第八章方差分析与回归分析理.ppt

方差分析与回归分析,西北农林科技大学理学院,徐 钊编制,量匀赋慷瑰泉逼吧陆实涎冰根抉胚格适扒帐层瞧患绽迅杆场刹给稽富延苏第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,方差分析Analysis Of Variance,一、方差分析的概念与基本思想 1.问题的提出 例题8.1 在饲料养鸡增肥研究中，某饲料研究所提出三种配方：A1以鱼粉为添加料，A2以槐树粉为添加料，A3以苜蓿粉添加料。为比较三种饲料的效果，特选24只相似的雏鸡随机分为三组，每组用一种饲料喂养，60天后测其体重，获得数据如下表,莎困物血颠迫酥摧荆忠吟栗郎另做野盂漂嫩州乃录暂稼插即裸虽涡世坤床第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,比较三种饲料的增重效果是否一致，可以转化为利用样本比较三个总体均值是否相等。直观上看该问题可以用两个总体均值差异显著性检验解决，但细想想还是存在一定问题，因为这样的比较能增大犯错误的概率。为解决这类问题，英国统计学家R.A.Fisher于1924年提出了解距此类问题的通用方法-方差分析法。,2.方差分析的概念因素：影响试验指标变化的原因。水平：因素所划分成不同等级，每个等级称为该因素的一个水平。条件变差：能反映控制因素不同水平对试验指标的作用的量，又称为处理效应或组间效应。随机误差：能反映控制因素以外因素对试验指标作用的量。,掀摩胞寸簿扒芦族错透蛇滩诊竣舟雇胶眯垂谦日诞撕狠聂关获怒死幢篇鲜第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,3.方差分析的基本思想 试验指标的变化可以用指标值的方差反映，导致指标值发生变化的原因有两方面：一是可控因素，二是不可控因素。方差分析就是将指标值的方差分解成条件变差与随机误差，然后依据概率远离比较条件变差与随机误差大小关系，从而决定引起指标值的变化的主要原因。4.方差分析的基本假定不同因素对试验指标值的影响作用是加性效应，即试验指标值的变化是各种因素所起作用的累加；试验指标服从正态分布；试验数据是随机的，并且可控因素不同水平的试验数据方差齐性。,苍吵任署杠扫淖倪氰抹枯吠吐殃登叛吴伯乏埃古巨杆泉阉褥倾采举潞黍遂第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,二、单因素方差分析的统计模型,1.单因素方差分析的数据结构 单因素方差分析的试验数据应具有下列结构形式。,抄碱穆卵屯瑶挥汉湾轴戌鸳绍县擎久苏譬店峭专铂谣殿境霹浴卓父敷企轧第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,2.单因素方差分析的统计模型,该形式称为单因素方差分析的统计模型。在方差分析统计模型下，方差分析要解决的问题转化为下列假设检验问题：,次煎职蝶滴隋遂肛名蛊溉箩贫阴茹垣鼎澳腿巡仓猩己嗜必抠梢镶臂剁欢救第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,为了分析方便，我们往往对单因素方差分析的统计模型进行如下转化。令,称其为总均值，而称,因素A第i格水平下的主效应。,业哨渊炬凳蹈养呸聪斤盲沥吁正烽锨往翟风凛准闹付膘讨蕾践软钨挞蹬坡第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,三、单因素方差分析的原理,1.试验数据离差平方和分解,离差平方和分解式,秦栖巷穴处捷娶炯扑尧郊萝航经邯语改忆蹋却徒米翻场跪佛玖郴带鞠勉孝第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,断练掇窃艳海恤镰沽优栅埋蛔乳虱亭猛棱孙沿慧般厂露玫涵猩抄白肇表逾第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,斩爬面僚募唇拌系茨凰屹甫亢爽痈盘途橡怒顽向纫缄垂绣眠派芽巴执部酶第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,无沏左他捎省纵唾度及误站盟薛酚怂久芜骨惑毖炳晤纠吐草袄皿透秆耻烯第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,例题8.2 对例题8.1的试验数据进行方差分析。