高级微观经济学4需求理论.doc

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需求理论本章研究消费者个人需求和市场总需求的变化规律。对于消费者个人需求，主要讨论价格和收入的变化对需求的影响，尤其是要讨论收入效应和替代效应问题。对于市场总需求，主要讨论三个方面的问题：总需求是否还是价格和收入的函数？总需求能否揭示一种消费者偏好？总需求有什么社会福利意义？通过对这些问题的研究，总需求的性质和变化规律便可可得到揭示。本章的讨论仍在商品空间中进行，即假定市场上共有种可供选择的商品。第一节 集值映射集值映射是研究需求的基本工具，是经济学研究中发展起来的一套经济分析方法。上一章中讨论的预算集合同价格与收入之间的对应关系，以及需求集合同价格与收入之间的对应关系，都是集值映射的典型事例。所谓集值映射，是指集合与元素(点)之间的某种对应关系，或者说是一种取值为集合的映射。具体来说，设和是两个集合，如果对于种的任何一个元素，都有的一个子集与之对应，则这种对应关系就称为从到的集值映射，并记作。为了方便起见，今后我们把集值映射也简称作集映。对于这个概念，我们可作两个方面的理解。首先，通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个。其次，也可把集值映射这种多值映射看成是一种单值映射，即把看成是的幂集的元素，这样一来，就变成了从到的单值映射。因此，集值映射也可记作。 图4-1 集值映射的图像集值映射还可看作是乘积集合的子集。具体来讲，确定了的一个子集，这个子集称为集值映射的图像(如图4-1所示)。显然，不同集映的图像是不同的。集映确定以后，其图像也就唯一确定下来。反过来，只要图像得以确定，集映也就唯一确定了。因此，可把集映与其图像等同看待。对于集值映射，如果对任何，都有，则称为对应。所以，对应是取值为非空集合的集映，也是人们更为感兴趣的集值映射。在集值映射下，的子集的像集是指集合：定义设与都是拓扑空间，集映叫做：(1) 闭(紧、凸)集值的集映，如果对任何,都是的闭(紧、凸)子集；(2) 在点处上半连续，如果对于中任何包含的开集，都存在的邻域使得；(3) 上半连续的集映，如果对任何, 都在处上半连续；(4) 在点处下半连续，如果对中任何与相交的开集，都存在的邻域使得；(5) 下半连续的集映，如果对任何, 都在处下半连续；(6) 在点处连续，如果在点处既上半连续，又下半连续；(7) 连续的集映，如果对任何, 都在处连续；(8) 闭集映，如果的图像是积空间的闭子集；(9) 开集映，如果的图像是积空间的开子集。集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广，上半连续性说的是不会突然彭胀，下半连续性说的是不会突然收缩。关于的集映连续性，下面三个定理是基本的和重要的。定理1. 设和都是拓扑空间，且为Hausdorff空间。又设是闭集值的集映，且包含在的某紧子集当中。则上半连续的充分必要条件是为闭集映。定理2. 设是第一可数空间，是Hausdorff空间，是集映，为某个给定的点，在该点处的值是闭集，且存在的邻域使得包含在的某紧子集当中。则在处上半连续的充分必要条件是：对任何及任何序列和，当且时，。定理3. 设和是第一可数空间，是对应，为给定的点。则在处下半连续的充分必要条件是：对于任何及中任何收敛于的序列，存在中收敛于的序列满足。推论. 设和都是拓扑空间，且为Hausdorff空间，为闭集值的闭集映，为某个给定的点。如果存在的邻域使得包含在的某紧子集当中，则在处上半连续。这个推论直接从定理1得到，它比定理1可能更为有用。定理2和定理3分别是集值映射的上、下半连续性的极限形式，因而也是很有用的，为研究集值映射提供了极大的便利。第二节 需求的连续性根据消费最优化确定的需求，是由价格因素与收入因素共同决定的。