电路7章1syl.ppt

7 正弦稳态分析,71 正弦量72 正弦量的相量表示法73 正弦稳态电路的相量模型74 阻抗和导纳75 正弦稳态电路的相量分析法76 正弦稳态电路的功率77 三相电路78 非正弦周期电路的稳态分析,周期信号：,T：周期,即信号重复出现时所经过的最短时间间隔。单位：s。,当变化的信号经过相同的时间间隔，瞬时值以同样的值和时序重复出现，称为周期信号。,周期信号的平均值：周期信号在一个周期内的平均数值。,数学表达式为：,正弦信号：,信号随时间按正弦规律周期性变化。,周期信号按变化规律分为：,正弦交流信号：,平均值为0的周期信号称为交流信号。,如交流信号按正弦规律变化，称为正弦交流信号。,工频：电力系统采用的交流电频率，标准 频率。,正弦信号和非正弦信号,本章研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应。,正弦稳态电路：,在线性时不变电路中，在正弦信号激励下，各响应皆与激励按同频率的正弦规律变化，称电路为处于正弦稳态。,71 正 弦 量,正弦量：按正弦规律随时间变化的物理量。,7-1-1 正弦量的三要素,取定参考方向和初始时刻下，正弦量瞬时值的函数式定义为：,称为正弦量的三要素，唯一地确定一正弦量。,振幅Fm：整个变化过程所能达到的最大值；,初相：正弦量在起始时刻的相位角，反映了正弦量的初始值，定义为：,T周期；秒（s）,定义为完成一个循环所需的时间。,波形图表示如下（以电流为例）：,(a)0(b)=0(c)0,T=1/f,例1 已知正弦电压的振幅为10伏，周期为100ms，初相为/6。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。,函数表达式为,解：角频率,例2(书例7-1)试求正弦量 的振幅Fm、初相与频率f。,解：将正弦量表达式化为标准形式：,Fm=10，=/3rad,=100rad/s,f=/2=50Hz,由波形图确定正弦量的初相：,正弦量的波形上距原点最近的正峰值点与原点间的距离即为正弦量的初相。,如从该点到原点的走向与时间轴方向一致，则初相为正值；否则，为负值。,(a)0(b)=0(c)0,正弦稳态电路中，各电压电流都是频率相同的正弦量，常常需要将这些正弦量的相位进行比较。,电流i1(t)与i2(t)间的相位差为,7-1-2 正弦量间的相位差,两个正弦量的相位之差，称为相位差。,如两个同频率的正弦电流：,相位差是衡量两个正弦信号在时间上的超前或滞后关系的依据：,上式表明：,两个同频率正弦量在任意时刻的相位差等于它们初相之差，与时间t无关。,当=1-20时，表明i1(t)超前i2(t)，超前的角度为。,当=1-20时，表明i1(t)滞后i2(t)，滞后的角度为|。,(a)电流i1超前于电流i2,(b)电流i1滞后于电流i2,当=1-2=0时，i1(t)与i2(t)同相；,当=1-2=时，i1(t)与i2(t)反相；,当=1-2=/2时，i1(t)与i2(t)正交。,(c)同相(d)正交(e)反相,注意：,是时间t的函数，不再等于初相之差。,频率不同的两个正弦间的相位差为:,例3 已知正弦电压u(t)和电流i1(t),i2(t)的表达式为,试求:u(t)与i1(t)和i2(t)的相位差。,u(t)与i2(t)的相位差为,解：u(t)与i1(t)的相位差为,习惯上将相位差的范围控制在-180到+180之间。,如：我们不说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为-240，而说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为(360-240)=120,即：u(t)超前于i2(t)120。,u(t)与i2(t)的相位差为,周期信号：,随时间按一定规律作周期性变化的物理量。,在工程技术上，用有效值表示周期信号的大小。,“有效”的含义是指与直流信号相比在作功上的等效。