电路5章1syl.ppt

静态元件端电压与端电流之间为代数关系的电路元件。,静态电路：仅由静态元件构成的电路；,第5章一阶电路分析,静态电路静态、即时：响应仅由激励 引起，激励响应关系的数 学方程为代数方程。,动态电路动态、过渡过程：响应与激 励的全部历史有关，激励响应关 系的数学方程为微分方程。,分为：一阶电路、二阶电路和高阶电路；电路的实际阶数由组成动态电路的独立的动态元件数决定。,动态元件：端电压与端电流之间为微分或积分关系的电路元件。,动态电路：电路中含动态元件的电路。,5-1 电容元件和电感元件,5-1-1 电容元件,定义：如果一个二端元件在任一时刻，其 电荷与电压之间的关系由q-u平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。,是实际电容器的理想化模型，代表积聚电荷、储存电场能的元件。,是电荷和电压相约束的元件，其瞬时电荷和瞬时电压间具有代数关系。,符号：,线性电容特性曲线是通过坐标原点的直线，否则为非线性电容；,时不变电容特性曲线不随时间变化，否则为时变电容元件。,线性非时变电容的数学表达式：,关联参考方向下：,取电压u 的参考极性总是与电容器极板上的正负电荷一致，称为q、u关于电容器有关联的参考方向。,单位：法拉,用F表示。,系数C为常量，为q-u直线的斜率，称为电容，表征积聚电荷的能力,即：,线性时不变电容的伏安关系(特性方程)：,电容的电流与其电压对时间的变化率成正比。,1.电容是动态元件,关联方向：,假如电容的电压保持不变，则电容的电流为零，即：通直流时电容相当于开路(i=0)。,2.电容是惯性元件,当i 有限时，电压变化率 必然有限；电压只能连续变化而不能跳变。,3.电容是记忆元件,取决于电流 的值，即电容电压有“记忆”电流全部历史的作用。,t时电容上的电压,即，电容电压只能是时间的连续函数。,电容上的电压：,2）后一项反映了t t0 后电流作用的结果。,1）称为t0 时刻电容的初始电压,它反映了 前电流的全部作用对 时刻电压的影响。,3）电容的电压只有在电容C和初始电压完全确定时才能确定。,4）总的电容电压为初始电压与 时刻后电流作用产生的响应的和，可以等效为一电压源 与零初始的电容的串联。,关联参考方向下，电容吸收功率：,p 可正可负。当 p 0 时，电容吸收功率（吞），储存电场能量增加；当p 0时，电容发出功率（吐），电容放出存储的能量。,4.电容是储能元件,任意时刻t线性时不变电容存储的总能量：,某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值，与电流值无关。电压的绝对值增大时，储能增加；减小时，储能减少。,得到的总能量：,用于计算可简化问题。,当C 0时，w(t)不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。,上式也可以理解为电容电压不能轻易跃变，因为电压的跃变要伴随储能的跃变，在电流有界的情况下，是不可能造成电场能发生跃变和电容电压发生跃变的。,例1(书例5-1)C=4F，其上电压如图(b)，试求iC(t),pC(t)和 wC(t),并画出波形。,+uC-,解：,解：,例2(书例5-2)C=2F，电流如图(b)，电容的初始电压u(0)=0.5V,试求 时电容电压,并画出波形。,5-1-2 电感元件,通常把导线绕成线圈称为电感器或电感线圈。当线圈通过电流时即在其线圈内外建立磁场并产生磁通，而各线匝磁通的总和称为磁链，若线圈匝数为N，则。,电感元件代表建立磁场、储存磁场能的元件，是实际电感器的理想模型。,电感元件,定义：如果一个二端元件在任一时刻，其磁链与电流之间的关系由 平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电感元件。