当这两个因素发生变化时，需求自然会发生变化。需求变动的第一个规律，就是当价格和收入变化不大时，需求也不会发生很大的变化，即需求是随价格和收入连续变动的。一.预算的连续性预算的连续性是需求连续性的基础。没有预算的连续性，就很难保证当价格和收入的变化很小时，需求的变化也很小。因此，为了考察需求的变动规律，需要先来考察消费预算的变化规律。命题1. 设消费集合是商品空间的非空闭子集，则预算集映是闭对应。证明：预算集映是对应，这是明显的事实。以下来证明是闭集映，即证明的图像是的闭子集。为此，设为中的任一序列，且。为了证明是闭集，只需证明(即,也即)。事实上，从立即可知。在此式两边取极限即可得到：。故。命题2. 设消费集合是的下有界非空闭子集，则预算集映上半连续。证明：注意，预算对应是闭集值的闭集映。因此，可应用上一节中的推论来证明本命题。为此，设为任一给定的点。为了说明在点处的上半连续性，只需要找出的一个邻域，使得包含在的某个有界闭子集当中。的下有界性告诉我们，存在向量满足且对一切成立。令则是的邻域。令，其中定义如下：易见，是的有界闭子集(从而是紧子集)。我们指出：。事实上，对任何及，注意，我们有：由此可知，即，从而。这就证明了。既然任意给出，因此。的上半连续性得证。命题3. 设消费集合是的凸子集，则预算集映下半连续。证明：任意给定，我们来证明在处下半连续。注意，和都是第一可数空间，且是对应，因此可应用定理3来证明在处的下半连续性。为此，设且是中任一收敛于的序列。根据定理3，我们只需找到中收敛于的序列使得。显然，。我们按照和两种情形，分别来找这个序列。情形1: 此时，从及可知，存在自然数使得对一切成立。于是，对任何自然数, 当时，任意取定一点；当时，令。显然，且。情形2：此时，从知，存在满足。注意，因此，存在自然数使得和对一切成立。现在，对任何的自然数, 当时，任意取定一点；当时，令，其中。容易看出：(1) 对一切成立； (2) ；(3) 当时，且；(4) 当时，。可见，且。总之，不论是情形1还是情形2，我们都在中找到了某个收敛于的序列使得。于是，在处的下半连续性得证。既然是任意给定的，因此是上半连续的集映。命题2和命题3告诉我们：预算集映的连续性. 在假设HC下，预算集映是连续对应。这就是说，消费集合的非空下有界闭凸性既保证了消费预算不会随价格与收入变化而突然彭胀，又保证了消费预算不会随价格与收入的变化而突然收缩。二需求的连续性现在，我们考察需求的连续性问题。根据第三章第四节关于马歇尔需求的讨论可知，在连续的偏好下，需求集映是对应。实际上，需求集映还是闭集映，即下面命题所述。命题4. 设消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子集，偏好关系是连续的。则需求对应是闭集值的闭集映。证明：对于任何，是闭集这一事实是比较容易说明的，其依据是的闭性和中任何两个方案之间的误差异性。下面来证明是闭集映，即证明是的闭子集。为此，设是中的任一序列，并且收敛于某点。我们来证明，即欲证明，也即要证明且对一切成立。注意，并且预算对应上半连续(命题2)。因此，。再注意，预算对应还是下半连续的(命题3)。因此，对于任何的，都存在中的序列满足且。既然，因此。偏好的连续性保证了可在此式两边取极限，于是。这就说明，即。可见，是的闭子集。命题5(需求集映的连续性). 设消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子集，偏好关系是连续的。则需求对应上半连续。证明：由于命题4，我们可应用第一节中的推论来证明本命题。设任意给定。我们在证明命题2的时候，曾经找到了的一个邻域使得包含在的某个有界闭子集当中。由于，因此这个邻域也必然使得包含在的这个有界闭子集当中。既然是闭集值的闭集映，根据第一节中的推论便知在处上半连续。而是任意给定的，于是是上半连续的集映。命题5得证。