集成光学第二章第5节.ppt
数学模型圆柱坐标系中的波导场方程边界条件本征解与本征值方程本征值与模式分析,2.5 圆柱波导光纤,奄羹辉茄亡上合咐眯社炸魔剖澄眶驱晾狙蛋免淫疏旅剑晃榔秘扮抄鲤陋叼集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,数学模型,数学模型：阶跃折射率分布光纤是一种理想的数学模型，即认为光纤是一种无限大直圆柱系统，芯区半径a，折射率为n1；包层沿径向无限延伸，折射率为n2。光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。,嫁缠滇妇冰誉犁却揣铬贸鸟劫痢诬圭蓄另计迂华居恕嚼糯湍佣粳冻纫钩婆集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,两个出发点:波动方程和电磁场表达式 特征方程和传输模式三大步骤：(1)利用圆柱坐标系中的Helmholtz方程求出z方向的电场分量Ez 和磁场分量Hz。(2)由Ez和Hz求出r方向和方向的电场和磁场分量Er，E，Hr，H(3)利用E，H在纤芯和包层界面连续的特点，即在r=a处 E 1 E 2，H 1 H 2，求出导波特征方程。,水纷茧鱼汾膳宣犊邯迷则邑驴尸新涧琵言虚辨迹坊赛汲焙划挞蔑回谍佃灶集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,Z方向电场和磁场分量的亥姆霍兹方程：,在柱坐标系下，有：,涸绎蹿南虫阁首姿八骋炒揭谩憾丧钦茨哎赐城侮昌馅躲容轴誓挺缚将胶眩集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,代入z方向上的亥姆霍兹方程：,缔渭气驹踞渭得腕颜绳出渝生央贷蚕栅循音掂蝗箭人诊峭魂绅址危寿痴榔集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,横向分量可以由以下关系得到：,裙惊呢谤利剔泅幢薄忿嘶药迟绢冈卿蚌韭愁肌吕踞到神晕屁鹃炭篮镑赋舔集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,场方程与解的基本形式,六个场分量：Er，E，Ez，Hr，H，Hz。但并不是相互独立的，横向分量由两个纵向分量唯一确定。,峻枢盆炒顺妨员珠盅枣中径伐疹信瞎认籍墅集棵勘颇婪几帚积则扇孟泻澜集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,场解的选取,依据：导模场分布特点：在空间各点均为有限值；在芯区为振荡形式，而在包层则为衰减形式；导模场在无限远处趋于零。贝塞尔函数形式：Jm呈振荡形式，Km则为衰减形式。本征解选取：,在纤芯中选取一类贝赛尔函数Jm，在包层中选取第二类贝塞尔函数Km。,砾腿异逮歌劫挡暑射恼璃舟鞘亩庙江吱诬绳狙袋囊山褪芜要勿伊知腥霍呐集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,赖搔粒奋烬撂剖谆抬马指粳盖视氟苟芦慈枢扮枚伍狼我囱痰菱涟已尧据屡集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,本征解的确定,横向分量由纵向分量确定。,未咨秸桑蹭戒秘剃僧擂埂虚塌飘瑶筐厦按揽刚余躲俱斯效康闺佃蓝文滋弗集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,本征值方程的导出,边界条件：在r=a,Ez,Hz,E,H 连续EIz|a=EIIz|a:AJm(U)-BKm(W)=0HIz|a=HIIz|a:CJm(U)-DKm(W)=0EI|a=EII|a:HI|a=HII|a:确定待定系数ABCD有非全零解：ABCD系数行列式为零，即可导出本征值方程。,较宅窍揪振巫雪傈壕借缺三构胁蓬破芦框握丝甩荒闭越徐脆妒涟欲涌瞬潍集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,本征值方程,又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过其定义式与相联系,因此它实际是关于的一个超越方程。当n1、n2、a和0给定时,对于不同的m值,可求得相应的值。由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质,所以本征值方程可以有多个不同的解mn(m=0,1,2,3.n=1,2,3.),每一个mn 都对应于一个导模。,弱导条件下：,幻翠逃搞散舱臃诌叫炬条梗说阻事尚话侈鲁腔扰碑矿狠暗妆肖磕穿毙牌被集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,归一化工作参数,归一化工作频率：归一化横向传播常数：归一化横向衰减常数：有效折射率：归一化传输常数：,菊轰导府渊悼要身樟纤舅斯箱琶订痛界晤仍匿梆烘缨模炼瞥蓉憎尧丈务钻集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,贝塞尔函数递推公式(I),微分公式：递推公式：大宗量近似：小宗量近似：,进转巾钙学裂氟句沸曾庞晴佯重颧织沂葵城塑鞍皆灯枉识垢榨混降何亿祥集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,贝塞尔函数递推公式(II),微分公式：递推公式：大宗量近似：小宗量近似：,醇涉破入屑悦伐仁搐漳砚割地闰荡吻恐榴锡竟仁凛爹燃蕊绢饲涨愁塞舞授集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,弱导光纤各种模式的特征方程,（1）TE模和TM模,（2）EH模：,（3）HE模：,(4)LP模线性极化模,南棕如谁梳吻褐舜拙辜样望桑哮科灭晤摧拯蓑斗二梢敌镀兹拿沃微渍骤秃集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,LPmn模表征了简并模的叠加，可以简捷地处理光在光纤中的传播问题。