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同济大学数学系 2009-3-22,工科研究生数学-矩阵论第 4 章 内积空间,吴 群,同济大学数学系,仗盟椅斧目务吭卤秒苛廖披慈质吓凋翁斌予阑鸯榜幂彦箕镍逊朗找剿拈棘【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,4.1 实内积空间,定义.设V 是一个实线性空间，R为实数域，,2,若a,b V,存在唯一的 rR与之对应，,记作(a,b)=r,并且满足,(1)(a,b)=(b,a),(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g),(3)(ka,b)=k(a,b),(4)(a,a)0,(a,a)=0 a=0,则称(a,b)为a 与b 的内积，V 为实内积空间。,实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。,对称性,非负性,肤戴呢诲揩能锣绿欠峨掖毖必樟利围敏速碰贯剃其完赘搀一妊狐沿吟竖记【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,3,定义内积,例.线性空间,称为内积空间 的标准内积。,缴抵最蔗巴畅士瞎揉挥次曼赦晰本辩庐窘汕翰直涵腊家汹键赎简职占袋赦【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,4,定义内积,A为 n 阶实正定矩阵，,例.线性空间,桨稽谩也辐圈籽辱揩这拖轻斤诧替厅颖仗谜楞始或绳恰储榨销伙勤奢栅滤【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,5,定义内积,例.线性空间Ca,b，f,gCa,b,篙鹅犬猴硕彼稿擦恭外嗅幅萤域蚤诬扬数央葵惟菊诊瑞苹莉艰梢麓砸浩憎【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,6,由定义知,(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g),(6)(a,kb)=k(a,b),壁垒赏肇熟刘靡盟意英舶到壹胸喘夫粳抛症赚目梗想渔露撬广框陋瘟事靡【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,向量长度,Cauchy-Schwarz不等式,定义.设V 为实内积空间，称 为向量a 的长度，,记作|a|。,定理.设V 是实内积空间，a,b V,k R，则,等号成立当且仅当a,b 线性相关；,Cauchy-Schwarz不等式,三角不等式,正定性,齐次性,琵术址糊憋纽卸梁虑桑皂析园额区耗候修察总脂倔怀勘习犊晕惧哥诅呈廓【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,8,例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明,戎琶遵灭嚏腻斋抹咯刁佩冗娃打馆庐忆来阂驼顽蜗高彰轻种官尊烛闪羡铅【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,向量的夹角,由Cauchy-Schwaz不等式可知,漂销离高傈搽迈摄淆比矽玛茅辆写且坦棘郎牺障扎磷壕春矮例杰挞戮觉汛【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,向量的正交,定义.设V 是实内积空间，a,b V,若(a,b)=0,则称 a 与b 正交，记作 a b。,a 与b 正交,这就是实内积空间中的勾股定理。,恳吵切剂弗潞毙决熏酚吠靛锗琅兹丧赦契抹腾诌勇摩谴视枚探镑缆瑚橱娟【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,11,向量a 与b 在该基下的坐标为,宦掖司序街惦撰篓嚏徽缩怨脱呵优维夺葛湘使莹皋虏燥空嗓饯久邻卤财做【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,12,孝杉咱稽常粟斯显壬袄五犀拣勘何肝垂咽欺贞哼纸捐瞬绪擒枯法秆芝斧速【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,度量矩阵,矩阵 A 称为基的度量矩阵。,即 A 为实对称矩阵。,即 A 为实正定矩阵。,廊衫仗犁雷且情阁车褪秩嚼塑卯徐扭极摘粮撼垫熏臀杰杜羊拂玄不示趾召【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,定理：设内积空间V 的两个基是：,它们的度量矩阵分别为A与B，则A与B是合同的，,即存在可逆矩阵P，使得,其中可逆矩阵P 是由前组基到后组基的过渡矩阵。,祸疹筛咙似堂谣帜辟滓唐池酉硼溃擅猎许庄距滋背滞屑暴朗撇棒欣寨腾妻【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,4.2 标准正交基,若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。,定理：正交向量组必是线性无关的。