从上一章的讨论可知，在连续的严格凸偏好假设下，理性消费者的需求映射得到了良好的定义(well defined)，即对于任何，需求向量是唯一确定的。不仅如此，从命题5可知需求映射(需求函数)还是连续的(即下面的命题6所述)。因此，只要价格与与收入的变化很小，需求的变化也就很小。命题6(需求映射的连续性). 在假设HC和假设HP下，需求映射是连续映射。第三节 需求的可微分性本节研究需求函数的可微分变化规律，即需求的变化率问题。我们的讨论将在假设HC和HP下进行，并且还要使用效用函数。事实上，需求函数的可微分性同效用函数的拟凹性关系密切，因此本节要进一步讨论效用函数的性质。这里，我们先假定效用函数服从假设HU并且严格拟凹。在这些假定下，消费者的需求向量由价格和收入唯一确定，这就唯一确定下来了消费者的需求映射。对于，。其中的便是商品的需求函数。对于，效用函数在处的二阶偏导数矩阵，称为在处的海森(Hessian)矩阵。在假设HU之下，海森矩阵是对称矩阵。今后，为了方便起见， 把在处的梯度记为。一效用函数的强拟凹性效用函数的拟凹性蕴含着海森矩阵具有某种良好性质，或者说，任何一点处的无差异曲面必然在该点处的切平面的上方。因此，从切平面上看，切点是效用函数在切平面上的最大值点，即切点是切平面上效用最大的点。这就是下面命题所述的事实。命题1. 设消费集合是商品空间的凸子集，效用函数是拟凹的，在处可微，且。对于任何，(1) 如果，那么；也即，如果，那么；(2) 如果, 那么；也即，如果，那么；(3) 进一步，当效用函数严格拟凹并且时，如果，那么；也即，如果，那么。证明：任意给定。(1) 设。的拟凹性保证了对一切成立，从而即，这就证明了(1)。(2) 设。既然，存在的邻域使得, 从而也存在使得。效用函数的拟凹性保证了，而的连续性又保证了存在的邻域（即以为中心的一个开球）使得且对于任何，都有。显然，我们可以在中选取一个符合下列条件的点：对每个，当时，；当时，。对于这样选定的点，从可知。既然，从(1)的结论可知，从而。注意，因此。而，于是。(2)得证。(3) 设严格拟凹，且。令。效用函数的严格拟凹性保证了，于是从(2)的结论可知。将代入此式即可得到，(3)得证。命题2. 设消费集合是的凸子集，效用函数拟凹，在点处二阶可微，并且。则对于任何，都有。这里，“”表示矩阵的转置运算，集合是无差异曲面在点处的切平面。证明：设是命题中给定的点，这意味着存在正实数满足，其中是以为中心、为半径的开球。现在，设是切平面上的任一点。如果，那么是明显的。以下设。于是，必然存在一个正实数，使得且。记，并对每个实数，令。显然，对于任何，都有成立，从而有成立（因为）。这说明，命题1(2)的条件得到满足，因此对一切成立。定义函数如下：。则从上面的讨论知，是在上的最大值点，而且在上二阶可微。根据函数最大值二阶必要条件可知，(这是因为，假如，那么便为的极小值，出现矛盾)。计算可知，结果，。命题得证。效用函数的拟凹性或严格拟凹性，都不足以保证需求函数的可微性。为了用微分法分析消费者需求的变动情况，需要把上述命题中得到的不等式换为严格不等式，即提出效用函数的强拟凹性概念。定义. 设效用函数严格拟凹，在内部二阶可微。叫做在点处强拟凹，是指且对任何,，都有。如果在内部的每个点处都是强拟凹的，则称是强拟凹的效用函数。效用函数的强拟凹性实际上只与消费者的偏好有关，而与二阶可微效用函数的具体选择无关。事实上，对于等价的效用函数与来说，从第三章第3节的讨论可知，存在严格递增可微函数满足：(1) 对任何,；(2) 对任何,。由此可知，(3) 对任何,。注意，且对于任何，。这说明，强拟凹当且仅当强拟凹。即强拟凹性与效用函数的具体选择无关，属于偏好关系本身的性质。命题3. 设消费集合是凸集，效用函数严格拟凹且在内部二阶可微，。则在处强拟凹的充分必要条件是：在处的加边海森矩阵非奇异。这里，所谓效用函数的加边海森矩阵，是指：证明：线性代数理论告诉我们，一个阶方阵非奇异的充要条件是：对任何非零的维列向量，都有。