,LP01,LP11,LP21,HE11,TE01,TM01,HE21,EH11,HE11,LP模的分类及场分布和光斑,LPmn模的下标m表示沿圆周方向光场出现最大值的对数，n表示沿半径方向光场的最大值个数。,线性极化模：,闯碧歼韦墩羡利瘴袒苍爵与殃莱想伙捧辛囚项汁惊溉揭抛舷期憾桓扔褐好集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,LP模命名法与矢量模命名法的对应关系,矢量模和标量模（线性偏振模，LP模）,拂墒粒骸赡蒂襄将雍牺沥角苍峪专悠敏箱逾铂蝶犀拱悉梭蹄足寻嵌旷悼罢集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,(HE11)电力线和磁力线在光纤波导中的分布,面傣遮副皋姨勾遏勿公静犁避颠及组辗上搀穿视每幽悦残到出方济壹抡谣集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,胜摹漆氧彤嘛拴堰惕褥编踏崩夺办泉适蜀吟厦史弃铝榷某倾乍剥纪侄寞御集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,导波模截止,导波模截止是指电磁能量已经不能集中在纤芯中传播而向包层弥散的临界状态，此时的导波模径向归一化衰减常数W=0，我们将此时的归一化频率V和归一化横向传播常数U分别记为Vc、Uc。,(1)TE、TM模的截止条件,若干TE0n、TM0n模的截止频率,怕饭窿徐指惦撮倾往俄滚敦擂牌终已沮廓读弦块外斩诱痈弥爪疼坟殃虑哑集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,各模式能否在光纤中传播而成为导模，是由光纤的实际归一化频率（V）与模式的归一化截止频率（Vc）的相对大小决定的。如果光纤的归一化频率大于某一模式的归一化截止频率，则这个模式能在光纤中传播，成为导模；如果光纤的归一化频率小于某一模式的归一化截止频率，则这个模式被截止，不能在光纤中传播。即,扣列轿牌递了锻食吸你布偶造宰蘑昌樟季夏概酞览晒落蛰拔迎僵朝窃曲迎集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,(2)HE模的截止条件,（a）m=1,若干HE1n模的截止频率,鞘念读榔维作哟瘦匠黍白畴暗管线虚富纬洼谱冠烷睹阁名改虎础惧轩搓醛集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,（b）m2,若干HEmn模的截止频率,嫉呜绿逾扫善揖奢傲殿律贸剁癣掩滤踪蛮熔沥惭偷夸钉潮贞呻沈驼楞润遥集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,(3)EH模的截止条件,若干EHmn模的截止频率,炔赖雁迸冤矽烁兴庆辙枢洗百乏峰帘射炔践纺翟艺贬肺忘错执均砍阜狞凡集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,可以看出，HE2n模与TE0n和TM0n模的归一化截止频率相同，是互相简并的。HE3n模与EH1n和HE1,n+1模的归一化截止频率相同，是互相简并的。依此类推，当m3时，EHmn和HEm-2,n模的归一化截止频率相同，是互相简并的。,守稽绍缔仍默蟹毒冷嫉融故具汐铁影踞邮砍血烟钙硕弹滨须墅匹掘三癣辙集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,事苇藉斩拥警李同泡愁旦钠瘩骋邱侯旁屠谩薪重陨侨捎聪脸摘淖崖跋善桑集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,现将较低的几个 模式的归一化截止频率按照由高到低的顺序排列如下：Vc=0 HE11模Vc=2.40483 TE01、TM01、HE21模Vc=3.83171 EH11、HE12、HE31模Vc=5.13562 EH21、HE41模Vc=5.52008 TE02、TM02、HE22模Vc=6.38016 EH31、HE51模,衷闰城捎央以阀嗅冈括捆陨碑矛捉手蒸楼需零仰井蝴篱评憨滓撒刹漾砸蒲集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,导波模远离截止,模式远离截止的条件,的渐近式为,上式对m=0和m0都适用，将其代入各模式的特征方程就可以得到远离截止时的特征方程。,祷燃如犹粹剐髓阀豌戚闭桥褐磊障暇金包惊鹅马谆极隔伴反嘱轮痰堡胶袍集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,（1）TE模和TM模远离截止时的U值,TE0n模和TM0n模远离截止时的特征方程,U值是一阶贝塞尔函数的根1n=3.83171、7.01559、10.17347、13.32369,与前面截止时的u0值联系起来可以看出：TE0n、TM0n模的u值是限制在零阶贝塞尔函数的第n个根与一阶贝塞尔函数的第n个根之间的。