,将直流电流I和正弦电流i(t)通过电阻R时的功率和能量作一比较，导出正弦电压电流的有效值：,7-1-3 正弦量的有效值,电阻R通过直流电流I时，,吸收的功率：P=I2R,周期T内获得的能量：W=PT=I2RT,电阻R通过周期电流信号i(t)时，,当直流电流I和周期电流i(t)通过同一电阻R时，假设它们在一个周期的时间内获得相同的能量，即,吸收的功率：p(t)=i2(t)R，时间的函数;,一个周期T内获得的能量为,由此解得,即，瞬时值的平方在一个周期内的平均值再开方，为有效值，又称为电流i(t)的方均根值。,有效值的定义：,周期信号通过一线性时不变电阻R时在一个周期内消耗的能量，与一直流信号通过同一电阻时在相同的时间内消耗的能量相等，则称此直流信号的数值为该周期信号的有效值。,正弦电流i(t)=Imcos(t+)的有效值(方均根值):,正弦电压u(t)=Umcos(t+)的有效值为,结果表明：,振幅为Im的正弦电流与数值为I=0.707Im的直流电流，在一个周期内，对电阻R提供相同的能量。,也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的0.707倍，或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的 倍。,注意：工程上所说的周期信号的量值，如无特殊说明，通常是指有效值。,对于半波整流波形，其表达式：,可得：半波整流波形的有效值是振幅值的0.5倍。,由此可见：,(1)正弦量的有效值只与振幅值有关，与角频率和初相无关；,(2)非正弦周期量的有效值没有上述关系，需要单独计算。,正弦电路稳态分析，就是要找出正弦稳态电路的变化规律，即描述正弦稳态电路的常系数微分方程的解。,其完全解由两部分构成：,一部分对应齐次方程的通解，它只与电路结构和元件参数有关，与激励无关。,另一部分对应非齐次方程的特解，它取决于激励。,简单的方法：相量法。,相量：用复平面(二维空间)中的复常数表示正弦量的振幅（有效值）和初相。,7-2 正弦量的相量表示法,复数：,其中：、为实数;称为实部，称为虚部；是虚数单位。,相量图：,为了形象描述各个相量(表示正弦量)之间的相位关系，把一些相量画在同一张复平面内。,参考相量：上图中假设为零相位的相量。,是一个直角坐标平面，横坐标表示实数轴，纵坐标表示虚数轴。,复平面：,复数的几种表示形式：,直角坐标形式：A=a1+ja2,三角形式：A=a(cos+jsin),指数形式：A=aej,极坐标形式：A=a,a1=acos a2=asin,形式间的转换关系：,分析正弦稳态的有效方法是相量法(Phasor method)，其基础是用相量（向量）或复数来表示正弦量的振幅和初相。,称为：f(t)的振幅相量,正弦量的相量表示,有效值相量,或完全能表示正弦稳态电路中的正弦量。,正弦量f(t)是以角速度沿反时针方向旋转的旋转相量 在实轴投影。即：,正弦量与其相量的对应关系：,正弦量在任何时刻的瞬时值等于对应旋转相量同一时刻在实轴上投影。,一个按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个相量(复常数)来表示：,已知正弦量的时间表达式，可得相应的相量（相量表达式）；,已知电压电流相量，加上角频率，就能写出正弦电压电流的时间表达式(两者存在一一对应关系)，即：,或：,显然，有,一般地：,可以任意选用振幅相量或有效值相量来表示同一个正弦量；但选用有效值相量更为普遍些。,在没有特指的情况下，指的是有效值相量。,注意：,相量表示不涉及角频率，故还要给出角频率。,(2)相量与正弦量之间，只是一种对应关系，不是直接相等。,(3)同一个电路的分析中，只能选用一种系统。,正弦量的相量表示法,例4 已知电流i1(t)=5cos(314t+60)A,i2(t)=-10sin(314t+60)A。写出它们的相量，画出相量图，并求i(t)=i1(t)+i2(t)。,解：,方法一：可直接用三角函数两角和的关系进行运算；,方法二：用相量法进行运算：,可得电流的表达式为,同频率的正弦量相加减，其结果仍是一频率相同的正弦量。