下面的证明将应用这一事实。设为命题中给定的点。必要性我们只需证明：对于任何维向量，如果，那么。为此，设满足的任意一个维向量。注意，因此，从而。进一步，。既然强拟凹且，可见只有。将这一结果代入，可得。由于，因此。这就证明了。的非奇异性得证。充分性的非奇异性说明，对于任何维向量，如果，那么。对应用这一结论，便可知。对于每个，令。则对于任何的，都有的拟凹性保证了对于任何的，都有。令，并取定一个。我们断定：是非奇异的、半负定的，从而是负定的。的非奇异性的证明：设任意给出且。如果，则从的非奇异性可知，即，从而。以下设，并令，则。假若，则，从而，这与发生矛盾。可见，不成立。这样，。总之，对任何，都成立。这说明是非奇异的。的半负定性的证明：设任意给定。如果，则根据的拟凹性和命题2可知，。以下设。令，则。注意,因此，即，从而。总之，对任何的，都有。这说明是半负定的。由于非奇异的半负定矩阵必是负定的，因此是负定矩阵，即对于任何，只要，就有。可见对于任何,，都有。这说明是强拟凹的。充分性得证。二需求函数的可微分性现在考察需求函数的可微分变化规律。设消费集合满足假设HC；效用函数强拟凹、在内部二阶可微，并且无最大值；均衡在消费集合内部实现，即对一切成立。在这些假设之下，对于任何，边际方程确定了消费者的唯一需求向量及拉格朗日乘数。确定了消费者对商品的需求函数。将这些需求函数代入边际方程，则边际方程就变成为恒等式，称为边际等式。现在假定价格和收入都发生了微小变化，从而引起了需求发生变化。设商品的价格变化为，消费者收入的变化为，消费者对商品的需求的变化为。这些变化之间的关系，可通过在边际等式两边求微分加以确定：记，则上式可改写为。用表示阶单位方阵，则此式又可改写成： 此式称为消费者需求的基本矩阵方程或者称为基本矩阵等式。命题4. 设消费集合满足假设HC，效用函数强拟凹、在内部二阶可微、且无最大值，。则矩阵非奇异，并且需求函数在点附近连续可微。证明： 我们先来证明矩阵的非奇异性，即证明对于任意的，只要，就有。为此，设任意给出，且。计算一下这里的矩阵乘积，我们得到：根据是否为零，我们分两种情况进行讨论。情形1. ，即。由于，因此，即。如果，则根据的强拟凹性可知。注意，。这说明，从而。如果，则，从而。总之，不论是否为零向量，我们总有。情形2. 。此时，显然有。总而言之，不论是否为零，都有。可见矩阵必然是非奇异的。我们再来说明各个需求函数的可微性。首先，需求函数由边际等式确定这一事实以及隐函数存在定理告诉我们，只要边际方程的雅可比(Jaccobi)矩阵非奇异，边际方程就确定了在附近连续可微的需求函数。计算关于的雅可比矩阵，不难发现：于是，根据上面的分析论证，雅可比矩阵是非奇异的。这就证明了各个需求函数在点附近的连续可微性。命题4得证。命题4表明，当价格与收入的变化都很微小时，需求的变化也很微小，并且基本上与价格和收入的微小变化呈线性关系，这种线性关系可通过需求的基本矩阵方程来求解：第四节 替代效应与收入效应本节从需求的基本矩阵方程出发，分析价格与收入的变化所引起的需求的变动。现实经济生活中，我们常常会看到这样的情况，某种商品的价格并未发生变化，消费者的收入也没有变化，然而消费者对该种商品的需求量却发生了变化。这是为什么呢？实际上，这种需求变动来自于其他商品价格的变化而引起的商品之间的替代。本节要研究这种替代效应，即要分析一种商品的价格变化对另一种商品的需求量的影响。另一方面，当商品自身的价格发生变化时，该商品的需求量会发生变化，这就是所谓的自身效应，本节也要加以研究，即要分析商品价格的变化对商品自身需求量的影响。当消费者收入发生变化时，商品的需求量明显地要受到影响，这则是收入效应。因此，本节还要分析收入的变化对需求的影响。我们将用总效应一词来表达价格与收入的变化所引起的需求的变动。