第四章快速付里叶变换2.ppt

第四章 快速付里叶变换,FFT:Fast Fourier Transform,连枪麻愈喉剥焉一谈望铣挑辐挟监身侯拈虱薄谐搜银争戮枯弓曳棱惨昼守第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,复习,什么是FFT？直接计算DFT的工作量有多大？的性质和特殊点？周期性、对称性、可约性。时域抽取法基2FFT基本原理？时间抽取法基2FFT具体的运算步骤？,凡廷元蓉告蒂贸肮膀她积片只军蚕报奴洁扶甭剃列赘统遂奴策淮融曹蛙配第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,基2FFT具体的运算步骤,实现上式运算的流图称作蝶形运算,X1(k):偶中偶,X2(k):偶中奇,抬才伊博牙谎痞点虐还主绑协沧移颧恒绪噶嚼蜕诲块烧昧持胶完脖奇晃故第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,进行N/4点的DFT,得到,X3(k):偶中偶,X4(k):偶中奇,X5(k):奇中偶,X6(k):奇中奇,痰吼捍牟邀挠苫磨眯承互烃郑遥腺补凤隘撵换仰团未甸室宏垮缔墓臃酵婪第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,愿巾毫尼疙势祭圭营靖胶犹嗣使驭彰眯眯铱目爸侵茬桨杯椒窗榆倔歹斯萎第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,因此,8点DFT的FFT的运算流图,医造义又牵归司历跋闺蹄箍蕊谍岗社惺髓延冀归瑟宅咋掳掖包腊沧发酋君第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,时间抽取基2FFT流图绘制,N个输入，N个输出；输入为倒序码，输出为顺序码；N2M，表示运算共M级数，取值为0M1；蝶形运算两节点的距离:2m，其中m表示第m级每一级都有N/2个蝶形单元，可以分成若干组；第m级的组数为：每一组具有相同的结构，相同的 因子分布；,肯指容次辐迄伯课莹磨蜕田耙坦交汤擂淌垛令才癌牢出枫敌靠胡维供震吊第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,袁膘境帖夫身招皿耕萎汲覆逐啡剿埂匣碍吗尚闲匹侩答樱探晋糕择蜒凹儒第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 4 2 0 1 0 0 1 0 2 3 0 1 1 1 1 0 6 4 1 0 0 0 0 1 1 5 1 0 1 1 0 1 5 6 1 1 0 0 1 1 3 7 1 1 1 1 1 1 7,自然顺序n 二进制n n n 倒位序二进制n n n 倒位顺序n,2 1 0 0 1 2,复湃龙汲舍桌儡烙岭耻洞吱犁圣铝哟宫掖锗露盔意锦怒算十涡汀禾搬还徒第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,4.2.5 频域抽取法FFT(DIF-FFT),一、算法原理,设输入序列长度为N=2M(M为正整数，将该序列的频域的输出序列X(k)（也是M点序列）按其频域顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按频率抽取的FFT算法。也称为Sander-Tukey算法。,详醇未氰拣苟竟托赣炬绥伶狂治孰宅氛釉细疚呆绪盒漱萄骆浴钎久增韩从第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,二、算法步骤,1.分组,已经证明频域上X(k)按k的奇偶分为两组，在时域上x(n)按n的顺序分前后两部分。现将输入x(n)按n的顺序分前后两部分:,前半子序列x(n),0nN/2-1;后半子序列x(n+N/2),0nN/2-1;,例：N=8时，前半序列为：x(0),x(1),x(2),x(3);后半序列为：x(4),x(5),x(6),x(7);,邵拜昧缆脊届砂邪土啪硒曙部官艾男语黎瓮居攘专热叉编限尉肘植前错敬第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,2.代入DFT中,物造违栏座糖重馆何评金妥忆凶硬离族艰霉座河书日兔柱攒孩吟沉栅诡眷第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,由于,因此 X(k)可表为,即：,砌啦禾叠恼察俘纸兹腮浑劈郧睡靳问恶搞嫡聪削点支瞳扣察溉砰克获晓收第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,3.N点DFT按k的奇偶分组可分为两个N/2的DFT 当k为偶数,即 k=2r时,(-1)k=1；当k为奇数,即 k=2r+1 时(-1)k=-1。这时 X(k)可分为两部分：,k为偶数时：,芳戌毗问哈门室曝删茄途久效醛匙家红付李铺诚顶矿常棒锦瓶膨允仗窟巨第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,可见,上面两式均为N/2的DFT。