两个基本计数原理二.ppt
1.1 两个基本计数原理（二）,什么是分类计数原理？,什么是分步计数原理？,应用这两个原理时应注意什么问题？,分类计数原理（加法原理）做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。,分步计数原理（乘法原理）做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn种不同的方法。,分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类方式”，即每种方式都可以独立地完成这件事。进行分类时，要求各类方式彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以。,分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。,2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,解:从总体上看由A到B的通电线路可分三类,第一类,m1=3 条 第二类,m2=1 条 第三类,m3=22=4,条 所以,根据分类计数原理,从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。,当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。,.,A,B,A,B,m1,m1,m2,m2,mn,mn,点评:我们可以把分类计数原理看成“并联电路”;分步计数原理看成“串联电路”。如图:,如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从它的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？,课堂练习3,解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法 从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=12=2 条 第二类,m2=12=2 条 第三类,m3=12=2 条根据分类计数原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有 N=2+2+2=6 条。,4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？,甲地,乙地,丙地,丁地,解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以 m1=23=6 种不同的走法;第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以 m2=42=8 种不同的走法;所以从甲地到丙地共有 N=6+8=14 种不同的走法。,例1、某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各一人，有多少种不同的选法？,例2、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？,提示：对于有些较“复杂”的问题，往往不是单纯的“分类”、“分步”就可解决的，而往往将两者结合使用，一般是先“分类”，再在每一类中进行“分步”。,例3、为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的密码共有多少个？（3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一个。这样的密码共有多少个？,排数字问题,例4 用0,1,2,3,4,5这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数?(3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的四位数?,升华发展,（1993年全国高考题）同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有()A6种B9种C11种D23种,变式:,问题拓展:,(1)若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?,(2)集合 A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4从 A、B 中各取1个元素作为点P(x,y)的坐标（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？,(3)、某赛季足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。一球队打完15场比赛积33分，若不考虑顺序，该队胜、平、负的情况共有（）（A）5种（B）4种（C）3种（D）6种,映射个数问题:,例5 设A=a,b,c,d,B=x,y,z,从A到B共有多少种不同的映射?变式:(1)4个人分到3个车间,共有多少种分发?(2)4个人分工栽3棵树,每人只栽1棵,共有多少种不同方案?,（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？,（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军，共有多少种可能的结果？,(3)、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？,(4)、有n个元素的集合的子集共有多少个？,拓展:,(5)、自然数2520有多少个正约数？,课堂练习 1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,课堂练习 1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3 种,第二步,m2=2 种,第三步,m3=1 种,第四步,m4=1 种,所以根据分步计数原理,得到不同的涂色方案种数共有 N=3 2 11=6 种。,课堂练习 1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,问:若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？,答:它们的涂色方案种数分别是 0,4322=48,5433=180种等。,染色问题:,例6 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.(1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法?(2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n(1)(2),例7、（1）8张卡片上写着0,1,2,7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？,（2）4张卡片的正、反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在一起，共有多少个不同的三位数？,综合问题:,例8、在一块并排10垅的田地中，选择2垅分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垅，为有利于作物的生长，要求A、B两种 作物的间隔不于6垅，则不同的选垅方法有（）种,例9、书架上原来并排放着5本不同的书，现要插入三本不同的书，那么不同的插法有多少种？,
