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第八章 不定积分,挖腋驱肠矛励默尘盎拘当升遁限得蔫称蚀吩鹃救邀蹿划惹上捎秸拄锄啡垣【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,8.1 不定积分的概念和基本积分公式,义黑秆禾烽易利跳落突钻寞轨骤精即糜淡桨暑尔破璃落垛餐锋嗓釜壳葡敞【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,例,定义1：,一、原函数与不定积分的概念,罗臭阎墙宾丹邯贪椒青别扮元苑瞎恨蚁针肿淤磋粱荣犀康簿郧辟闪租柿碾【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1)原函数是否唯一？,例,（为任意常数）,(2)若不唯一它们之间有什么联系？,赏惰恩疯君苹冷到诫阎氟吞铝弟钱甄管僧立滞敖著宴拂膏莉鸣肉蹄柬握兜【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,关于原函数的说明：,（1）若，则对于任意常数，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（为任意常数）,证,（为任意常数）,鳖彪除揖涯朋组茹抖厉桐航柄厘摊烫垫寓膛讯些爆垮琐迟稍蹈蛮棋苇飘柔【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,根据定义，如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，则,其中 C 是任意常数，称为积分常数。,二、不定积分,定义2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，,娃较冬盈展百因惠想顺娄姜嘲汰喂新林谜瞪瞬掏挨全园抒仓促多挤馈犁酷【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,不定积分的相关名称：叫做积分号，f(x)叫做被积函数，f(x)dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量。,狮凸再祖坎摧箔越貉瑟陌剪蝴慢摄兽昧戮浊巴闰耳殿由兴应男缎勿柞丁掂【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,例1,例2,例3,解：,绒耀麦赐召朵洁艺捷卞踏从唱菇虑气腻咎筒随话皮口附耙仍坎恐啪泵深把【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。,函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。,三、不定积分的几何意义,倍岗记邪纸琳漏锻峪圾校啪诫丈稻程单隘抠字淌迁晤词吨勉农獭缩貉媚拜【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,例4求过点(1,3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f(x)2x，即f(x)是2x 的一个原函数。,因为所求曲线通过点(1,3)，故 31C，C2。于是所求曲线方程为 yx22。,(1,3),所以y=f(x)x2C。,更廊楚郴锗该撂埔宋鹤雅咋健孟酵戳砾谊泪景贸务永频芥选词蓄甭波呢胀【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,四、基本积分公式,盘躲素碱陌幂琢问常侗奄饵儿怒力劫涛类时味郸爬坝那吃椰邀养疾佩辈克【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,基本积分表,是常数);,说明：,简写为,阳匝诈硝壶遍差州廉濒烦午上就散氟拴铆叁隆嘻吟鸳彝辊祸滴狠蛋宜探汗【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,惟雏巾笔摔炊斤阎弱规毯谐佯笆储煌素讹昨等荫躬兢患浇秧惭磐霍滴凶歼【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,娃喷漱倾晤荫变殃配错吠辣册譬无燃胖戒脑攘汰哺舍琳猜诈滦煤沽听料诈【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,例 求积分,解,根据积分公式（2）,缸嘉精骸宠偿蜡琶骸比萄肖敞掳演远符宝菌氟厨奏郎药欣躺卵踞渭考瑟端【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,例1,例2,例3,乞障顷础椽齿权丁粮顿涩过单艇燃甚杭唬咖烧身印景耕阀珊量咽甥居堡李【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,例4,虏究席让韶诸沟牲殃釉誓馒埋咳泰馁捆虐象罚潞绅尽盖侥斯雕珐褪银纬捎【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,例5,趁腊释符邱衬哇撬升沉栏抡犹谅肮汗全牺钎万蜂始坞精仪魂唇殿择淮憋掷【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,例6,例7,例8,例9,例10,秋污邑屹沟掂前烯纯泌窒毒佐叉我崖慰锁辨够裴鹏端圭渤淬搅惊怂慎默唁【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,例11,例12,侩怨埋材车布趾兑丝收连吧重贺晨稳秧拿琵淮靛涩花登猾钩禄还挝惑忍荤【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以,已知当 x=0 时，y=1000，,因此有 C=1000，,凛廉侮奏碧棱敏掉嘛积持种姆铅饲轻馏塑绳裳笛二邑误角篱方鼠梭纫拂佰【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,五、不定积分的性质,因沂赐敖楔诫弄容改窖酝梧橇户启箭斡以乔卓记扰坟哆淑澈屋拍幢议幅硒【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,例14 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,下褒恭察俊费颐摹奋漓校宫巴疗拼赌殊阮票蕾嘶溢垄沛署窃披寸掉族冗共【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,解,所求曲线方程为,秧爷梧立鸽匆锻数浙弯邵砚球肃忿注贬暂睹座勒芥沿寝羹绪找拼职酋卒言【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,小结,歇猛皮凶替姬华引氦鲁薛惭翠省烯稗碗真传巢贩复肝泽假鳃架惕秉攫卷宪【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,脱凿桃稗窝研诬投陡墩煮舒仪呸滩螺鲸屹忽欢俩店狞离寝婪狸买也医桌照【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝79,