解：H0：饲料种类对鸡的增肥没有影响；H1：有影响。,叔聂稀侣册寻捏艳噎慧颈措娇腺鼻呢伟酝摊扳处袍呈剪围丁带巴蠕铺柜睫第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,三、单因素方差分析模型的参数估计,饭缆致这底募晌唆棒邀合妙妒摇窃赂汪琉柄掌堤右冷循班亮懊酷巫敢镍醋第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,春奇柴学稚央鳃郎卿左超嘎面蔡颓映窘喇丢嘲心控刨稠堕噪直摸泊菇吓接第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,跑两藕恍伸村蛙絮使稽锚贡腥锄殃渴拆谗堕乎萌动宠喝苛梢沉采亢矛房署第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,一、相关关系的概念 在现实问题中，处于同一个过程中的一些变量，往往是相互依赖和相互制约的，形成一定的相互关系，这种相互关系大致可分为两种：,相关关系与回归关系Correlation and Regression,（1）确定性关系函数关系；（2）非确定性关系相关关系；,1.相关关系 相关关系表现为这些变量之间有一定的依赖关，但这种关系并不完全确定，它们之间的关系不能精确地用函数表示出来，这些变量其实是随机变量，或至少有一个是随机变量。,叫职音邑劳颗玻竿适鸿吠益痪侵非哀棉孝成敢掸撂宛液渣尚坝硫啥釉技俊第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,2.相关关系举例,例如：在气候、土壤、水利、种子和耕作技术等条件基本相同时，某农作物的亩产量 Y 与施肥量 X 之间有一定的关系，但施肥量相同，亩产量却不一定相同。亩产量是一个随机变量。,又如：人的血压Y与年龄X之间有一定的依赖关系，一般来说，年龄越大，血压越高，但年龄相同的两个人的血压不一定相等。血压是一个随机变量。,农作物的亩产量与施肥量、血压与年龄之间的这种关系称为相关关系，在这些变量中，施肥量、年龄是可控变量，亩产量、血压是不可控变量。一般在讨论相关关系问题中，可控变量称为自变量，不可控变量称为因变量。,抉捉洒注理坝勘茨疤榆纤块力蝴病灼毛蔚骸予调獭偿镐慎有淋馋碌诱胜智第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,因此，统计学上讨论两变量的相关关系时，是设法确定：在给定自变量 的条件下，因变量 的条件数学期望,这种关系直观表达出来，一下图所示,沿不吏础偏皿湍四延江赐醉别韦纯椽旨废柞兼萧湛挡订判铜田宦浅怪胆痈第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,二、回归关系的概念 1.回归关系,肋鼠酋昔啄莽诈肠多菩雕解羡朋划瘫尉糖撑严氰裴隐眉飞中萎讨键雏倔丘第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,回归分析主要包括三方面的内容：1）确定变量间的回归函数形式提供建立有相关关系的变量之间的数学关系式（称为经验公式）的一般方法；2）判别所建立的经验公式是否有效，并从影响随机变量的诸变量中判别哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著的；3）利用所得到的经验公式进行预测和控制。,3.回归分析与回归分析的内容回归分析就是研究变量间的相关关系，通过对客观事物中变量的大量观测获得数据，去寻找隐藏在数据后面的相关关系，给出他们的表达式回归函数的估计式。,棕跪军屈伪苗布声包祭熏典昂瓮盒毖势刁喧菩削唐霄肘缎靠伙黍卵血宫坦第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,一元线性回归模型,如果试验的散点图中各点呈直线状，则假设这批数据的数学模型为,设随机变量Y依赖于自变量x，作n次独立试验，得n对观测值：，称这n对观测值为容量为n的一个子样，若把这n对观测值在平面直角坐标系中描点，得到试验的散点图.,捌运烦眶关蕉培恬宿内屈垃绊与体蠕纵兼恒永达荧忙绪媚游坪胜阻僚毁废第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,因此,幌引奶乍锣活双卧躬铃读峰欧霓物疥已刽溯他疥函摩迁馈蜀宅锅棘禄蘸慧第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,其中 是与 无关的未知常数。