关于圆锥内切球的几个结论.docx

关于圆锥内切球的几个结论本文将介绍关于圆锥内切球的几个结论：一圆锥内有一个半径为R的内切球，如图是它的轴截面图形。已知圆锥的母线与底面的夹角为2。2R结论一：圆锥的母线长与底面半径之和等于tan°(1-tar?仍证明：设圆锥底面半径为L母线A8=AC=/,全面积为s,O为内切于圆锥的球心，延长AO交BC于D,则,BCD,E为切点，则OE±ACSlOD=OE=R,DC=r,ZDCO=，R,=tan6>ZODc=ZOEC=-在四边形ODCE中，2则0,D,C,E四点共园，所以OE=ZDCE=201在RfAOE中，AE=Rtan24即/一r=Rtan22Rtan IR2Ra/+r=AE+EC+DC=/?tan26+2r=1-tan2tan。tan(1-tan2)c2R22R313=结论二：圆锥全面积等于tanzea-tan?。)，体积V3tan26>(1-tan36>)/2= 7(/ + r)(/-r) = 1_tan26>S=r2+rl=r(l+r)=,，证明：tan8(l-tan-e)z1of1R22R2tR31v=-7ur"n=Tt=故33tan21-tan23tan2(l-tan2)tan=Smin=8R2,Vmin=R32min'minC时，圆锥的全面积，体积最小，3S=r1+rl=r(l+r)=,；-证明：tan*(ITair°),欲使S最小，只要分母最小,z12j1R22R2R31V=rh=T=乂33tan2l-tan23tan2(1-tan2)'：tan2(1-tan2=tan2tan4=-(tan°一，)+W.当tan?。=1，即tan。=乙时，S最小Smin=8?2,Vlljn=Ry22,V最小，3结论四：圆锥的全面积与球表面积之比等于圆锥体积与球体积之比，即：SV1S球表面积½2tan。(1-tan)证明：2XStan2(1-tan2)1S球表面积4jtR22tan2(l-tan2)2tR3V_3tan2g(l-ta2百_1½7OR3-2tan2(9(1-tan2<9)3.SV1S球表面积L2tan。(1-tarr)例1：轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为Iem,求球的体积?R4乃W=r=解：根据已知知6,tan。？，根据V=343cm所以V=27例2：球与它的外切等边圆锥的体积之比上V步4解:根据已知知6,据结论限2tan久】tan仍得：V9例3：半径为1的球内切于一个圆锥，求这个圆锥体积的最小值？tan=Vi=-R3-2minCC时，圆锥的体积最小，最小为3二3例4：圆锥外切于半径为R的球，求圆锥体积最小时的高？.a0J2Rtan=h=-解：由结论知当2时，圆锥体积最小，高l-tair8=4R