第四投影基础.ppt

1,第四章 投影基础,2,这部分是绘图和读图的理论基础,本章主要学习用正投影法表达空间形体的基本原理及其作图方法。,1、投影法的基本知识,了解投影的一般知识，掌握正投影法的基本概念。,2、点、线、面的投影,3,4.1 投影体系的建立,投影方法,中心投影法,平行投影法,直角投影法（正投影法）,斜角投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,1、中心投影法：,全部投影线都 从一点投射出。,H,特性：投影大小与物体和投影面之间距离有关。,4.1.1、投影法,投射中心,投射线,2、平行投影法：所有投影线都相互平行。,1）、正投影法：（主要学习此种投影方法）,投射线互相平行且垂直于投影面,特性：投影大小与物体和 投影面之间距离无关。,投射方向,2）、斜投影法：投影线倾斜于投影面,投射线互相平行但不垂直于投影面,特性：投影大小与物体和 投影面之间距离无关。,7,使用正投影法时把物体放在观察者和投影面之间，观察者的视线代替投射线，并假想视线互相平行，且垂直于投影面，这样得到的图形，称为正投影图。,4.1.2 正投影图,8,4.1.3 投影体系,投影的基本性质：1、真实性 2、积聚性 3、类似性,一个视图不能完整地反映物体的空间形状,9,1.实形性,H,当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。,10,H,2.积聚性,当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。,11,3.类似性,H,当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。,物体的三面投影图,1、三面投影图的形成,三投影面体系由三个相互垂直的投影面所组成,正立投影面简称正面。,水平投影面 简称水平面。,侧立投影面简称侧面。,两投影面的交线称为投影轴OX、OY、OZ。,V,H,W,X,Y,Z,O,2、物体在三投影面体系中的投影,正面投影由前向后投影；水平面投影 由上向下投影；侧面投影由左向右投影。,3、三投影面的展开,V,H,W,O,X,YH,Z,YW,侧面W绕 OZ轴向右旋转90。,水平面H绕OX轴向下旋转90。,规定：正面V保持不动。,O,14,4、位置关系和投影关系：,5、方位关系,俯视图在主视图的下方左视图在主视图的右方主、俯视图长对正（等长）主、左视图高平齐（等高）俯、左视图宽相等（等宽）,主视图反映物体的上下和左右俯视图反映物体的前后和左右左视图反映物体的前后和上下注：俯、左视图靠近主视图的一边，表示物体的后表面；远离主视图的一边，表示物体的前表面。,15,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,点在一个投影面上的投影,a,4.2 点的投影,4.2.1点在两投影面体系中的投影,过A作垂直于V、H面的投射线A a、Aa，分别与H面交于a，与V面交于a，a、a即为点A的两面投影。,实际作图时不画投影面边框。,ax,点的两面投影规律：,（1）、点的两面投影连线垂直于相应的投影轴，即 aaox；（2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离，即：aax=Aa aax=Aa,19,投影面,正面投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧面投影面（简称侧 面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,4.2.2 点在三投影面体系中的投影,20,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,21,a 由点A的x、y值确定，a由点A 的x、Z确定，a由点A的y、z值确定。,22,4.2.3 投影面和投影轴上的点,1 投影面上的点有一个坐标为零,2 投影轴上的点有两个坐标为零,点A的x坐标值=oax=aay=aaz=Aa反映点A到W面的距离。Y坐标值=oay=aax=aaz=Aa反映点A 到V面的距离。Z坐标值=oaz=aax=aay=Aa反映点A到H面的距离。,a 由点A的x、y值确定，a由点A 的x、Z确定，a由点A的y、z值确定。,4.2.4 点的三面投影与直角坐标的关系,例1、已知点的坐标值为：A（20，10，15）和B（0，15，20）求它们的三面投影图。,解：（1）量取坐 标值；,a,a,a,b,b,b,（2）作点的 投影。,例2、已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断点对投影面的相对位置。,a,b,c,点A的三个坐标值均不为0，A为一般位置。,点B的Z坐标为0，故点B为H面上的点。,点C的x、y坐标为0，故点C为z轴上的点。,1、两点的相对位置 要在投影图上判断空间两点的相对位置，应根据这两点在每个的面投影关系和坐标差来确定。,例：由投影图判断A、B两点的空间位置。,（1）由A、B两点V、H面投影可确定点A在点B左方。,（2）由A、B的H、W面投影可确定A在B前方。,（3）由A、B的V、W面投影可确定A在B下方。,因此点A位于点B左、前、下方。,4.2.5 两点的相对位置和重影点,2、重影点,重影点空间两点在一个面的投影重合于一点叫做重影点。,如图：C、D两点的水平投影证明影为一点。,c,（d）,c,d,又因点C在点D的正上方，C点可见，D点被遮盖。