,相量图如图所示。,相量图的另一个好处是可以用向量和复数的运算法则求同频率正弦电压或电流之和：平行四边形法则。,从相量图容易看出各正弦电压电流的相位关系：,i2(t)超前于 i1(t)90。,相量的运算：,(1)加减：实部与实部相加减，虚部与虚部相 加减。,(2)乘除法：通常用指数形式或极坐标形式，模相乘/除，辐角相加/减。,(3)微分：正弦量对时间取导数，相当于对应 相量乘以的运算。,(4)积分：正弦量对时间取积分，相当于对应 相量乘以 的运算。,73 正弦稳态电路的相量模型,电路中全部电流都具有同一频率，则可用振幅相量或有效值相量表示：,7-3-1 基尔霍夫定律的相量形式,KCL:,代入KCL中得:,相量形式的KCL定律：,对于具有相同频率的正弦电路中的任一节点和封闭面，流出该节点和封闭面的全部支路电流相量的代数和等于零。,1 流出节点的电流取+号，流入节点的电流取-号。,注 意：,2 流出任一节点的全部支路电流振幅值(有效值)的代数和并不一定等于零。即,一般情况下:,解：根据图(a)电路的时域模型，得图(b)所示的相量模型将时域模型中各电流符号用相应的相量符号表示。,有效值相量,列出相量模型图中节点1的KCL方程：,由此可得,相量图如右图所示，用来检验复数计算的结果是否基本正确。,KVL:,相量形式的KVL定律：,相量形式：,对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压相量的代数和等于零。,1 与回路绕行方向相同的电压取+号，相反的电压取-号。,注意,2 沿任一回路全部支路电压振幅值(有效值)的代数和并不一定等于零，即一般来说：,例6 求uS(t)和相应的相量，并画出相量图。已知,解：根据电路的时域模型，画出其相量模型图,并计算出电压相量。,在相量图中，列出的相量形式KVL方程；,由相量得时间表达式；,各相量的关系如右图,1 电阻元件伏安关系的相量形式,当电流i(t)=Imcos(t+i)时，电阻上电压电流关系：,关联方向下，电压和电流是同频率的正弦时间函数，其振幅或有效值之间服从欧姆定律，且相位差为零(同相)，即,7-3-2 电路元件伏安关系的相量形式,电阻伏安关系时域形式：,关联参考方向下电阻伏安关系的相量形式为,这是复数方程，同时提供振幅之间和相位之间的两个关系，即：,(1)U=RI(2)u=i,电阻元件的时域模型及反映电压电流关系的波形如下图示：,可见：在任一时刻，电压的瞬时值是电流的R倍，电压与电流同相位。,相量模型如图(a)所示，反映电压电流相量关系的相量图如图(b)所示，由此可看出电阻的电压与电流的相位相同。,正弦稳态电路中，关联方向下电阻上的电压和电流是同频同相的正弦量，且它们的有效值或振幅之间服从欧姆定律。,2 电容元件伏安关系的相量形式,当u(t)=Umcos(t+u)时,关联方向下，电容的电压和电流是同频率的正弦量，它们振幅或有效值以及相位间的关系为：,电容电压电流关系为,电容元件的时域模型如图(a)所示，电压电流的波形图如图(b)所示。,由此可看出电容电流超前于电容电压90,关联参考方向下电容元件电压和电流的相量形式：,这个复数方程包含振幅间与幅角间的关系。,或,3 电感元件伏安关系的相量形式,当 i(t)=Imcos(t+i)时,关联方向下电感的电压和电流是同频率的正弦量，它们振幅或有效值以及相位间的关系为：,电感伏安关系的时域形式：,伏安关系的波形如图(b)。,电感元件的时域模型如图(a)所示,可看出电感电压超前于电流90，当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值。,关联参考方向下电感元件电压和电流的相量关系式：,电感元件的相量模型如图(a)，伏安相量关系图如图(b)所示。,KCL、KVL和元件VCR的时域和相量形式：,例7 图示电路，已知,求:u1(t),u2(t),u(t)的有效值相量。