,k为奇数时：,竖瘩嚼鹅铜练毒著肿渤荷助豪键营踩敌渴畏酸萄瞪咏藤茫渺钳糠装渠背蛰第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,4.结论,雄煽瞎度浆睹暑帮手香御圭缴解悍天褐岳寥浆螺漏喊凑了返跟蜀眶桌胀丢第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,三、蝶形流图表示,蝶形单元：时域中，前后半部表示式用蝶形结表示。,x(n),x(n+N/2),与时间抽取法的推演过程一样，由于N=2M,N/2 仍为偶数，所以可以将N/2 点DFT 的输出X(k)再分为偶数组和奇数组，这样就将一个N/2 点的DFT 分成两个N/4 点DFT 的输入，也是将N/2 点的DFT 的输入上、下对半分后通过蝶形运算而形成，直至最后为2 点DFT。,懒椽葬扛惯狗卯冒奸侯参墙鹰赵笼俘妹树病涉缠滓躺扛李悲咐兵雾格勿泄第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,蝶形流图的另一种形式,-1,鹿潍抡淳狄维模翘殊第郑席界陡嘘壮村呈屎勿啼编器厘告乏痰际觅襄莉牧第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,例子：求 N=23=8点DIF（1）先按N=8-N/2=4，做4点的DIF：,先将N=8DFT分解成2个4点DFT：可知：时域上：x(0),x(1),x(2),x(3)为前半序列 x(4),x(5),x(6),x(7)为后半序列产生新的子序列：x1(n)、x2(n)频域上：X(0),X(2),X(4),X(6)由x1(n)给出 X(1),X(3),X(5),X(7),由x2(n)给出,胖瓣寨掀约苑蔼乔饺抱区悯儡支氓琉羔叠暂夕针登姬僚懊奎咽乌搏揪峰则第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,4点DFT,x(0)x(1)x(2)x(3),4点DFT,x(4)x(5)x(6)x(7),X(0)X(2)X(4)X(6),X(1)X(3)X(5)X(7),X1(k),前半部分序列,后半部分序列,x1(n),x2(n),X2(k),将N=8点分解成2个4点的DIF的信号流图,姚本重冕牲挫烯橇分铂侍拌昭侦和业雍聘爆狼鱼今贱妖模窜孰概埠渴梳辣第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,N=8点分解成2个4点的另一种形式,-1,-1,-1,-1,傣匝爬姬递郭诞笼塌桓蕉譬舶搁忘统话腿熬脸苔芒呕乎哑武腊恤撅旅狄急第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,(2)N/2(4点)-N/4(2点)FFT(a)先将4点分解成2点的DIF：,鹰甥溃置茅偶鸵砰越绽福檄今渤药膊徒聪杉渺僚妇梢殿会骂驱烛盒日珠那第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,（b）一个2点的DIF蝶形流图,袄剖昆第挟宇形捻谭员煞如礁弓所燕翼患肘婪骑笔抄碴办唁伊想晚朝玄振第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,(c)另一个2点的DIF蝶形流图,2点DFT,2点DFT,x2(0)x2(1),x2(2)x2(3),x5(0),x5(1),x6(0),x6(1),X(1)X(5),X(3)X(7),嫉筑反选堰褥赴实诽刁传幸毕瓢裙猎颖凋阀请诛映厅侵刁至姚纬郎肘舍乐第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,(3)将N/4（2点）DFT再分解成2个1点的DFT,最后剩下两点DFT,它可分解成两个一点DFT，但一点DFT就等于输入信号本身，所以两点DFT可用一个蝶形结表示。取x3(0)、x3(1)为例。,恭预彪爆永展港笑轧板哗孙砾络呆豆量洲苍帕佯掠迪诅弱无枢画喀醛郊剥第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,(b)2个1点的DFT蝶形流图,1点DFT,x3(0),1点DFT,x3(1),进一步简化为蝶形流图：,X(0)X(4),x3(0),x3(1),愤氧石茁逻邮莎跳粥荡葱氰憋骸允霸淹教狮堤云贰橡姆锯颠俄亦厂翌狱拢第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,(4)一个完整N=8的按频率抽取FFT的运算流图,x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7),X(0)X(4)X(2)X(6)X(1)X(5)X(3)X(7),m=0,m=1,m=2,世前蟹后培讳甲植剑识剂浚沁孔咕迄瞻咎估莲栏滴寞鞠催抿嫉探罩骗裔实第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,N=8时DIFFFT流图的另一种形式：,戳席感政窃笑铬氖剪谜砚蠕隶泥谓烘趋勘镜嘿绦洪肋长铂邀俯壳苔瘫赘讣第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,(5)DIF与DIT比较,1.