对于总效应的研究，其依据是上一节最后对命题4作说明时，所改写的需求基本矩阵方程：这个矩阵等式准确地表达了价格和收入的变化对需求的影响。但是，我们希望知道一些更加具体、更加明确的需求变动规律，因而需要对如上方程进行深入分析。为了方便起见，令则。进一步，令。这个矩阵称为斯勒茨基矩阵(Slutskys matrix)，其元素称为斯勒茨基系数(Slutskys coeficients)。我们有：称此方称为修正的需求基本矩阵方程。一替代效应与收入效应的含义首先，我们来解释替代效应与收入效应的含义，从而给斯勒茨基系数的意义作出解释。一种商品的价格变化，会对消费者产生两种影响：一是使消费者的实际收入水平发生变化，另一是使商品的相对价格发生变化。这两种变化都会改变消费者对商品的需求量。在这里，消费者的实际收入水平变化被定义为效用水平的变化。比如，当服装的价格下降时，虽然消费者的货币收入未变，但现有货币收入的购买力增强了，也就是说消费者的实际收入水平提高了。而实际收入水平的提高，会使消费者改变对服装以及其他商品的消费量，从而达到更高的效用水平，这就是收入效应。还有另一方面，服装价格下降，使得服装相对于其他价格未变的商品来说变得较以前便宜了，也就是说，服装价格下降等同于其他商品价格相对上升；即使服装价格未变，但其他商品的价格上升，这也使得服装相对于其他价格上升的商品来说变得较以前便宜了。商品的这种相对价格变化，会使消费者增加对服装的购买量而减少对其他商品的购买量，这就是替代效应。显然，替代效应不考虑实际收入水平变动对需求的影响，因而替代效应不改变消费者的效用水平。综上所述，一种商品的价格变化所引起的商品需求量变动的总效应，可以分解为替代效应和收入效应两部分：总效应替代效应收入效应。其中，由商品的价格变动引起商品相对价格发生变动，进而由商品相对价格变动所引起的商品需求量变动，就是替代效应；由商品的价格变动引起消费者实际收入水平变动，进而由实际收入水平变动所引起的商品需求量变动，就是收入效应。替代效应不改变消费者的效用水平，而收入效应则使消费者的效用水平发生变化。为了具体分析替代效应和收入效应，用列向量表示价格体系的变动，用表示收入水平的变动。这些变动所引起的各种商品需求量的变动，用列向量表示，即代表总效应。用表示拉格朗日乘数所发生的相应的变动。根据修正的需求基本矩阵方程，我们有：即，。注意，这里的为行向量，为列向量。因此， 。我们得到：其中，表示当商品的价格增加(减少)一单位而其余商品的价格保持不变时，商品的需求量的增加(减少)量；表示当消费者收入增加(减少)一个单位而商品价格保持不变时，商品的需求量的增加(减少)量。在价格体系和收入水平下，消费者选择了消费向量。现在，商品的价格增加了一个单位而其余商品的价格不变，这相当于消费者的实际收入减少了个单位，进而实际收入的减少引起了商品的购买量减少个单位，从而消费者的效用水平必将下降。为了不让消费者的效用水平发生变化，必须保证消费者的实际收入水平不变，即必须使所减少的这个单位的商品的消费量得到补偿。这也就是说，当商品的价格上升而其余商品的价格未变时，按照变化后的价格体系，消费者将增加对商品的购买量，其增加量为。但是，仅仅按照这个水平来增加商品的消费，由于实际收入水平的下降，消费者的效用水平要下降。如果要保持价格变化后的效用水平同价格变化前的效用水平一致，商品的消费量还必须再增加个单位。于是，当商品的价格上升(下降)一个单位时，为了保持消费者的效用水平不变，商品的消费量应该增加(减少)个单位。这正说明，斯勒茨基系数表达了商品对商品的替代效应(如图4-2所示，图中的粗线表示价格变化前的曲线，细线表示价格变化后的曲线，虚线表示的预算线叫做补偿预算线，它代表当价格发生变化时，与价格变化前的效用水平相同的实际收入水平)。再从可知，当价格向量发生增加性变化时，消费者的实际收入将减少了。现在，货币收入也有一个变化，因此实际收入的变化为。当，即时，价格上升引起的实际收入水平的下降正好得到了补偿，需求变动保持了消费者的效用水平不变。