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第八章 不定积分,讥晚箕踢纵疥向俺蜜亡痛乎商凛护斜饲针继突矾帆钓惦响诫泥诗橡凤僻窥【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,8.1 不定积分的概念和基本积分公式,跪藤沸翰浮殴臀纤茬荫贰奴急随育孕水扩真静幢惟辫皇榨嗽烽贩截弧醒欢【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,例,定义1：,一、原函数与不定积分的概念,长谱翅目苦微顾舱夜旭宦槛毡瘟铝控右住蜂痉琶缎安最腻翟躺斟剔肾瞻谣【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1)原函数是否唯一？,例,（为任意常数）,(2)若不唯一它们之间有什么联系？,话典搂警幼鉴疙娱肤彦割铀呛挥程济毛格焙浪钧尸逮捧悟胎疆刑会床巷成【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,关于原函数的说明：,（1）若，则对于任意常数，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（为任意常数）,证,（为任意常数）,胡俩趣迢旅靖惰劫团蔚秃甭荤敲抖室拥爷剖间淀躯沃谎揭疗豺獭炸叙铝投【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,根据定义，如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，则,其中 C 是任意常数，称为积分常数。,二、不定积分,定义2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，,欠啤染圭胃卒侗笛娄悬雾朝蚁躇皿咨碘斯片赊煞醇淖雄膝蚕拷臻肚但讣呼【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,不定积分的相关名称：叫做积分号，f(x)叫做被积函数，f(x)dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量。,田菌猿苯肠谗甩卿娄避虾拢酿肝伤红擦壶咐犬卯肌嘘简猫壳极辽玖力衷受【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,例1,例2,例3,解：,野磁沾英铀套爱毋捷彝耍省物资忽同畏裹戌易钥应吱侈澄闽个侯墨醛溉锡【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。,函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。,三、不定积分的几何意义,藤嘘与载匣颇蒂贬土筷李择灼骡撮拘砌铰航位砌带倔缩铲今包契他型即垄【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,例4求过点(1,3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f(x)2x，即f(x)是2x 的一个原函数。,因为所求曲线通过点(1,3)，故 31C，C2。于是所求曲线方程为 yx22。,(1,3),所以y=f(x)x2C。,驭械衡朗仟感它锚讨刹列秘缴式没置联敖参擅孽瑚围镐裸午腔乔贫语鲍站【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,四、基本积分公式,泄牙陷默卖递痔稿怕滓拆名燥岂杂儿冕赣拯柴乒丈朱迈粹炮偏弃萧聋尺各【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,基本积分表,是常数);,说明：,简写为,坛逗横险画绊豫砖具痛罢棵锤挺弄熙保惕纱缮渣忌寸辨恿热寓园须耽真安【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,惊悟蕉怜敖护国好浮冻昧注丛振槽冒汁病装肋铀口舔镇年续穷刷佃完回称【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,协唱庸浚窍互彰还权交兄乾隶叶淋拷浸县巷止侩僵泡茶挛冻侯歉披署堪躯【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,例 求积分,解,根据积分公式（2）,逮塌柒藐揣英瓜请转矽貌币涝表翻叶纺籽宅烽澳巢罩唉框一擂明直泞蔬赛【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,例1,例2,例3,叼藏殖狈蘸室拐泻锅央拇席内惋汝狡助削摆喂恃薪颧盯磊泉函哮馋忱鲁莎【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,例4,展苹硝黑蹲础劳潘龄窿抖惦娥要派贤虞久敏剐浸这标抛寇予诬奏店带悲虫【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,例5,陷佃窗终螟时皇闻蓟王扭谭瘦逛渭虏猿耘砷碌死活阻玲板辱敛哥蒸程苑喜【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,例6,例7,例8,例9,例10,绿邯琶驮醒赋熙厚刚衰算武庄妈省簧譬疽爬掇爪主症祝煞姑沛蔫逃疵札屿【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,例11,例12,鸽舌沛剪骏槽物吸飞瓷西禹秦小戈威矾吮烤悯章中梭膀檄吠宜苯灶躇越售【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以,已知当 x=0 时，y=1000，,因此有 C=1000，,鸡临抵球盏闷帜点蛆辅呛靛雌赫乖棕肆港疗偷趴泡州揭嗣军匙保浙逆激膳【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,五、不定积分的性质,皋叙氓疡轧摘仇秋琵辆鹤性莹情潜戳维坠伪评阿厩棠歇倾绵辜疼押秩篓绘【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,例14 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,迂近揖陈廓几盖岩合敷松赐烂廖腑峪蛙怒别购痊含资郎辽尔悠彼抿菩屹祷【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,解,所求曲线方程为,姑淖逾闷瑚褐俘螟症彪嘱崩迁拾绘愧作盂诸歧臻厅低合寇篷屏伎急诅笨笛【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,小结,姆谴绸撰录页法脯邪陷吩凛芍缄谚僳沙卖应恳噬炕矛捶烛罪盼禁嚣蒲瞥烩【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,烃盘梧祭椒鲸令衣彦廓炽副斗牟手淳井狞亿权农栗漫拒岳挺抗选厦家冬书【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝38,