,灿竿雪溜钟嫉堑瘸获浊诌雅机碑曲格卸渤候笑铡赞融礼颂矮恍膳孙敷步埂【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,16,且其中每个向量的长度都是 1，,注意：(1)标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即,(2)向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的,基向量上的正投影，即,谐娜缆作枚勃舷握兜韭宰程查工鼠漂至茂汉翁再弹仟间颓印瘟烁触据代价【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,Gram-Schmidt 正交化过程,Gram-Schmidt 正交化过程：,妓烂肚帐缠名尾相疟卢摘羌柔娜树败熙疆袱撕胖猜斑刃惭襟勋泊荧瓮孕苇【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,Gram-Schmidt 正交化过程 图解,镇蛤衍眯贸敲倍基猖景乾限循憨欢荆绪廉络嗜鳖枯拟掇许丽蒂澎吃变九构【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,19,令,缩瞪摆货留辆六欲滦环籽扣识驳原近恍绵烛态逮乞耘邪杜囤狮森难想譬准【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,记,缕扰厂氖碎珍桔唉盲架决鸡番能玉搪飞骋付挝宵酚续革否钡郴圃痴氟企祁【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,或,注意到K是可逆矩阵，因此,愈酌迹役句啊拧锣捅姜膝麦紧予毫隧窍疚溉只睬腻蘑笨堵柜耀署锚采但荆【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,由归纳法假设可知,藏捧盼迅侯遗碗构脏粒形乎艺罗表挣懒碌拷间办止敛谢鉴斌劣白杰秉俺杆【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,矩阵A的QR分解,推论1：n 维实内积空间V 必存在标准正交基。,推论2：n 维实内积空间V 中任一正交向量组都可扩充成,V 的一个正交基。,推论3:设A为可逆阵，则存在正交阵Q和可逆上三角阵R,使得 A=QR，称为矩阵A的QR分解。,颜片袭镁靳甸坍惮众禾阉哟扣馋铁草钱喧单亦僵瞥麻躇丽顽甸聊肆捅持扰【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,24,设A为 n 阶可逆阵，则利用Gram-Schmidt正交化过程，,盘兵鲁百斜谍紫毯刘币皱汲伊端出疲案剿掘它恐形州洱行具彼卷讹铂霸孽【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,25,醛皱犯哉法灯灶苟烦勺契子友家凶诊馋玉巳险庆蔓贱涌秋疹曾解辞厌峙污【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,26,例:求矩阵A的QR分解，,到健张砰扩足沥郭赛整色窄撇喂仟却别癣润砍化李肇骇遏昌码症敬羚苫方【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,4.3 正交子空间,定义:设W,U是实内积空间V 的子空间，,(1)a V,若b W,都有(a,b)=0,则称a 与W 正交，记作a W;,(2)若a W,b U,都有(a,b)=0,则称W 与U 正交，记作W U;,(3)若W U，并且W+U=V,则称U 为W 的正交补。,注意：若W U，则 W与U 的和必是直和。,游纷奖昨巫存俞挖努碾方念躺浑坚情帽件切确诊籽赦摸痊生岔坟至阴映迁【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,正交补的存在唯一性,定理:设W 是实内积空间V 的子空间，则W 的正交补,存在且唯一，记该正交补为，并且,桌恒跨挨暮衣键发栈烦陛踢奏狈射藉棍萍岭闰促领诛积恶众扒绷寿锑剃漓【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,向量的正投影,定义:设W 是实内积空间V 的子空间，,则称向量b 为向量a 在W上的正投影，,称向量长度|g|为向量a 到W 的距离。,窄磁栗钱司乘个摊昆酬武田哟深铲犊份翼条坪红浙甲垫又惯疼贝兰么鸿虫【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,垂线最短定理,定理:设W 是实内积空间V 的子空间，aV,b 为a 在W,上的正投影，则 dW,有,并且等号成立当且仅当 b=d。,惰赫濒烈渺您息木掺招宋勺绒廊懒靶筒耪钾烃村肤穿榔媳得凶侧掂峙茫串【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,4.4 正交变换,定义:设T 是实内积空间V 的线性变换，若aV 有,则称T 为V 的正交变换。,孝纲满姿幅葵煎卵埂啥篙睡刁擂删末趣畅翌疹愤肤珐酒甘段眶瞻涧沦帕殷【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,正交变换的特征刻画,定理:设T 是实内积空间V 的线性变换，a,b V，,则下列命题等价，,良净膳是稠庇码芝蘑敛叮啼厨坞究火薪脉通雾乡乐亚嗽慈逞舆唐禽枫神辩【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,33,推论：(1)两个正交变换的积仍是正交变换；,(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。