,电感元件是一种磁链与电流相约束的元件，其磁链瞬时值与电流瞬时值之间具有代数关系。,线性电感特性曲线是通过坐标原点一条直线，否则为非线性；,符号：,非时变特性曲线不随时间变化，否则为时变电感元件。,线性非时变电感韦安特性的数学表达式：,单位是亨利,用H表示。,关联参考方向下：,系数L为常量，直线的斜率，称为电感，表征产生磁链的能力，即：,线性时不变电感元件的伏安关系:,电感的电压与其上电流对时间的变化率成正比，而与该时刻的电流值无关。,1.电感是动态元件,假如电感的电流保持不变，则电感的电压为零，即：通直流时电感元件相当于短路(u=0),关联方向：,2.电感是惯性元件,u 有限时，电流变化率 必然有限；电流只能连续变化而不能跳变。,3.电感是记忆元件,电感电流有“记忆”电压全部历史的作用，取决于 电压的值。,即，电感电流是时间的连续函数。,电感上的电流：,2）后一项反映了t t0 后电压作用的结果。,1）称为t0 时刻电感的初始电流,它反映了 前电压的全部作用对 时刻电流的影响。,3）电感的电流只有在电感L和初始电流完全确定时才能确定。,4）总的电感电流为初始电流与 时刻后电压作用产生的响应的和，可以等效为一电流源与零初始的电感的并联。,电压电流参考方向关联时，电感吸收功率:,p 可正可负。当 p 0 时，电感吸收功率(吞)，储存磁场能量增加；当p 0时，电感发出功率(吐)，放出存储的磁场能量。,4.电感是储能元件,任意时刻t电感的总能量：,某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流值，与电压值无关。电流的绝对值增大时，储能增加；减小时，储能减少。,得到的总能量：,用于计算可简化问题。,当L 0 时，w(t)不可能为负值，电感不可能放出多于它储存的能量，这说明电感是一种储能元件。,上式也可以理解为什么电感电流不能轻易跃变，因为电流的跃变要伴随储能的跃变，在电压有界的情况下，是不可能造成磁场能发生跃变和电感电流发生跃变的。,例3 L=5H，求电感电压u(t),并画出波形图。,解：,例4 L=5mH，求电感电流。并画出波形图。,+u-,解：,0t1s:u(t)=10mV；,当1st2s时，u(t)=-10mV，,当2st3s时，u(t)=10mV，,根据以上结果，可画出电感电流的波形如图(c)。,当3st4s时，u(t)=-10mV，,0t1s:,1st2s：,2st3s：,3st4s:,实际电容器除了标明容量外，还须说明额定电压，电解电容还须标明极性;,实际电容器的模型：,漏电不能忽略且工作频率不高时：电阻与电容的并联；,工作频率很高：再串联一个电感;,5-1-3 实际电容器和电感器的模型,参数：电感和额定电流；,实际电感器的模型：,实际电感器中有功率损耗且工作频率不太高时：电感和电阻的串联；,工作频率很高：再并联一个电容；,电阻，电容和电感是三种最基本的电路元件，它们是用两个电学变量之间的关系来定义的：,电压和电流间存在确定关系的元件是电阻元件；,电荷和电压间存在确定关系的元件是电容元件；,磁链和电流间存在确定关系的元件是电感元件。,这些关系从下图可以清楚看到：,四个基本变量间定义的另外两个关系：,四个电路变量之间的关系图,产生过渡过程的主要原因：,动态电路的一个重要特征是存在过渡过程。,1 电路中存在动态元件；,2 电路的结构或元件参数发生变化使电路的工作状态发生变化。,过渡过程：电路从一种稳定工作状态转变到另一种稳定状态的过程。,52 换路定则及初始值计算,换路：动态电路的元件连接方式或参数的突然改变所导致的电路工作状态的改变。,换路前 换路后 t=0 t=0+,uC(0)、iL(0)uC(0+)、iL(0+),工作状态：某时刻的电压或电流;,注意：这里的初始状态和初始值只指电容电压或电感电流。