,解：相量模型如图(b);,根据相量形式的KCL求电流相量,由相量形式的VCR，得：,根据相量形式的KVL，得到:,时域表达式:,串联电路画相量图时选电流为参考相量；,解:相量模型如图(b);,电压源相量:,相量形式的KCL，得到,根据RLC元件相量形式的VCR方程求电流：,时域表达式：,相量图如图(c)所示：,并联电路画相量图时选电压为参考相量；,一、R、L、C元件VCR的相量关系如下：,7-4 阻抗与导纳,电阻 容抗 感抗,电流、电压是同频率的正弦量，且参考方向关联，VCR为：,(与无关)(与成反比)(与成正比),电压相量与电流相量之比,一无源二端网络N0,电流相量与电压相量之比,在关联参考方向下：,阻抗,导纳,显然有：,单位：,单位：S,R、L、C元件电压与电流相量间的关系类似欧姆定律：,电压与电流相量之比是一个与时间无关的量,只与角频率有关；,在正弦稳态电路中，任意一个无源二端网络的相量模型可等效为一个阻抗或导纳。,欧姆定律的相量形式：,R、C、L元件的阻抗如下：,称为电阻,称为感抗,称为容抗,R、C、L元件的阻抗是一个与时间无关的量，且是一个复数。单位：,G、C、L元件的导纳如下：,G、C、L元件的导纳是一个与时间无关的量，是一个复数。单位：S,实部R称为电阻分量，虚部X称为电抗分量，Z=v-i称为阻抗角，阻抗的模|Z|=U/I,一般情况：,阻抗三角形,阻抗是复数，,当X0时：Z0，端口电压超前电流，网络呈感性，电抗元件可等效为一个电感；,当X0时：Z0，端口电流超前电压，网络呈容性，电抗元件可等效为一个电容；,当X=0时：Z=0，端口电压与电流同 相，网络呈电阻性，可等效为一个电阻。,任意一个无源二端网络，总是可用一个电阻元件和一个电抗元件的串联电路等效：,实部G称为电导分量，虚部B称为电纳分量，导纳角 Y=i-u=-Z。,导纳三角形,一般情况：,导纳是复数，,当B0时：Y0，端口电流超前电压，网络呈容性，电纳元件可等效为一个电容；,当B0时：Y0，端口电压超前电流，网络呈感性，电纳元件可等效为一个电感；,当B=0时：Y=0，端口电压与电流同相，网络呈电阻性，可等效为一个电阻。,无源二端网络总是可用一个电导元件和一个电纳元件的并联电路等效：,无源网络相量模型的两种等效电路：,一种是根据阻抗Z=R+jX得到的电阻R与电抗jX串联电路，如图(c)；,另一种是根据导纳Y=G+jB得到的电导G与电纳jB的并联，如图(e)。,一般情况下，阻抗Z和导纳Y都是角频率 的函数，即：,注意：,随着 的变化，电路的性质和等效电路中的元件参数都会随之改变。,只有在一个特定的角频率下，正弦稳态电路才有一个确定的等效电路。,阻抗Z和导纳Y不是相量。,注意:一般情况下：,若已知阻抗，则等效导纳为：,若已知导纳，则等效阻抗为：,n个阻抗串联，等效阻抗为：,电流与端口电压相量的关系为,阻抗串、并联的等效阻抗和等效导纳,1、阻抗串联,第k个阻抗上的电压相量与端口电压相量的关系为：,称为n个阻抗串联时的分压公式。,注意：正弦稳态电路中，部分或全部串联阻抗上的电压有效可能大于总电压的有效值。,2、导纳并联,n个导纳并联组成的单口网络，就端口特性来说，等效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即,电压与其端口电流相量的关系为：,第k个导纳中的电流与端口电流相量的关系为,这是导纳并联时的分流公式。,注意：正弦稳态电路中，部分或全部并联导纳上的电流有效值可大于总电流的有效值。,例9 求图(a)网络在=1rad/s和=2rad/s时的等效阻抗和等效电路。,解:(1)建立时的相量模型；,(2)求出=1rad/s等效阻抗：,同理求出=2rad/s时的等效阻抗:,1/3F,(3)求等效电路:先用等效阻抗替代二端网络，再转换成相应的时域模型。,例10 试求等效阻抗和相应的等效电路。,解:1)相量模型如图(b)。,设在端口加电压源，用相量形式KVL方程求电压相量,2)求等效阻抗：,等效阻抗为,3)给出等效电路：,0.06H,3 分析RLC串联电路,相量模型如图(b)所示。等效阻抗,阻抗的电阻为电路的电阻R，阻抗的电抗为感抗与容抗之差。