,作图时不可见点加括号。,结论：如果两个点的某面投影重合时，则对该投影面的投影坐标值大者为可见，小者为不可见。,例：已知点D 的三面投影，点C在点D的正前方15mm，求作点C的三面投影，并判别其投影的可见性。,解：,由已知条件知：XC=XD ZC=ZD YC-YD=15mm点C、D在V面上的投影重影。,c,c,c,又YC YDC的V面投影为可见点，则D的V面投影为不可见点。,(),29,1、点A在V面上，故 YA=02、点B在X轴上，故ZB=YB=03、点C在原点上，故 Zc=Yc=Xc=0,点A在点B的上方（ZAZB)点A在点B的右方（XAXB)点A在点B的前方（YAYB),点A在点B的正前方(XA=XBZA=ZB,YAYB)点A和点B称为V面上的重影点。,30,4.3.1、各种位置直线的投影特性,4.3 直线的投影,1、直线对一个投影面的投影特性,直线的投影一般情况下仍为直线，在特殊情况下聚为一点。1）、直线平行于投影面,a,b,A,B,H,在该面上的投影ab反映空间直线AB的真实长度。即：ab=AB,2）、直线CD垂直于投影面在该面上的投影有积聚性，其投影为一点,H,C,D,c（d）,3）直线EF倾斜于投影面 在该面上的投影长度变短，即：ef=EF cos,E,F,e,f,H,33,2、直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,34,反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。,1.投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,另外两个投影，,在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,1、投影面垂直线,1）、铅垂线：直线H面，V、W面。,水平投影积聚为一点。,ab=ab=AB,ab OX，ab OYW,2）、正垂线：直线V面，H、W面。,正面投影积聚为一点。,cd=cd=CD,cdOX，cdOZ,3）、侧垂线：直线W面，H、V面。,侧面投影积聚为一点。,ef=ef=EF,efOYH，efOZ。,38,1、V面投影积聚为一点。2、a b=ab=AB=实长3、abOX轴,a b OZ 轴=90、=0,1、H面投影积聚为一点。2、a b=ab=AB=实长3、ab OX轴,a b OY W 轴=90、=0,1、w面投影积聚为一点。2、ab=ab=AB=实长3、abOYH轴,ab OZ 轴=90、=0,39,2.投影面平行线,在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角:与V面的角:与W面的夹角:,实长,实长,实长,1）、水平线：平行于H面，对V、W面倾斜,水平投影ab=AB,正面投影abOX，侧面投影abOYw,ab与OX、OYH的夹角、等于AB对V、W面的倾角。,2）、正平线：平行于V，对H、W倾斜,c,d,c,d,c,d,正面投影cd=CD,水平投影cdOX侧面投影cdOZ,cd与OX、OZ的夹角、等于CD对H、W面的倾角。,3）、侧平线：平行于W面，对V、H面倾斜,侧面投影ef=EF,水平投影efOYH，正面投影efOZ。,ef与OYW、OZ的夹角、等于EF对V、H面的倾角。,43,1、ab=AB=实长2、abOX轴,a b OZ轴3、=0、反映实际大小,1、ab=AB=实长2、ab OX轴,a b OYW轴3、=0、反映实际大小,1、a b=AB=实长2、ab OZ轴,ab OYH轴3、=0、反映实际大小,44,投影面平行线的投影特性,1、直线在所平行的投影面上的投影反映直线的实际长度。,2、直线在另外两个投影面上的投影平行于相应的轴（所平行投影面上的坐标轴）。,45,3.一般位置直线,投影特性：,三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。,46,一般位置直线的投影，既不能反映该线段的实长，又不能反映该线段对投影面的倾角。本节介绍用直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。,4.3.2、一般位置直线的实长及对投影面的倾角,47,一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投影面的倾角。1.几何分析 2.作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。3.直角三角形的四个要素 实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。,48,49,为求得线段AB的实长，过A点作ACab，则得到直角三角形ABC，在该三角形中ACab，BCBbAaZ(A、B两点的Z坐标差)，而BAC即角，斜边即AB实长,以ab为一直角边，以Z为另一直角边，作出直角三角形aB1b，则在该直角三角形中，aB1边长为线段AB的实长，baB1为线段AB的角,50,例已知线段AB25mm及其投影ab和a，试求该线段的V投影ab,利用ab和AB25mm，确定A、B两点的高标差bB1，从而求出b(有两解)，或利用Y和AB25mm，确定ab的长度，求出b,51,4.3.3、直线上的点几分割线段成定比,1、从属性：点在直线上，点的各面投影必定在该直线的同面投影上；反之，点的各面投影均在直线的同面投影上，则该 点必在此直线上。