,瞬态分析（动态分析）：,分析步骤(一般时域分析方法)：,分析动态电路从换路开始直至进入稳态全过程的电压及电流的变化规律；,1 依据电路两类约束，以所求响应为变量，建立换路后的微分方程；,2 确定所需初始条件;,归结为建立和求解微分方程。,3 解微分方程。,换路定则(或开闭定理)：,1.若电容中电流不为无穷大，则电容电压不会跳变，即:uC(0+)=uC(0-)；,2.若电感中电压不为无穷大，则电感电流不会跳变，即:iL(0+)iL(0-)。,说 明：,1.换路条件：电路中无全电容回路(C-C,uS-C)，或无全电感割集(L-L,iS-L)；,2.只适用于uC和iL,它们是联系换路前后的唯一纽带，其他变量可能会跳变；,.实质是电荷守恒和磁链守恒。,元件电容电感,uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=i L(0-),qC(0+)=qC(0-)L(0+)=L(0-),等效图t=0-t=0+,iC有限 uL有限,数学式,应用条件,换路后初始值的计算,1.求换路前的初始状态uC(0)及iL(0);,2.由换路定则，求换路后的初始值uC(0+)及iL(0+);,对于直流电源激励的电路，若在时电路处于稳态，则电容等效为开路，电感等效为短路，然后用直流电路分析方法，确定初始状态的值。,3.画出t=0+时的等效电路；,.求其他响应电压和电流的初始值;,电容用uC(0+)的电压源替代，电感用iL(0+)的电流源替代，其他元件保留。,关联参考方向：,5.求 和 的初始值。,例 开关闭合已久,求电容初始值uC(0+),解：由于开关闭合已久，在直流电源驱动的电路中，各电压、电流均为不随时间变化的恒定值，造成电容电流等于零，电容相当于开路。得t=0等效图:,开关断开时：在电阻R2和R3不为零的情况下，电容电流为有限值，电容电压不能跃变，根据换路定则有：,t=0+等效图,例6(书例5-4)开关闭合前电路已稳定,uS=10V,R1=30,R2=20,R3=40。求开关闭合时各电压、电流的初始值.,解：(1)先求初始状态uC(0)及 iL(0),由于t0时电路已稳定,电感看作短路，电容看作开路，作t=0-等效图：,(2)由换路定则:,其中：电感用电流源替代，电容用电压源替代。,(3)求其他初始值：,作t=0+时的等效电路图,+u2(0+)-,例7(书例5-5)开关打开前电路已稳定,求初始值,1H,解：(1)求初始状态uC(0)及 iL(0),4,+uC(0-)-,t=0-图,+10V-,iL(0-),4,(2)由换路定则，,(3)求其他初始值：作t=0+等效图；,例8 原电路已稳定,uS=10V,R1=2,R2=3,C=0.1F,L=0.1H。求开关打开时各电压、电流的初始值,解：(1)求初始状态uC(0)及 iL(0),可得：,(2)由换路定则，得：,(3)作t=0+等效图,求初始值：,思考：换路时，电容电流、电感电压、电阻电流及电压有无跳变？,例9 图(a)电路中的开关闭合已久，t=0时断开开关，试求开关转换前和转换后瞬间的电容电压和电容电流。,解：图(a)电路，t=0-时，电容相当于开路，,电阻R1和R2的电流i1(0-)=i2(0-)=10/2=5A,；用分压公式得：,开关断开后如图(b)。电压源对电容不再起作用，由于t=0时刻电容电流有界，电容电压不能跃变，由此得,此时电容电流与电阻R2的电流值相同：,电容电流由iC(0-)=0A变化到iC(0+)=-5A；电阻R1的电流由i1(0-)=5A变化到i1(0+)=0A；,5-3 一阶电路的零输入响应,一阶电路：,电路中仅含一个独立的动态元件的电路；特性方程：一阶微分方程。,任意一阶电路，换路后总是可以等效为一个有源二端电阻网络外接一动态元件。,开关转换前，电容电压已经达到U0。换路后如图(b)所示。由换路定则得,5-3-1 RC电路的零输入响应,零输入响应：没有外加激励时的响应,仅由动态元件的初始状态(内激励)引起。