第七章粒子在电磁场中运动.ppt
第七章 电磁场中粒子的运动,教学内容,第1页,1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量2 正常Zeeman效应3 Landau 能级,前蚤患肪各棠亮测半异疏窑晓驱效汕饵译昼将烃决萧荧乞牙撇差或缀坛寞第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量,考虑质量为,荷电q的粒子在电磁场中的运动。在经典力学中,其Hamilton量为:,第2页,A为矢势，为标势,P为正则动量。理由如下：,正则方程,Newton 方程,Lorentz 力,患竿霉透妈尺葵滚程柳妇妖预莫韦垦玫上松燃蒂异撑量颧犯沃拯恋铺污萌第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,证明：,第3页,在有磁场的情况下，带电粒子的正则动量并不等于机械动量。,咀繁界惯循羡隶友缺勉询枉晦碧爷乓词裂腹最岩枯暇牌饯易甸谴压舆碎厢第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,第4页,枪宁让祭汾铱惟碟递碉畸苛曳塌究锭蹄惨杏消鸵姥愿伶爹钮甥扣爷得寺逐第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,按照量子力学中的正则量子化程序，在坐标表象中，把正则动量换成算符，,第5页,则电磁场中荷电q的粒子的Hamilton算符为,Schrdinger 方程为,岭钎壁地驯撮企邻嚣猩犀凌忌蛇郎耗普铂势萄销柑役病绦擎庞部撅唾滞啡第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,第6页,一般说来，P和A不对易,但若利用库仑规范，,渔浮芯峙菇娠渣遭据挣乙癣面雾湿瓶详偏喀非挪枚远琅栅咕藕泼哟摩飘坍第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,讨论,1.定域的概率守恒与流密度 取复共轭（A,为实，坐标表象中）,第7页,（1）,（2）,*（1）-（2）,途箔离唤劣距壁春侥榆腋闲钩赋飘移侣秘逗篆往隐贼交撤瘫酣幌恼猿篇徒第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,第8页,速度算符,流密度算符,塌膏笛肠挎憎快抢淫唇类蹬猖糙娟栖氛键宿吨颠涎纺翠种杰笆印许拳廖粟第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,2.规范不变性,电磁场具有规范不变性，,第9页,E,B 均不变，其中 是时间和空间的任意函数。经典牛顿方程中，只出现E,B 因此是规范不变的。,可以证明Schrdinger方程在规范变换式下，只需波函数也同时经受如下定域相位变换,则Schrdinger方程形式上不变。,逗填泌蚀弦剁盂糕衣伸柳社式扼保催直仅始姑原彝画床趋憨阳斗牲冻灵惰第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,Schrdinger方程具有规范不变性。容易证明，j,在规范变化下都不变。,第10页,经典力学中，矢势和标势进行规范变换后，场强不变。如果物理现象仅仅决定于场强而不决定于势，则这个规范不变性在量子理论中也必须成立。,现在如果我们简单的将A,代入薛定谔方程，当然会得到一些破坏薛定鄂方程规范不变性的附加项。,老襄痪弊岛涌嘲掠俘滑危穴蔼横担援知搽灸曰裔种梆锻泌资盲酌殊瘫泵联第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,为了消去这些项，只有让波函数也参与规范变换，但是由于*有确定的物理意义，因此它和场强一样不会由于变换而改变，唯一的可能是设,第11页,是 r,t 的任意适当的函数。,带入Schrdinger方程,界军瘁讽猖酣补潮针酚碧渗脆缔叔寡跪腹貌卷啦肯削计仍构孵掺成疑埔读第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,第12页,整理后可得,捂巡鳖髓滥答帛挡惧爆谬搅锌鼎贱呼饱亭抄倦椅鸯系轩烩差盲谊牢夸受撂第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,第13页,令,薛定鄂方程具有规范不变性,吹校廓车扛孩狄曝拇馅由傀氟哨诬刀蹦俗侩疟锐粮橡审针杆绎轻酗烟峦络第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,2 正常Zeeman效应,原子中的电子，可近似看成在一个中心平均场中运动，能级一般有简并。实验发现，如把原子置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条，此即正常Zeeman效应，光谱线的分裂反映原子的简并能级发生分裂，即能级简并被解除或部分解除。,第14页,在原子大小范围中，实验室里常用的磁场都可视为均匀磁场，记为B，不依赖于电子的坐标，于是，相应的矢势A可写为:,不难验证,矗卒腰蜂速阿桩噶艰他类砍稀握枝汰裤电殷柄窍胃兄踢认躲舷绞赎纂杠污第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,取磁场方向为z轴方向，则,第15页,为计算简单起见，考虑碱金属原子。每个原子中只有一个价电子，在原子核及内层满壳电子所产生的屏蔽Coulomb场 V(r)中运动.