这就进一步说明了斯勒茨基矩阵的替代效应意义。鉴于此，我们就称为替代效应，斯勒茨基矩阵也就叫做替代矩阵。斯勒茨基系数就是在保持效用水平不变的条件下，商品的价格发生单位变化所引起的商品的需求量的变动量，故又可称为商品对商品的替代效应系数。为了表达斯勒茨基系数的替代效应意义，可把表示成：既然表示实际收入的变动，而表示收入增加一单位所引起的商品需求量的增加向量，因此表示了实际收入变动所引起的商品需求的变动，即表示了收入效应。鉴于此，我们就把称为收入效应。收入效应影响消费者的效用水平。当时，收入效应为，它正表示价格变化引起实际收入水平变化，进而实际收入水平变化所引起的商品需求的变动。鉴于此，我们把称为商品对商品的价格变动的收入效应系数。价格与收入的变动所引起的商品需求向量的变动，就是总效应。它是替代效应与收入效应之总和：。 总效应 替代效应 替代效应 收入效应 收入效应 (a) 商品的价格(相对)上升 (b) 商品的价格(相对)下降图4-2 替代效应与收入效应二. 替代效应与收入效应的特点注意，是对称矩阵，而对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵，因此是对称矩阵，这蕴含着矩阵的对称性，从而斯勒茨基矩阵也是对称的，即 。根据斯勒茨基系数的替代效应意义，我们得到下面的结论：替代效应的对称性. 商品对商品的替代效应系数等于商品对商品的替代效应系数，即。我们再来分析一下商品价格变动对商品自身需求量的影响。从可知，其中为阶单位矩阵。这就给出及，从而且（因为），即说明了什么？注意，从而，这说明，即。表示当商品的价格上涨一个单位而商品的价格未变时，为了保持效用水平不变，消费者在商品上所增加的消费支出；则表示消费者在商品上所减少的消费支出（一般情况下为负值）。因此，表明：当商品的价格上涨而其余商品的价格未变时，为了保持消费者的实际收入水平(即效用水平)不变，消费者在商品上所减少的消费支出等于在其他各种商品上所总共增加的消费支出。也就是说，当商品价格发生变化时，给消费者以收入补贴使得消费者的实际收入水平(即效用水平)不发生变化，则消费者的总支出既不会增加，也不会减少。又说明了什么？实际上，表示当消费者的收入增加一个单位时，消费者在商品上所增加的消费支出。表明，收入的增加量等于消费支出的增加量，因此不论收入如何变动，消费者的收支总是相抵的。我们指出：是半负定的(这里，我们不能期望负定，因为可能是奇异的。本节最后给出的例子，说明了这一点)。事实上，对任何行向量，令，即。则（因为），故（因为）。根据本章第三节的命题2，我们有。进一步计算可得：因此，。这就证明了的半负定性。的半负定性蕴含着斯勒茨基矩阵的半负定性，只要效用函数是单调的。这是因为，的单调性保证了，因而是半负定的。基于这个原因，我们假定效用函数是单调的。斯勒茨基矩阵的半负定性蕴含着，这说明价格变动引起的需求变动具有下述性质：反向变动性质. 如果一种商品涨价而其余商品的价格不变，那么即使收入的变化恰好弥补了涨价引起的实际收入损失，消费者也不会增加该商品的消费，而是更可能要减少其消费。一般来说，对于正常商品而言，当消费者的收入增加时，正常商品的需求量不会减少，即。加上负的替代效应，即可看到：。这就说明，当一种商品涨价后，不论是否给消费者以收入补偿，该种商品的需求量都要减少，至少不会增加。到此，我们对以上的讨论作一总结。替代效应的对称性来自于斯勒茨基矩阵的对称性，而需求的反向变动性质则来自于斯勒茨基矩阵的半负定性。因此，可以把这两条性质概括为一条总的性质：斯勒茨基性质. 替代矩阵(斯勒茨基矩阵)是对称的半负定矩阵。我们回过头来再讨论一下商品之间的替代性问题。当时，商品与商品互为替代品；当时，商品与商品互为补充品；当时，商品与商品互为独立品。 从,以及可以看出，。这意味着商品之间的互相替代性比互相补充性更为普遍。三罗伊恒等式上一章曾经讨论过间接效用函数。