,2、定比性：,直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。,即：AK:KB=ak:kb=ak:kb=ak:kb,例1、试在直线AB上取一点C，使AC:CB=1:2，求作C点。,解：分点C的投影必在AB的同面投影上。且 ac:cb=ac:cb=1:2,1,2,3,c,c,例2、已知直线CD及点M的两面投影，判断 M是否在CD上。,解1、,作侧平线CD和点M的侧面投影，,由作图知点M的侧面投影不在cd上，所以M不在CD上。,c,d,m,解2、,在H面作任一直线cE，使cE=cd。并截取cM1=cm,E,M1,连dE，过M1作dE的平行线与cd交于m1,m1,因为m1与m不重合，所以M不在CD上。,空间两直线的相对位置分为 平行、相交、交叉,1、平行两直线：,投影特性：空间两直线相互平行，它们的各组同面投影必定相互平行。,a,b,c,d,反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定平行。,平行的两直线是共面的直线。,4.3.4、两直线相对位置,2、相交两直线,a,b,c,d,k,K是两直线的共有点，K在平面上的投影k必在ab上，又必在cd上。,交点K的三面投影符合点的投影规律。,相交的两直线是共面的直线。,a,b,c,d,k,3、交叉两直线,在空间即不平行也不相交的两直线为交叉两直线。同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。,如图示,AB两面投影的交点连线不OX轴，为交叉两直线。,交叉的两直线是异面的直线。,投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。,对重影点应区分其可见性，即根据重影点对同一投影面的坐标值大小来判断坐标值大者为可见点，小者为不可见点。,1,1,2,2,3,3,4,4,(),(),例1、判断两直线的相对位置,交点的连线垂直于OX，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两直线。,ab与cd在一直线上，而abcd，两直线平行。,CD为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断。为交叉两直线。,E,m,k,例2、过C点作水平线CD与AB相交。,d,d,先作CD的正面投影,k,k,例3、已知：两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，试作一直线MNCD并与直线AB相交于N点。,n,n,m,作图：过m作mncd，并与ab交于n；由n求出n；过n作nmcd，求得m。,64,两直线相交成直角的投影,当两直线相交成直角时，如果两直线平行于某一投影面，则两直线在该投影上的投影的夹角仍为之直角。如果两直线相交成直角，且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上仍然反映直角关系。如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面的投影的夹角不是直角。,65,例4 过点A 作EF 线段的垂线AB。,66,例 5 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。,O,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。点分割直线成定比定比定理。,小 结,68,4.4 平面的投影,4.4.1、平面的表示法,1、几何元素表示法,几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：（1）不在一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）相交两直线；（4）平行两直线；（5）任意平面图形。平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。,69,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,c,70,2、轨线表示法,平面与投影面的交线，称为平面的轨线。轨线是投影面上的直线，分别在相应的投影轴上，不作任何表示和标注。,平面和投影面的交线，称为平面的迹线,平面和H面的交线，称为水平迹线，和V面的交线，称为正面迹线，和W面的交线，称为侧面迹线。,71,两相交迹线,两平行迹线,铅垂面,正垂面,侧垂面,水平面,正平面,侧平面,平行于某一投影面,垂直于某一投影面,对三个投影面都倾斜,4.4.2、平面的投影特性,1 平面对一个投影面的投影特性,平面的投影一般仍是相类似的平面图形，在特殊情况下积聚为直线。1）平面平行于投影面,A,B,C,a,b,c,H,投影abc反映空间平面ABC的真实形状。,2）、平面垂直于投影面,D,E,F,d,e,f,H,在投影面上的投影积聚为直线。,3）平面倾斜于投影面,K,L,M,K,l,m,H,投影klm面积变小。,1、投影面垂直面,垂直于某一个投影面，而倾斜于其余两个投影面的平面为投影面垂直面。,垂直的投影面上投影有积聚性,其余两投影面的投影为类似形,2 平面在三个投影面的投影特性,投影面垂直面的投影特性：平面在所垂直的投影面上的投影积聚 为直线；其余两投影面仍为原形的类似形，但比实形小；平面具有积聚性的投影与投影轴的 夹 角，分别反映平面与相应投影面的倾角。