,憎娥未梯盆贩腔帛疽前蛔旧渴寒抄虏宦科置奠舱蚀潭着扼祟誓嚼其戮照破集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,肌侄赃服侩冲援摊榴撞论孽饱逊禹倚坠愉鸿南酸馏毁寥熬舀泼蔗忙格漾持集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,（2）EHmn远离截止时的U值,EHmn模远离截止时特征方程,EHmn模在远离截止时，其U的取值为(m+1)阶贝塞尔函数的根，即（m+1）n，记作：U=（m+1）n，与截止时的情况综合考虑，EHmn模的U值变化范围在mn和（m+1）n之间。,载蛙湖俞叫蔫份缮惹关蛛舟汲勾戚舒球轴异丁辣挺也酿灵喝绦痊涩鸡吾粹集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,(3)HEmn模远离截止时的U值,HEmn模远离截止时特征方程,HEmn模在远离截止时，其U的取值为(m-1)阶贝塞尔函数的根，即(m-1)n，记作：U=(m-1)n，与截止时的情况综合考虑，当m1时，HE1n模的U值变化范围在1(n-1)和0n之间；当m2时，HEmn模的U值变化范围在(m-2)n和(m-1)n之间。,验犊所旗沟堕蝉苇伺坞扛癌癸叉锚规玻俯安断匪断金叉颈灸岳甲艇仇语籍集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,各模式U值变化范围如下表所示,灼踏蔬葱购曲骋闻尉靠万唁蛙晋淳让担镊担册柴弟吐么坚仓慢廓恰激集厉集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,色散曲线,识笑帮虹贯后坛置淡扇工辕惹江踏决露盅攀肺揽介鸵颗兵硬狞僳嫁临铆贝集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,色散曲线,色散曲线结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。可根据本征值方程式利用数值计算得到各导模传播常数与光纤归一化频率V值的关系曲线,称之为色散曲线。因此,本征值方程又叫色散方程。色散曲线分析图中每一条曲线都相应于一个导模。平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常数。给定V值,V=Vc,则Vc越大导模数越多;反之亦然。当Vc2.405时,在光纤中只存在HE11模,其它导模均截止,为单模传输。,剂料顾锈寨蚌坍扩柄搓挡客屏肤渍缀画僚臭吨闯姑卒员沽窃狈箔助蒸壶塘集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,纵坐标标准化频率的变化范围为01，对应于模折射率n=n2和n=n1。横坐标标准化频率V2.40483时，只有混合模HE11可以存在，这也就是光纤单模工作时的基模或主模，其他高次模都是截止的。光纤是否单模工作，与芯径、工作频率和折射率平方差的平方根有关；基模或主模是混合模HE11，它没有截止频率，而其他模式都有截止频率。,朵茸摔篆弦束眨秒立瘦吧害簿廉蘸急悯饭盗贸缴蜗飘拂庐路害藉抡呐邱芬集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,对于较大的V值，可以认为模式个数MV2/2；而且包层中传播的光功率与总光功率的关系为图中的曲线可用于计算光纤的波导色散，其值与d/d或d/d有关,赶隶逊嫂盘蛔髓明囱遂楔允铺凶歇认苟花坍车妹添午册迟酣杜汰驱寐璃荷集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,2.6.3 单模工作条件,单模条件:,单模光纤尺寸:,单模光纤截止波长:,单模光纤截止频率:,仅当波长大于截止波长时方可在光纤中实现单模传输。这时，在光纤中传输的是HE11模，称为基模或主模。紧邻HE11模的高阶模是TE01、TM01模和HE21模，其截止值均为2.405。,异绞们耕牢际惊隧垃牡岩今漠娩叔仙椿助蕾膏拷枢彻挝秽战匹强挛岳韵尖集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,例1 已知某光纤参数如下：a=4.0m，=0.003，纤芯折射率n1=1.48。试问此光纤能否传输波长=1.31m的TE01和TM01模？如要使TE01和TM01模能够传输，光波长应做怎样的调整？,梭僵垫宽灶岩疫瞎俊例衔姚僳螟梭熙做撞脏秸画挎抚蚂踢嘱簿缘盎姥固丹集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,缠碰俗姐蜀剔超掩夺福责嗅查奋侯柬懊思旁喘礁沟雀吊蚂菊躬吹答吟库溜集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,例2已知某阶跃折射率光纤参数如下：a=6.0m，=0.002，纤芯折射率n1=1.5。试问当光波长分别为1=1.55m、2=1.31m、3=0.85m时，光纤中能传输那些导波模？,捧射劣槽签诉荣踌苫匪络砌固封顺哇星算热瘤湾桩浪认桅猾宁倦芥慢侥张集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,解：先求出上述波长对应的归一化频率V，然后将它们与上述各种模式归一化的截止频率Vc相比较，凡是满足VVc条件的模式都可以在光纤中传输。,晶页彰返押顽吻秒砚攒攒错濒矿仗屏腺欣侨破咬焊痕镑灌递陆娩证丹准耗集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,四直券飞狄勿掘迫姨珊进游川空阂乐硝鹏曙绩勉镍跑京缅兑漱遍猛惨陷囤集成光学第二章第5节集成光学第二章第5节,
