x-3y-17=0.,4x-3y-17=0,8.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则 l1l2的充要条件是a=.解析,-1,得a=-1.,9.从点（2，3）射出的光线沿与直线x-2y=0平行的 直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线 方程为.解析 由题意得，射出的光线方程为y-3=即x-2y+4=0，与y轴交点为（0，2），又（2，3）关于y轴对称点为（-2，3），反射光线所在直线过（0，2），（-2，3），故方程为 即x+2y-4=0.,x+2y-4=0,三、解答题10.已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求满足下列条 件的直线l的方程.（1）l与l平行且过点（-1，3）；（2）l与l垂直且l与两坐标轴围成的三角形面 积为4；（3）l是l绕原点旋转180而得到的直线.解（1）直线l:3x+4y-12=0，kl=-，又ll,kl=kl=-.直线l:y=-(x+1)+3,即3x+4y-9=0.,（2）ll,kl=.设l与x轴截距为b,则l与y轴截距为 b,由题意可知，S=|b|=4，b=.直线l:（3）l是l绕原点旋转180而得到的直线，l与l关于原点对称.任取点（x0,y0）在l上，则在l上对称点为（x,y）.x=-x0，y=-y0,则-3x-4y-12=0.l为3x+4y+12=0.,11.已知两直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.求分别满足下列条件的a,b的值.（1）直线l1过点（-3，-1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1,l2的 距离相等.解（1）l1l2，a（a-1）+（-b）1=0，即a2-a-b=0.又点（-3，-1）在l1上，-3a+b+4=0 由得a=2,b=2.,(2)l1l2，=1-a，b=，故l1和l2的方程可分别表示为：(a-1)x+y+=0,(a-1)x+y+=0,又原点到l1与l2的距离相等，a=2或a=,a=2,b=-2或a=,b=2.,12.光线通过点A（-2，4），经直线l:2x-y-7=0反 射，若反射光线通过点B（5，8）.求入射光线 和反射光线所在直线的方程.解 如图所示，已知直线l:2x-y-7=0,设光线AC经l上点C反射为 BC，则1=2.再设A关于l的对称点为 A(a,b),则1=3.2=3，则B，C，A三点共线.,AAl且AA中点在l上，解得a=10,b=-2,即(10,-2).AB的方程为y+2=(x-10)，即2x+y-18=0.AB与l的交点为C 入射光线AC的方程为 即2x-11y+48=0.入射光线方程为2x-11y+48=0,反射光线方程为2x+y-18=0.,返回,