回忆一下，间接效用反映了价格和收入所确定的消费者生活水平。根据上一节的命题4，只要效用函数强拟凹且在消费集合内部二阶可微，各个需求函数就都价格收入空间上连续可微性，从而间接效用函数也在上连续可微。现在，我们应用上面关于替代效应的分析结论(比如，)，来看一看间接效用函数的各个偏导数情况。间接效用对收入的偏导数反映了需求随收入变动而变动的变化率。计算可得：这说明，确定需求的边际方程中德拉格朗日乘数就是间接效用对货币收入的偏导数，反映了货币收入对消费者生活水平的影响大小。再看间接效用对商品价格的偏导数。计算这个偏导数，可得：由于，且，因此且。于是，我们有：这个等式称为罗伊恒等式(Roys identity)。我们来解释罗伊恒等式的意义。这个等式中，间接效用对价格的偏导数表示商品的价格上涨一单位所引起效用增加量(这个量值实际为负，即价格上涨将使实际收入水平下降)。当商品的价格上涨一单位时，消费者的支出将增加个单位。增加一单位支出，将使效用增加个单位。那么，增加个单位的消费支出，将使效用增加个单位。这就是罗伊恒等式左边第二项的意义。根据以上解释，罗伊恒等式表示：当商品的价格上涨一单位时，当商品的价格上涨而其他商品价格不变时，给消费者在收入上以补贴使消费者的实际收入水平保持不变，那么价格上涨所造成的效用损失正好从收入补偿所增加的效用得到补偿，因而这样的收入补贴保持了消费者的效用水平不发生变化。我们把罗伊恒等式所说明的这种意义，称为实际收入水平(效用水平)变动的罗伊恒等性质，即下面所述：罗伊恒等性质. 商品涨价以后，对消费者进行收入补贴，使得补贴增加的收入正好弥补涨价引起的收入损失，那么，消费者的生活水平保持不变，即涨价前后的生活水平相等。四. 替代效应、收入效应与需求弹性尽管替代效应与收入效应反映了商品价格与消费者收入变化对需求变动的影响，但是这种需求变动既与商品的计量单位有关，又与价格和收入的计量单位有关，并且受量纲的影响较大。为了消除量纲的影响，人们采用需求弹性概念来反映需求变动与价格和收入变动之间的关系。中级微观经济学对需求弹性有过介绍和讨论。现在，我们进一步研究需求弹性同替代效应和收入效应之间的关系。首先，简要回顾一下需求弹性的有关概念。需求弹性有三种：需求价格弹性、需求交叉弹性、需求收入弹性。需求价格弹性反映的是一种商品的需求量变动对该商品的价格变动的敏感性程度；需求交叉弹性说的则是一种商品的需求变动对另一种商品的价格变动的敏感性程度；需求收入弹性揭示了商品的需求量变动对消费者收入变动的敏感性程度。对于需求的这三种弹性，用我们这里的需求函数来表达，可有如下的表达式。商品的价格弹性，记作，是商品的需求量变动幅度与商品的价格的变动幅度之比，即商品对商品的价格变动的交叉弹性，记作，是商品的需求量变动幅度与商品的价格的变动幅度之比(这里)，即可见，商品的价格弹性和交叉弹性可统一表示为：。当时，为价格弹性；当时，为交叉弹性。商品的需求收入弹性，记作，是商品的需求量变动幅度与消费者收入的变动幅度之比，即下面来分析各种需求弹性同替代效应和收入效应之间的关系，同时分析各种需求弹性之间的关系。回忆一下前面所讲的替代效应系数和收入效应系数：结合需求弹性的表达公式，我们可以得到：进一步，各种需求弹性之间有如下关系:即任何商品的各种需求弹性之总和都为零。这是一个重要的事实，因为它说明，一种商品的需求价格弹性从其绝对值上看，等于该商品的收入弹性及其与其他各种商品之间的交叉弹性之和。尤其是当我们在两种正常商品之间进行选择时，我们就可对商品的需求价格弹性做出更明确的理解。比如消费者面临的商品为服装和皮鞋。如果皮鞋价格下降10导致对皮鞋的需求量上升20，那么根据各种弹性之和为零这一事实可知，皮鞋需求量的20上升幅度可看成是在皮鞋价格不变，而服装价格上涨10，同时消费者收入提高10的情况下皮鞋需求量的增加幅度。