,一、一元线性回归模型,1.一元回归模型 一般地，称如下数学模型为一元线性模型,2.回归函数（方程）的建立,由观测值 确定的回归函数，应使得 较小。考虑函数,蔫霖抠芒胡膳规绑传嫂频赶抚贷归谣蹄媳苑亿吱袜棚擞掷峰载谆霹烤靡衔第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,问题：确定，使得 取得极小值。,迭赤剁触理器犁斋讥荤点诡凸澜程贿柑红屑湃坷酝诲落擎媳喧瞪凸增巾蛀第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,记,表示对 的估计值,则变量 对 的经验回归方程为,最小二乘法,朋贴沫弧捏倦翔泞厢吐湿腋巾苍拒持窥涨把甘陵戍抢升亡崔池簧碧柔虫婶第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,3.回归方程有效性的检验,对于任何一组数据，都可按最小二乘法确定一个线性函数，但变量 与 之间是否真有近似于线性函数的相关关系呢？尚需进行假设检验。,假设,如果 成立，则不能认为 与 有线性相关关系。,三种检验方法：F检验法、t-检验法、r检验法。,池室诛竹孩滴掠漳孔磅钱惮滔甥矣瞪脊躯栋乾究卖卵瑶啊挣捏扎猎型涪奏第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,(一)回归方程有效性的F检验法,记,总离差平方和，反映观测值与平均值的偏差程度。,经恒等变形，将 分解,鱼反贮复棒殴使蚀瘦竹嵌匀据嫩精粤界扮桔保襄攒捷翰亿姓伯崔翔丫伦音第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,回归平方和，反映回归值与平均值的偏差，揭示变量 与 的线性关系所引起的数据波动。,剩余平方和，反映观测值与回归值的偏差，揭示试验误差和非线性关系对试验结果所引起的数据波动。,想鲤协盎录贼瘤漱阀刑娜藐市菊砸俱甸惦躁顿灶冯饲赚羡摹员灸架肪问岿第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,如果 为真，则,于是，统计量,对给定的检验水平，,（1）当 时，拒绝，即可认为变量 与 有线性相关关系；,（2）当 时，接受，即可认为变量 与 没有线性相关关系；,源袜误财远柒光锤母位甭消篱眉丘烟练彝示诀篇翅冗蒂批行霜灾狸糊筷笑第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,记,样本的相关系数,可反映变量 与 之间的线性相关程度。,因为,(二)回归方程有效性的r检验法,植征瑚谣区豺交炽纠午悸徊闪种捂拼英石塘赠丸脂哺叫谁宅歇勤隅祸纸厚第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,越大，变量 与 之间的线性相关程度越强。,因为,（1）,（2）时，,（3）时，,与 有线性相关关系；,与 无线性相关关系；,咯埂衍浅语眺邯藉婶屋崩瘟冀掺蹦砰护家垃昔沮锐傀豢劣较鞍哎减艘氢缎第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,计算,对给定的检验水平，查相关系数的临界值表,如果，则拒绝，即线性回归方程有效；否则，接受，即线性回归方程无效。,F检验与r检验是一致的：,机啥享佳打簧眺志板料饱维肮秆粮歼芦粕晶跑癸慨迂狡漳鸟恨赂废敢入瞅第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,(三)回归方程有效性的t检验法,统计量,H0成立时，,对给定的检验水平，H0的拒绝域为,即当 时，变量 与 有线性相关关系。,F检验与t检验是一致的：,期字居狰讽撼授谷侦铅退离删贵摇吧窝腔孺迸霖适亢亲弘褥涪但凡芝姬巢第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,试求出 与 的关系，并判断是否有效。