一元函数积分(定积分的几何应用).ppt

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,3.3 定积分的应用,高等数学A,第3章 一元函数积分学,3.3.1 平面图形的面积3.3.2 体积(1),3.3 定积分的应用,3.3.1 平面图形的面积,问题的提出与微元法,直角坐标情形,参数方程情形,计算平面图形面积习例1-4,极坐标情形,计算平面图形面积习例5-7,3.3.2 立体体积,旋转体的体积,计算立体体积习例8-11,内容小结,定积分的几何应用,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、问题的提出与微元法,将曲边梯形面积表示为定积分的步骤如下:,提示,(1)求总体量,先求部分量(以不变代变).,(2)对部分量求和取极限.,若所求量U须满足条件：,(1)U是与一个变量x的变化区间a,b有关的量.,(2)U对于区间a,b具有可加性,就是说,如果把区间 a,b分成许多部分区间,则U相应地分成许多部 分量,而U等于所有部分量之和.,则可用定积分来表达这个量U.,微元法的一般步骤：,根据问题的具体情况,选取一个变量(如x)为积分变 量,并确定它的变化区间a,b.,(2)设想把区间a,b分成n个小区间,取其中任一小区间 并记为x,x+dx,求出相应于这小区间的部分量U 的近似值.,如果U能近似地表示为a,b上的一个连续函数在x 处的值f(x)与dx的乘积,就把f(x)dx称为量U的微元,且记为dU.,这个方法通常叫做微元法,应用方向：平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长、功、水压力、引力和平均值等。,曲边梯形的面积,围成图形的面积,1.直角坐标情形,二、平面图形的面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,则曲边梯形面积,此时要注意曲边是有正方向的!从而确定出起点和终点.,当你沿曲边朝着这方向前进时曲边梯形将在你的右边.,2.参数方程情形,计算平面图形面积习例,例4,例1,例2,例3,解,两曲线的交点,选x为积分变量,例1,两曲线的交点,选 为积分变量,例2,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,例3,解,例4,解,所求面积,面积元素,曲边扇形的面积,3.极坐标情形,计算平面图形面积习例,例5,例6,例7,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,例5,解,利用对称性知,例6,解,例7,解,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,旋转体的体积,三、立体体积,旋转体的体积为,例8,例10,例11,计算立体体积习例,例9,解,例8,解,(1)绕 x 轴旋转时,选 x 为积分变量,(2)绕 y 轴旋转时,例9,解,例10,（2）解法2（柱壳法）,柱壳体积,柱面面积,补充,体积元素为,例11,解,内容小结,1.平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,2.旋转体的立体体积,绕 x 轴:,绕 y 轴:,(柱壳法),