,由电阻和电容的VCR得：,代入KVL得以下方程：,这是一个常系数一阶线性齐次微分方程，其通解为：,特征根：,称为电路的固有频率，于是响应电容电压为：,系数A是一个常量，由初始条件确定；当t=0+时上式为：,根据初始条件,特征方程：,故：,最后得到图(b)电路的零输入响应为：,物理意义：在电路的放电过程中电容电压随时间变化的规律。,1.各电压电流均以相同的指数规律变化，变化的快慢取决于R和C的乘积。,说明：,令=RC，具有时间的量纲，称为RC电路的时间常数。,2.换路时，电容电压是连续的，没有跃变；,3.换路时，电容的放电电流不是连续的，有一个负的跃变：,4.换路时，电阻上的电流、电压不是连续的，有一个正的跃变，电压从；,RC电路零输入响应的波形曲线,电压的变化与时间常数的关系,由于波形衰减很快，实际上只要经过45的时间就可认为放电（瞬态）过程基本结束。,的物理含义：与衰减到初始值的1/e时所经历的时间。,结论：,1.电路瞬态过程的长短由时间常数决定，与初始值和外加激励无关；,2.的大小由R和C决定，R和C越大，响应衰减得越慢。,时间常数在曲线上的意义,电压衰减到原来值36.8所需的时间。,：时切线与横轴的交点（切距）；,电阻在电容放电过程中消耗的总能量：,表明：电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量。,例10 已知uC(0-)=6V。求t0的电容电压,解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，则,从电容两端看进去的电阻等效为,故有：,假如还要计算电容中的电流iC(t)，则,或：,开关连接于1端已很久，电感中的电流等于I0，换路后的电路如图(b)。在开关转换瞬间，由于电感电压有界，电感电流不能跃变，即iL(0+)=iL(0-)=I0,5-3-2 RL电路的零输入响应,列方程:,得到以下常系数一阶线性齐次微分方程：,该微分方程的通解为,代入元件VCR，得,代入初始条件iL(0+)=I0求得：,则：响应电感电流和电感电压为：,其中：=GL=L/R,具有时间的量纲，称它为RL电路的时间常数。,其波形如下图：,RL电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于时间常数。,电阻在电感放电过程中消耗的总能量：,表明：电感在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量。,例11 开关S1连1端已很久，t=0时S1倒向2端，开关S2也同时闭合。求t0时的iL(t)和uL(t)。,解：换路瞬间，电感电压有界，电感电流不能跃变，故,图(b)电路的时间常数为,电感电流和电感电压为,一阶电路零输入响应各电压电流均 从其初始值开始，按照指数规律衰减到 零，一般形式为,5-3-3 一阶电路零输入响应的一般公式,rzi(t)一阶电路任意需求的零输入响应；,rzi(0+)响应的初始值；,时间常数；,确定一阶电路零输入响应的一般步骤,1、画出 时的等效电路，计算 和 2、由换路定则确定基本初始值 和,4、画出求 时的等效电路，求等效电阻时令所有的独立电源置0，计算时间常数；,3、画出 时的等效电路，其中电容用电压源、电感用电流源 替代，计算所求零输入响应的初始值；,5、代入零输入响应的一般形式。,例12(书例5-6)已知iL(0-)=1.5A,L=0.5H,求i1(t)和uL(t)。,解：（1）求uC(0+)及 iL(0+)：由换路定则，得：,（2）画0+图，求初始值i1(0+)和uL(0+)。,网孔法：,网孔方程：,(3)求时间常数：先求电感两端的等效电阻，用加压求流法：,消去i1得：,则：,（4）初始值和时间常数代入一般形式：,有：,5-4 一阶电路的零状态响应,零状态响应：初始状态为零，仅由独立电源(称为外激励或输入)引起的响应。