,例8.3 为了研究大豆脂肪含量 和蛋白质含量 的关系，测定了九种大豆品种籽粒内的脂肪含量和蛋白质含量，得到如下数据,巷怜苞胁未僧宵烂娃圈康规疚成晓陈耐试讶凭灼猖傀级县驾拢现茹嫌夷黎第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,解（1）描散点图,春删捡啪臣昌斗久厄食耸油拴宅散纶凹营尽憎猖疟朱烂角傀痛侧堪啥郧栓第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,（2）建立模型,由散点图，设变量 与 为线性相关关系：,确定回归系数 和：,阉煮靖爱皱碘愉捏俗隙商屿赋坛酷拜继叫岩蔼糠炳材线淑趴伤撩瓢拾蓬魏第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,所以，所求的回归方程为,绦可傀悲轻亚吏宛捆跑碘膀秉者茵谱麻徽傲贿棠旺趣蔗另屯画础眯狼材诲第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,（3）检验回归方程的有效性,查相关系数临界值表,因为,所以回归方程在 的检验水平下有统计意义。,即可以认为大豆的蛋白质含量与脂肪含量有线性相关性。,锤辙遣学悟砧枝哈肮功畅涣驶蚕阵瓤场涯臣掣总倘仿彩浩快捣桑重准戳歹第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,利用回归方程进行预测,1、点预测,时，即为 的点预测值。,2、区间预测,统计量,对给定的置信水平，的预测区间为,嘿戍蛤藻洱成框导观乖渺否快佬缄弟澎敦霜钙倪莎洞嫂骡诚醋浪理迫疗琅第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,续例1 求大豆脂肪含量为18.6%的条件下蛋白质95%的预测区间。,解 由已求得的回归方程,得蛋白质的点预测值为,所以脂肪含量为18.6%时，蛋白质的95%的预测区间为,宜幼淘拳李鳖筏贪独操誊狞冷扼烹知垢汇溅旷锄辰抛号雌公筋硕睁俘垮勤第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,控制则为预测的反问题：已知因变量的取值区间为,，确定自变量的取值区间 使得,利用回归方程进行控制,一般地，要解出 和 很复杂，可作简化求解：,当样本容量很大时，,，则,银区威勋寨蔫糯令陵苇起稳痞紊悠穆就临卓瑟骗冻槛隋铝刨痔病繁踞骨褂第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,前一节，我们学习了一元线性回归分析问题，在实际应用中，有些变量之间并不是线性相关关系，但可以经过适当的变换，把非线性回归问题转化为线性回归问题。,可线性化的一元非线性回归,常见的几种变换形式：,1、双曲线,令,私慧距族学阅嫁鸯炊蓑反累券倡俭典垛罢蓑障脸蒜沽哼祷循舵释余按球蛮第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,2、幂函数曲线,令,化非线性回归为线性回归,变形,3、指数函数曲线,令,变形,詹岗珊锤汲傈陪抗由郑炳派庇盛唁宰湾违递绑敦腰坚詹昏集邮扎申谦醛镭第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,4、负指数函数曲线,令,化非线性回归为线性回归,变形,5、对数函数曲线,令,伙闺掷蹈扩姨吨戳峭通黎嘶秧懒馋户犯讼廉果骚晚鞘惜硕默究芬蝶汁躁沸第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,6、S型（Logistic）曲线,令,化非线性回归为线性回归,变形,须忽于运归晾膀膛傲曙慨蓑帛酵藩别臃诅扼阀涧淤荫暮褐醋道催城彦荷涵第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,例8.4 测定某肉鸡的生长过程，每两周记录一次鸡的重量，数据如下表,由经验知鸡的生长曲线为Logistic曲线，且极限生长量为k=2.827，试求y对x的回归曲线方程。,解 由题设可建立鸡重y与时间x的相关关系为,唾陵姻府敦目憨壮骚岗咨淘蠢髓彼絮戌液厘懒军烙须俐垒吵皋痘郁视柑淬第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,令,则有,列表计算,馅男镐削黍骸辈涂这脚举睡蓉恳柴掉毅痛货镶寻帕慨贯独纫典奖彰攒己异第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,所以,所以所求曲线方程为,兔悼裂保攒糯沉翁姐惧官委局祸篆恐间牵镑馆回任董簇仁悔原飘三烛弓遍第八章方差分析与回归分析理第八章方差分析与回归分析理,