,2、投影面平行面,平行于某一个投影面的平面称为投影面平行面，该平面必然垂直于其余两个投影面。,在所平行的投影面上的投影反映实形,积聚为直线，并平行于相应的投影轴,79,V面投影反映实形，H、W投影积聚成一条直线，且分别平行与OX轴、OZ轴,YW,H面投影反映实形，V、W投影积聚成一条直线，且分别平行与OYW轴、OX轴,W面投影反映实形，V、H投影积聚成一条直线，且分别平行与OYH轴、OZ轴,投 影 特 性,平面在所平行的投影面上的投影反映 实形；其余两投影积聚为直线，并分别平 行于相应的投影轴。,3、一般位置平面,对三个投影面都倾斜的平面。其特性为：1、它的各面投影均不反映实形，也不具有积聚性。2、不直接反映该平面与投影面的倾角。,4.4.3、平面上的点和直线,1、平面上的点和直线定理一：若点在平面内，它必在平面内的一条直线上。定理二：若一直线过平面内的一点，且平行于该 平面上另一直线，则此直线在该平面内。定理三：若直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,83,（1）平面上取直线,取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。,A,B,C,例1、已知ABC平面内点K的V面投影k，求作K的H面投影。,解1,解2,d,d,k,k,k,m,m,k,例2、已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完成H 面投影。,解1,d,e,e,解2,e,e,d,2、平面上的投影面平行线,凡在平面上且平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面平行线。,平面内的水平线直线在平面内，又平行于水平面的直线。,平面内的正平线直线在平面内，又平行于正面的直线。,平面内的侧平线直线在平面内，又平行于侧面的直线。,例3、作ABC平面内的正平线，它距V面为8mm。,因为正平线的水平投影平行于OX，先作34OX，使其距V面8mm，再求出34。,3,4,3,4,例4、在ABC内取一点K，使点K距V面8mm，距H 面12mm。,解：,1,2,2,1,3,3,4,4,k,k,3、过点、直线作平面,1）、与投影面平行的圆 当圆平行于某一投影面时，圆在该投影面上的投影仍为圆，其余两投影积聚为直线，其长度等于圆的直径，且平行于相应的投影轴。,4、特殊位置圆的投影特性,2）、与投影面垂直的圆,当圆与投影面垂直时，圆在它所垂直的投影面上的投影积聚为直线，其余两投影为椭圆。,91,重点掌握：,三、如何在平面上确定直线和点。,二、熟悉各种位置平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,一、掌握（以平面图形的表示为主）在第一 角中三面投影的作图方法。,92,要 点,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性。另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性。另外两个投影积聚为直线。,93,二、平面上的点与直线,4.5 直线与平面、平面与平面 之间的相对位置,4.5.1、直线与平面、平面与平面平行 1、直线与平面平行定理：直线平行于平面上的某一条直线。即：如果直线平行于平面，则直线的各面投影必与平面上一直线的同面投影平行。,95,由于efbd，efbd，即EFBD，且BD是ABC平面上的一直线，所以，直线EF平行于ABC平面。,96,例1试过K点作一水平线，使之平行于ABC,先在ABC上作一水平线，如直线AD（ad，ad）；再过点K（k，k），作klad，klad，则直线KL（kl，kl）为所求。,97,例2试过K点作一正平线，使之平行于P平面,因PV是P平面上特殊的正平线，所以过点K（k，k）作KLPV，即作klPV，klX轴，则直线KL（kl，kl）为所求。,98,例3试过K点作一铅垂面P(用迹线表示)，使之平行于AB直线,由于铅垂面的H投影为一直线，故若作铅垂面平行于AB直线，则PH必平行于ab。因此，过k作PHab；过PX作PVX轴，则P平面为所求。,99,当直线与垂直于投影面的平面平行时，在平面垂直的投影面上，直线的投影平行于平面有积聚性的同面投影。,2、平面与平面平行,几何条件：1）、若一个平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则两平面相互平行。,2）、若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,101,两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。,ABA1B1，BCB1C1，所以，平面ABC和平面A1B1C1相平行,102,两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相平行。因此，两平行平面的同面迹线一定平行。,如图所示，P面平行于Q面，则PVQV，PHQH。,例3、过点K作平面平行于ABC,解：,分析：按几何条件，只要过点K作两相交直线KL、KH对应地平行于已知平面的一对相交直线，此平面即为所求。,作图：KLAB，KHBC。,l,l,h,h,例4、判别如图所示的两平面是否平行。,解：,因两平面均为铅垂面，在H面的投影互相平行，所以两平面平行。,4.5.2、直线与平面、平面与平面相交1、直线与平面相交 交点是直线与平面的共有点。