反过来，如果服装价格上涨10，同时消费者收入提高10，导致皮鞋需求量上升20，那么皮鞋需求量的这一上升幅度也可看成是在服装价格和货币收入都不变的情况下，皮鞋价格下降10所引起的皮鞋需求量上升幅度。上述事实的证明并不困难。其实，根据可知，故。作为本节的一个应用，也作为对所讲内容的一个熟悉过程，下面给出一个例子。例. 奇异的斯勒茨基矩阵设消费集合，效用函数，其中。这个需求系统属于线性支出系统，其需求函数为：,。计算偏导数可得：计算替代效应系数，可得：计算替代矩阵的行列式，可得。这说明是奇异矩阵，因而不是负定的，而只能是半负定的。第五节 基于选择的需求到目前为止，我们的需求理论建立在理性消费者的偏好之上。这种以偏好为基础的需求，称为基于偏好的需求。通过严格论证分析，我们发现基于偏好的需求映射满足零阶齐次性、瓦尔拉法则、二阶可微，并且具有一个半负定、对称的替代矩阵。我们不禁要问，这些性质是否是需求函数所特有的性质？或者说，如果一个关于价格和收入的映射满足这些性质，那么该映射能否看成是某个理性消费者的需求映射？也即能否看成是基于某个理性偏好的需求映射？本节讨论这个问题，进一步研究需求与偏好之间的关系，建立基于选择的需求理论，并从原理上论述基于选择的需求与基于偏好的需求二者的一致性。一. 需求显示的偏好从消费者偏好出发导出的消费者需求，存在着这样的一个实际问题：实实在在的需求建立在了难以捉摸的主观偏好概念之上，那么这种需求理论是否可信？实用价值到底有多大？其实，对于偏好早就存在着两种观点的争论，即基数效用论与序数效用论。争论的焦点是“应该说效用只是可把握的，而不是可绝对地计量多少的”。序数效用者认为，可把握的效用是序数效用，序数效用可通过观察消费者的行为来确定，而基数效用实际上是不可把握的，是无法确定的。为了找出消费者的偏好系统，只需给他充分多的选择方案，然后观察他的偏好情况。从观察可确定消费者的偏好关系，然而从观察却不能确定两种消费方案之间效用量的差值。科学家们不应该把不可把握的概念引入到他们的理论之中。这一争论引起了萨缪尔森(P.A. Samuelson)对偏好关系发生了疑问。萨缪尔森认为，偏好关系是一个抽象概念，不受到任何经济上的约束，因而实际上并不可能对消费者的偏好进行有效的观测和试验。对抽象概念进行实际观测是困难的，也是罕见的，应该避免这种做法，避免使用偏好这个抽象概念。另一方面，当价格和收入既定时，消费者必然会选择出所需要的商品，而且观察消费者的选择并没有多大困难，可以做到。所以，需求实际上由价格和收入直接决定，无须通过偏好这个中间环节，不必为了观测难以观察的偏好而设计人为的试验，我们可把消费理论建立在价格与收入直接决定的需求之上。消费者用实际行动显示了个人偏好。在客观环境条件和经济支付能力都许可的范围内，消费者选择了这种方案而没有选择那种方案，说明与那种方案相比消费者更偏好于这种方案。可见价格和收入直接决定的需求显示着消费者对消费方案作出的“好坏”评价，即个人需求显示着个人偏好。那么这种由需求显示的偏好符合消费者的理性吗？如果不符合，那么在什么条件下才能符合？这些问题正是本节所要深入研究的。(一) 需求与选择法则观察消费者需求或者观察消费者的购买，就是通过观察来确定每种价格和每种收入下的需求集合。现在，假定是观察确定的需求集映（这里，从需求集合改称为需求集映，意味着其中的是任意变动的），既由价格和收入直接决定的需求。消费者能够购买集合中的任何商品向量，说明通过观察所得到的确实是预算集合的子集。所以，对于这种由价格和收入直接决定的需求来说，毋容怀疑需求集合是否是预算集合的子集。知道了消费者的需求集映或需求映射，这又意味着什么？事实上，需求集映告诉了我们消费者的选择法则。这个法则就是：对于任意的价格体系和收入水平，消费者首先面临着一个由（即经济环境与支付能力）决定的许可选择范围（即预算集合），然后这个范围中又有某个确定的子集（即需求集合），消费者在这个子集中任意选择一种消费方案。既然需求集映代表着消费选择法则，我们可对需求映射