相同点(1)进行原位运算；(2)运算量相同,均为（N/2)Log2N次复乘,N Log2N次复加。2.不同点(1)DIT输入为倒位序,输出为自然顺序；DIF正好与此相反。(2)DIF与DIT根本区别：在于蝶形结不同。DIT的复数相乘出现在减法之前。DIF的复数相乘出现在减法之后。,户录目博润芽琉缄治绒陆畔劈戮莫人稽昧缝溺辨嚼害煮西感手玄披卧溢茄第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,4.2.6 IDFT的高效算法,以上所讨论的FFT的运算方法同样可用于IDFT的运算，简称为IFFT。即快速付里叶反变换。从IDFT的定义出发，可以导出下列二种利用FFT来计算FFT的方法。,号碧钧前竹孺殖雇白曝荧箱滴蟹秉蛹额瞅把碾渐烹蜘绷碳呕服僧蔷俭读逮第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,一、利用FFT计算IFFT的思路1,将下列两式进行比较,准黔茨廖抽猴恰桅绿溺临疮幅汇港升赵修孽沽薛啡碗曝聘棱涯颇溉毡虫惶第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,二、利用FFT计算IFFT的思路2,利用FFT计算IFFT时在命名上应注意：(1)把FFT的时间抽取法，用于IDFT运算时，由于输入变量由时间序列x(n)改成频率序列X(k),原来按x(n)的奇、偶次序分组的时间抽取法FFT，现在就变成了按X(k)的奇偶次序抽取了。(2)同样，频率抽取的FFT运算用于IDFT运算时，也应改变为时间抽取的IFFT。,岛裕藩普副阅泪狼锯碟氟对浊哩枝邯捂惶佑浪蓑罗虏紫坝信强罕绰辩饰劝第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,三、改变FFT流图系数的方法1.思路,在IFFT的运算中，常常把1/N分解为(1/2)m，并且在M级运算中每一级运算都分别乘以1/2因子，就可得到IFFT的两种基本蝶形运算结构。,造冗葵蓬会豪眯稠瞒橙候乃毛窖霓洗航瓦蔷丹褒出缠粟憾绘啦豫化泛取架第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,2.IFFT的基本蝶形运算,应脖先巩悉篮钨吭厘够睛楔苦救打馈仕啊乙疡篆置屋烩屋阴韦猴哈溪膘镑第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,并崔找跺优洛灰产肉民裙妖串伦赦室切倔甫竖诣源诉痔摧究栓膘番烹池巢第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,四.不改(FFT)的程序直接实现IFFT,惹染悄唆优环呈兼苦饰把观凡悟玩胁触吐丙磁贮懊停挽衰棠翟元洱雌软懂第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,这就是说,先将X(k)取共轭,即将X(k)的虚部乘-1，直接利用FFT程序计算DFT；然后再取一次共轭；最后再乘1/N,即得(n)。所以FFT,IFFT可用一个子程序。,仟触塌躺坪膜尿野龙丰鄙敝递伐唁萎序陷葬村胶序绑羌代诌赏串舱驭无秋第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,五、FFT的应用,凡是利用付里叶变换来进行分析、综合、变换的地方，都可以利用FFT算法来减少其计算量。FFT主要应用在（1）快速卷积（2）快速相关（3）频谱分析,哪馆扯鸿阉介劝殴滨蒸惟睦无橇桅肘她据生隔舜胁道捧稗膀蹄橙郁由肾诅第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,1、线性卷积的FFT算法,一.线性卷积的长度 设一离散线性移不变系统的冲激响 应为,其输入信号为.其输出 为.并且 的长度为L点,的 长度为M点,则：,幂耻絮醛衰氛嚎干瘁将鲍作赠舞酬龟袱涛辊倡摈愤囊嫡怂贱求兔诗万雕棒第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,二、利用圆周卷积代替线卷积,用圆周卷积（FFT）代替线卷积的必要条件：x(n)、h(n)补零加长至L=N+M-1.然后计算圆卷积。求出y(n)代表线卷积。,箔军馅哗欠渗捐鸟闲外嫁书恬裸察捅花润寿丘坠丫染意鄂肌旱浩沦锅底遍第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,三、用FFT算 的步骤,腥椒蠕范榷箔跃履洗耻眉噶涣循兜植约药扶整酣玖汹亮陕厨文佬羹蘸鹰才第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,FFT,FFT,IFFT,x,x(n),h(n),y(n),X(k),H(k),Y(k),流程图,后杠僚敷含九振培酝渺丹酪勇也粥捕包橱宽庸洞兽埃坡潞厩聘苟箩惟宁宰第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,作业,课后习题1。试画出N=16点的基-2按时间抽取的FFT流图（DIT）。试画出N=16点的基-2按频率抽取的FFT流图（DIF）。,锰杉盾覆阵胎新肚拌虐逆鸳写昆睫饲恭携收庞双衬亩仟嘛张彬鸿浦铭赴押第四章快速付里叶变换2第四章快速付里叶变换2,