,这里仅讨论一阶电路在直流激励下的零状态响应。,图示电路中的电容原来未充电，uC(0-)=0。,5-4-1 RC电路的零状态响应,换路时，由于电容电流有界，电容电压不会跃变，uC(0+)=uC(0-)=0,以电容电压为变量，列微分方程,这是一个常系数一阶线性非齐次微分方程，其解由两部分组成，即,换路后如右图,uCh(t)是与其相应的齐次微分方程的通解，其形式与零输入响应相同，即,uCp(t)是非齐次微分方程的特解，一般来说，它的形式与输入函数相同。对于直流激励的电路，它是一个常数，可令,将它代入微分方程：,故，原一阶线性非齐次微分方程完全解为：,式中的系数A由初始条件确定：,求得特解为：,零状态响应为,2.零状态响应变化的快慢也取决于时间常数=RC。越大，充电过程越长；,说明：,1.电路的零状态响应，各电流电压均按相同的指数规律变化。电容电压按指数规律从初始值逐渐增长，趋近于稳定值;,5.电容电压的特解与激励形式相同强制响应分量。直流激励的一阶电路，它就是t达到稳态时的电容电压，即UCp(t)=UC()稳态响应分量。,4.其中：通解由激励引起，但响应形式与激励无关，反映电路自身特性固有响应分量或自然响应分量。有耗电路，t时这一分量趋于0 暂态响应分量。,电阻在电容充电过程中消耗的总能量：,结果表明：与充电结束时电容所储存的电场能量相同，充电效率50,图(a)电路换路前已稳定，即iL(0-)=0。t=0时开关由a倒向b，如图(b)。,5-4-2 RL电路的零状态响应,由于电感电压有界时，电感电流不能跃变，即iL(0+)=iL(0-)=0。,图(b)电路列方程：,为常系数一阶线性非齐次微分方程，其解与RC电路相似，即：,=L/R是该电路的时间常数；系数B由初始条件确定，即由下式,RL一阶电路的零状态响应为：,直流激励下零状态电路的动态过程是动态元件的充电过程，其电容电压和电感电流的零状态响应的一般形式为：,5-4-3 一阶电路电容电压、电感电流零状态响应的一般公式,uCzS()、iLzS()稳态值或终值；,时间常数。,确定一阶电路零状态响应的一般步骤,2、画出 时电路达到稳态时的等效电路，计算换路后电路的终值 和，令电路中的电容开路，电感短路；,3、直接应用零状态响应的一般形式写出电容电压和电感电流的零状态响应,1、画出求 时的等效电路，求等效电阻时令所有的独立电源置0，计算时间常数；,例13 图(a)电路原已稳定，求t0的uC(t),iC(t)及i1(t)。,uC,解：先求等效戴维南电路，得图(b)，其中,uC,当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，可得,图(a)用KCL可得,例14 图(a)电路原已稳定，求t 0的电感电流和电感电压。,解：换路后如图(b)，开关闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即初始状态为0,则:,将图(b)电感以外的电路用诺顿等效电路代替，得到图(c)电路。求得时间常数为：,US,例15 图(a)为一继电器延时电路模型。继电器参数：R=100，L=4H，当线圈电流达到6mA时，继电器动作，将触头接通。从开关闭合到触头接通时间称为延时时间。为改变延时时间，在电路中串联一个电位器，阻值从零到900 间变化。若US=12V，试求电位器电阻值变化所引起的延时时间的变化范围.,解：开关闭合前电路处于零状态,iL(0-)=0。,US,由换路定则得：iL(0+)=iL(0-)=0。用图(b)所示诺顿等效电路代替，其中:,电感电流的零状态响应表达式为:,设t0为延时时间，则有：,由此求得,当Rw=0时,=0.04s,当Rw=900时,=0.004s,作业10：p1415-1，5-4，5-8作业11：p1435-11，5-12，5-13(b),5-14(a,e,b)，5-16,