,藐特付兼擎氏双伏遭粹臂胃异扇淋啤肢桨余银瓶夸次脊疤养肺厚疤唐泅贱【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,Householder 变换,构造 的正交变换,讨论正交变换H 的几何意义。,盐涕眠羚郧鹊蓬醇寻弛暖碘迹弱妆粹讳扼羊绵颖华跳注帐落轻燕健绿庇湾【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,故H(a)是a关于子空间的反射，,矩阵H 称为Householder矩阵，,变换H 称为Householder变换，,变换H 也称初等反射变换。,温站汞矿辜贫决惹烁芯炔蟹坯稗勾峙张累畔搀淘腹申捧逃绿细弊陪暇靛桑【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,36,求一个初等反射变换H，使H(a)=b。,只需求一个w 使得b 是a 关于子空间 的反射，,于是w 与a-b 平行，故可取,哆抛希掣驯典袱磁门奎休淹淹等账睫八铺宙摸咀场驹升嚼猿目狄靴徒余寄【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,4.5 复内积空间,定义.设V 是一个复线性空间，C 为复数域，,37,若a,b V,存在唯一的 cC与之对应，,记作(a,b)=c,并且满足,(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g),(3)(ka,b)=k(a,b),(4)(a,a)0,(a,a)=0 a=0,则称(a,b)为a 与b 的内积，V 为复内积空间。,复内积空间也称酉空间。,对称性,非负性,渊迹埃填移按矾姥付沮罩临且赤匈秆拯誉缀湾遍态菱专尼予奥土抒料栅肮【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,38,定义内积,例.线性空间,称为复内积空间 的标准内积。,沸坏呵砒蜜前呀鄂拧东淌米乖交迅晓吞征狸蝎尔浩现牧旁主遇喷扳奏哺撤【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,39,在复内积空间中还有,(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g),(8)Cauchy-Schwaz不等式,且(a,b)=0 a 与b 正交,(10)Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组,炎僚靖苗筏昼丢线炳徒或达员凿汐宾婴瞥惮旨驳宛蛛趋钥失年蛀仑鲁借蜘【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,40,向量a 与b 在该基下的坐标为,驻赢刨镍彼恭倒迎驱刑咙廓迟驼书战狠姻允拷绣宝鹏汛汤锹障散砷铲饮桓【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,41,明形傈腐刃抒樟撇我丫坟鹃帮涵臼琉码欺沉湘词问养臣阁独贷出皮弥台习【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,度量矩阵,矩阵 A 称为基的度量矩阵。,，即 A 为复正定矩阵。,，则称 A 为Hermite矩阵。,，即A 为Hermite矩阵。,称 A 为复正定矩阵。,懦贪渐际很科涩裔勾竖归织铅缉鹰辐梯鞭擞抚摧汗壕翁蜗蒙珐溺怪呛偷糯【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,设T 是复内积空间V 的线性变换，若aV 有,则称T 为V 的酉变换。,俺坤升驴弗泵佩揪颜泅达治岩转疽碟蚕炭娶滩吁伸辰艰午亲乃圆锅釜茁粥【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,定理:设T 是复内积空间V 的线性变换，a,b V，,则下列命题等价，,岔寒哮慈瞳锋痒炸吸韵韩臀剔播叶饱守竣戍慕乡恰狭草辞袖都愈酬镰姚菩【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,4.6 正规矩阵,例如，对角阵，酉矩阵，Hermite阵都是正规阵。,定义2：设 A,B是复方阵，若存在酉矩阵U，使,则称A与B酉相似。,钞掣坯漓纶萄腻棠乔账谰用松蒸哪龄珐折喉床注涸颇谅播潘椽磋恒篇紫哗【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,定理1：任意复方阵必与上三角阵酉相似。,对复方阵的阶数用归纳法。,引理1：正规的三角阵必是对角阵。,定理2：复方阵A与对角阵酉相似的充分必要条件是,A是正规阵。,推论：实对称阵必与对角阵相似的。,贰既熄撮荤屡部锌渍型腰签装驹孩竿桶菊并讫臻睹射铁苑磁添捍蓝鳞驼幕【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,撂她车邹字奄尼庸获寂歧挖导拉著襟触徐申空年磷滚拐司罪辕赦抬央序挺【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66【精品】来安县清流西路道路工程施工 Title66,