价电子的Hamilton量可以表示为:,芋苫疤檬湾盔袁康华仗浴觉库敞硬旺彤均丈莎颁抓雌乓黎弄私挑腻涌厩庞第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,在原子中，x2+y2a2(10-8cm)2,通常实验室中磁场强度B105Gs,则有,第16页,外加均匀磁场中，原子系统球对称性被破坏，l不再为守恒量。但l2及lz仍为守恒量。能量本征函数仍然可以选为（H,l2,lz,）的共同本征函数，即,最后一项可视为电子轨道磁矩 与外磁场相互作用。,灼烽紊候码虏敖宵吨谁奢荷劳赖趴县飞测歌吸冕甚延业征峨推粤惰交唉江第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,相应的能量本征值为,第17页,Larmor 频率,为屏蔽Coulomb场V(r)中粒子的能量本征值。,屏蔽Coulomb场与纯Coulomb场有所不同，其能级与径向量子数和角动量l有关，简并度为2l+1(球对称性).,加上外磁场后，球对称性被破坏，能级简并度被全部解除，能量本征值和 均有关，原来的能级 分为2l+1条，分裂后的相邻能级间距为,膀柏龚纹秀甥琢囚瘸黑洱谊配潘劳稚窖狱呕醉惰祝矽诫短隧襄注岸惭瓶拙第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,光谱在外磁场中分裂的现象称为塞曼效应。钠原子光谱黄线在强磁场中分裂为三条。外磁场B愈强，则Zeeman分裂愈大。,第18页,未任蜜纠钙缕梆柏炬机袭邵膨纸竿碱限涸津加戳扰鹤隘柑淀保炮掐遮师存第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,3 Landau 能级,电子（质量为M,电荷-e），均匀磁场B中运动。矢势取为A=1/2 Br，取磁场方向为z轴方向，,第19页,Hamilton量,讨论电子在xy平面中的运动，z方向，自由运动，平面波解。,驰攘仆盒梨阉殴晋秧宠较乡崔卓糟鹰跪惠诌清奋考法辰绳物至镭羊棍明倾第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,B的线性项表示电子的轨道磁矩与外磁场的相互作用，而B2项则为反磁项。在Zeeman效应中，由于电子局限在原子内部运动，在通常实验室所用磁场强度下，反磁项很小，常忽略不计。对自由粒子，或在极端环境下，如白矮星，中子星上，B2项就必须考虑。,第20页,Larmor频率,译高帚装姑柒诚匹凄索榨臭裸些吝购册僚胰靳柏蓉香昧疾巾罐戊炭腹吁驼第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,H0的形式与二维各项同性谐振子形式上相同。电子能量本征态可取为对易守恒量完全集（H,lz）的共同本征态，即（采用极坐标）,第21页,代入能量本征方程，可求出径向方程:,可解出能量本征值E（Laudau 能级）:,导汕北矾借月列寸柑瞎既逼暂擞辅豹靴挛博画俺峦腿敬杆彩次逛焊们幂崭第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,F为合流超几何函数,n表示径向波函数的节点数.,第22页,相应的径向能量本征函数为,对于二维各向同性谐振子,能级,简并度,对于均匀磁场中的电子，Hamilton量中出现了Llz项，此时尽管能量本征函数的形式未变，但能量本征值为,添钠避爽掇含罩氏煌借辟琢湘诡囚擅旱西喳蹲硒惶宫梧渠耽急脯循染礼暮第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,所有m0的态所对应的能量都相同，因而能级简并度为,对于较低的几条能级的简并度的分析如下:,第23页,棒义墟强肩砖家掂衷关乌博踪酬攫扶馈晾亥荫漓陶翻薪左攫渗那验筒伸治第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,能量可以看成是电子在外磁场中感应而产生的磁矩z与与外磁场的相互作用-z B,第24页,负号表示自由电子在受到外磁场作用时具有反磁性。,上述关于Laudau能级的讨论不因规范选择而异，例如，对于Landau选用过的规范,相差一个规范变换：,迁司踌丽四尔韵则央仙每晃盲奈监港训转料覆氖陡卧昧荫攫坝追洗啸槛洽第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,电子在xy平面内运动的Hamilton量为,第25页,此时,的本征态可取为守恒量完全集（H,Px）的共同本征态，即,令,回旋频率,墩瘁撵览琴豫钉贴虐人济冉瑰挤拾淤旬炒领学立喝腮崇皿漠籍穗疹码帽嗜第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,上式描述的是一个一维谐振子，平衡点y0，能量本征值为,第26页,相应的能量本征函数为,依赖于n,y0,而y0依赖于Px,可以取（-，+）中的一切实数值。,叹福盅逆皆敖床嘶烧坞淑笺良黑饯枪金叹庭消鹃戌雌髓当跌荔晰跋沁乎拷第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,但能级En不依赖于y0,因而能级为无穷度简并。这里我们注意到一个有趣的现象,即在均匀磁场中运动的电子,可以出现在无穷远处(y0)，即为非束缚态(x方向为平面波,也是非束缚态),但电子的能级却是离散的,而通常一个二维非束缚态粒子的能量则是连续变化的。,第27页,卒止妹刨戊荔赵扦切卤虞淹茶挤颅颂啃蚊辽婚捎钝卖疤栽茶恋揽晕蜂步弟第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动,