,当X=XL-XC0时，Z0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为R串联电感；,当X=XL-XC 0时，Z0，电流超前于电压，电路呈容性，等效为R串联电容；,当X=XL-XC=0时，Z=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为R。,、和 构成电压三角形：,例11 u(t)=10cos2tV。试求i(t),uR(t),uL(t),uC(t)。,解：相量模型如图(b)所示。,相量电流,等效阻抗：,RLC元件上的电压相量,各量的时域表达式：,各电压电流的相量图如图(c)所示。端口电压u(t)的相位超前于端口电流i(t)的相位45，该RLC串联网络的端口特性等效于一个电阻与电感的串联，即有电感性。,4 分析GCL并联电路,相量模型如图(b)所示。,等效导纳:,其电导为电路的电导G，电纳为容纳与感纳之差，。,当B=BC-BL0时，Y0，电流超前于电压，电路呈容性，等效为G并联电容；,当B=BC-BL0时，Y0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为G并联电感；,当B=BC-BL=0时，Y=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为G。,电流三角形：,例12 求:u(t),iR(t),iL(t),iC(t)。已知:,解：相量模型如图(b)。,求相量电压：,等效导纳：,各电流相量：,时域表达式：,从中看出各电压电流的相量关系：如端口电流的相位超前于端口电压相位36.9，RLC并联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电容的并联，该单口网络具有电容性,相量图如图(c)所示：,75 正弦稳态的相量分析,电路分析的基本依据KVL、KCL和元件的VCR，以及电阻电路中的各种分析法、等效变换和定理，都可推广到正弦稳态电路的分析；,但要用电路的相量模型代替电路的时域模型。,一、建立电路的相量模型,相量法分析正弦稳态的主要步骤：,1、将时域模型中各电学变量(正弦量)用相应的相量表示在电路图上；,2、将时域模型中RLC元件参数用相应的阻抗(或导纳)表示；,二、根据KCL、KVL和元件VCR及一般分析方法,列相量形式电路方程，求解响应的相量表达式；,三、写出相应的时域表达式。,例13 用网孔法、节点法和戴维南定理求i2(t)。已知：,解：1)建立相量模型如图(b)所示，,设网孔电流如右图，直接列出相量形式网孔方程：,得方程,解得,1、网孔分析,列出节点电压方程,解得,2、节点分析,(1)由图(c)电路求端口的开路电压。列回路方程：,解得：,3 用戴维南定理求,(2)独立源置0，加流求压法，求图(d)输出阻抗Zo。,由图(e)得,代入式，则：,(a),解:由叠加定理得图(b)中 和 共同作用时的电压为：,再由互易定理形式二，得：,故：,例15 试求电流i1(t)。已知：,解：相量模型如图(b)所示，其中,列图(b)相量模型的KCL和KVL方程,解得：,时域表达式,法1：支路分析,设网孔电流如图(b)所示列出网孔电流方程,解得,法2：网孔分析,时域表达式：,用导纳参数的相量模型如图所示，其中,参考节点如图，直接列出节点电压方程:,解得,法3：节点分析,两个独立电源单独作用的电路如下图,法4：叠加定理,先求连接电感的网络的戴维南等效电路,法5：戴维南定理,(1)断开电感支路得图(a)电路，求端口开路电压,得图(c)电路，求电流,(2)将图(a)电路中独立电源置零，得图(b)电路，求单口网络的输出阻抗,例16 试求图(a)所示单口网络在=1rad/s和=2rad/s时的等效导纳。,解：由图(b)和(d)相量模型可得等效导纳,例17 求图(a)的戴维南和诺顿等效电路。,解：求开路电压:,加流求压法求输出阻抗：将独立源置0后,短路电流：,戴维南和诺顿等效电路如图(b)和(c)。,