讨论：（1）求直线与平面的交点；（2）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。,1）、一般位置直线与特殊位置平面相交,例1、求直线AB与铅垂面DEF的交点K，并判别可见性。,分析：因DEF的水平投影def有积聚性，交点K是DEF内的点，它必在def上，又因K是AB上的点，它的水平投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k。,k,1,1,(2),2,例2、求直线AB与水平面的交点K，并判别 可见性。,k,由图知：圆平面是水平面，其正面投影有积聚性，可先求出V面的投影k，再求出H面投影k。,由于ak在水平面的上方，故水平投影ak可见，kb被圆遮住的部分为不可见。,2）、特殊位置直线（垂直线）与一般位置 平面相交 例3、求铅垂线DE与ABC的交点K，并判别可见性。,借助于辅助线的方法求出交点。,n,n,判别可见性：由V面的bc与de的重影点1(2)求出H面的1在直线DE上，2在BC上，1的Y坐标大于2，所以dk可见，ke被遮住部分不可见。,k,1,(2),1,2,例4、求直线MN与平面ABC的交点。,n,d,d,k,作图：连ck与ab交于d，由d求出d，连cd交mn于k。k为所求。,判别可见性：在H面中mn与ac的交点1（2），即是直线MN与平面上AC边对H 面的重影点，求出1、2；因1的Z坐标大，所以kn可见。,1,1,(2),2,2、平面与平面相交 两平面相交，其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点是两平面的共有点。,讨论：A、求两平面的交线（方法）1）、确定两平面的两个共有点；2）、确定一个共有点及交线的方向。B、判别可见性。只讨论有一个平面处于特殊位置的情况。,分析：ABC与DEF交线的正面投影为mn DEF的DE、EF的正面投影df、ef 与ABC的正面投影的交点，由mn求出m、n，mn为可见与不可见的分界线。,判别可见性：V面mnf 在abc的上方，mnf 可见，demn被ABC遮挡部分为不可见。,m,m,n,n,例5、平面ABC为投影面平行面与一般位置平面DEF相交，求交线并判别可见性。,例6、求平面ABC与铅垂面DEF的交线KL，并判别可见性。,分析：DEF是铅垂面，其水平投影有积聚性。可直接求出k、l，再由k、l求出k、l，交线是可见与不可见的分界线。,k,l,113,4.5.3 垂直,直线与平面垂直的几何条件是：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。,AB、CD为两相交直线，而KLAB，KLCD，则KLP,如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线,1 直线与平面垂直,114,直线AB和AC分别是ABC平面上的水平线和正平线，若直线AD垂直于ABC平面，则根据直角定理有：adab，adac,115,当平面用迹线表示时，因PH、PV是P面上特殊的水平线和正平线，所以直线KLP时，应当有klPH、klPV。,116,例1试求点K到ABC的距离,分析：求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线，并求出垂线与平面的交点(垂足)，然后确定该点到垂足之间线段的实长。,117,1）在ABC上任作一水平线BD（bd，bd）和正平线AE（ae，ae）；,2）自K点向BD、AE引垂线，即作klbd，klae，得垂线KL（kl，kl）；,118,3）过KL作辅助面P，求出垂足F（f，f）；,4）用直角三角形法求出KF的实长K1f，则K1f即为所求的距离。,119,例2求A点到P平面的距离,1）作AKP；,2）过AK作正垂辅助面Q；,3）求平面P、Q的交线MN；,4）求MN与AK的交点K；,5）求AK实长kA1。,120,在投影图上，除了可用一组几何元素或平面迹线表示平面外，尚可用平面的法线表示平面。用法线表示的平面称为法线平面。法线平面的三个投影用n、n、n标注。,例3已知一个过A点的法线平面(N为法线)，试将该平面转换成由两条相交直线表示的平面,121,1）过A点作水平线AK，使akn；,2）过K点作正平线KL，使kln；,3）KA、KL两相交直线即为所求。,122,2 平面与平面垂直,如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面（图a）；反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上（图b）。,(a),(b),123,例1试过EF直线作一平面垂直于ABCD平面,解：自EF直线上的任一点E，向ABCD平面作垂线EH，则FEH平面垂直于ABCD平面，即为所求。,124,例2试判断ABC、DEL两平面是否相互垂直,1）自DEL上任一点，如E点，作直线EF垂直于ABC；,2）在EF上除E点外，任取一点，如F点，检查F点是否在DEL平面上。由图可见，F点不在DEL平面上，故两平面不垂直。,小 结,掌握：1、平面投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性；2、如何在平面上确定直线和点；3、两平面平行的条件；4、直线与平面、平面与平面相交的解题思路：空间及投影分析，其目的找出交点或交线的已知投影；判别可见性,126,P21 17,22,23(1,5,6)26,36,37,