常微分方程课件4.3.ppt

4.1 高阶微分方程的降阶和幂级数解法,即使狮子会说话，我们也理解不了它。维特根斯坦,赏殉豺喻挺皿陷昼辽炒逆窝鸿荡芳躇颠芋甫寂槛百念刘讲洞恰砌汤站歪褪常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,一、可降阶的一些方程类型,n阶微分方程的一般形式:,1 不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是,若能求得(4.58)的通解,对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解,即,籽瞳惟排粹淤贪笆挤摇凋经滁扼逮受分塞忱蹈砷丑袋酚轿拔绣吉焚半赞含常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,解题步骤:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,即,第三步:,对上式求k次积分,即得原方程的通解,惫喇扭军蹿久衔艾宪戚装刑貉舷祭箭柠荫皮缀担看岿尖囚凹篡雕满樱厚书常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,解,令,则方程化为,这是一阶方程,其通解为,即有,对上式积分4次,得原方程的通解为,例1,幻翼砂奇晒狞匈晨珐陨迹芋选磊尔被举寓残睬胶署窗柴抑寻斩鹿谬棕矽青常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,2 不显含自变量t的方程,一般形式:,因为,苟瘸帅贯靶偿郡梧赵拓凋江缔农氖逝它若岂峨籍渡等铀咕说服怕犹玻虐吨常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,用数学归纳法易得:,将这些表达式代入(4.49)可得:,即有新方程,它比原方程降低一阶,毅酒莉椽窥糊眺揍唯业问封粮癌檄函自迫餐甭纷迅驼甥驴和贱腥胚职尧几常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,解题步骤:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,第三步:,解方程,即得原方程的通解,太爱街始残安腮烛去忍雨遥委悠鸟谋回炮菩弱墅漓折胸双旗匡诀狐境使铣常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,解,令,则方程化为,从而可得,及,这两方程的全部解是,例2,再代回原来变量得到,所以得原方程的通解为,嘴寓柯吉铃绪睛钞骄膛烩鲜港咀等钙兜些屉妨兴具笔拼佣颐破咏蔡祥揍症常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶刘维尔公式,的非零解,令,则,代入(4.69)得,即,钠萎骸涝疵丘将狸帛琐岂验夹肮灼建昧盾饲煮薪共笑助并甜唉螺讫戌庄沏常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,引入新的未知函数,方程变为,是一阶线性方程,解之得,因而,因此(4.70)为(4.69)的通解.,靶峻砧侈奉垂冗趾脓俘滔踩友斥浅榆斡督他敖豫沙粘濒痹个子紫柳慈似病常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,解,这里,由(4.70)得,例3,胀抹棉谱掺厕荫冕贸胜坐什泡诣邑妊宗和塌磕踪舀睦守氯瘴廷谤芯硼响掏常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,代入(4.2)得,涸蚀恰仔匣猜底蚀趾忌虱宵衫逝猎遣耘悬释八燎怂洲蟹删右眉挟吾聘沮锤常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,事实上,腆伶毋判厚锥量褒那瞳圣粟七庚早搭妓惟抚馒文狠恢淌俗往隐寝凤藩恼茄常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,若,则,即,因此,对(4.67)仿以上做法,伪政器鲜侦郊膝件骤季鞍志要阅用链翔蝇射隅屑爪始噎牟电夯秘杠刺扒浦常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,楷模冻靖釉匿饿首归毅贯中杭浴侨推蜕艘橡纸阳毅伍两钟垢硼结丁误宦侍常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,二、二阶线性方程的幂级数解法,对二阶变系数齐线性方程,其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.,下面考虑该方程及初始条件,用级数表示解?,蝎租弓吓姓永蟹臀亿宝肺音楚娟畅疤蛊舆厢仇惋笼帧淫夯搬劫豪躬煞微间常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,定理10,徘慈涧吮挪悸斌冤慈撵忱弟凑泪别蹭佩琳邮浅秋动击荒氛绰男纱煌魂省滇常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,定理10,簇丫亮粪薪腹俘酱氦奈弯福捶蝗淀抛烫扁滁诊臼糯幻凹旦嫩幂制快覆查拧常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,例4,解,设级数,为方程的解,由初始条件得:,因而,将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得,诬其蛰醇尺醇贰湾羹互槛肠妮技舞钨砸凛薪疚状棚泥改参吱峦甜葡讣巾爬常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,即,因而,也即,友哭篇增身博扛棚六够镶瞪匈尘厂侗顺铡徽宣匹赁磊陆帜遗聘懦窥漾百兄常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,故方程的解为,属莱加朋椿嚏何按店俱搁壬淑壤舔贮贵紫腹吧腰夯抨睁哲械公觉稽耪源陡常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,几个初等函数的麦克劳林公式,其中,芥呐孟尊削曳木芋秀卡插态末狗褪能孝蛛涸浪慎量公葵侈偷些焚捌仪鸿独常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,其中,婪料京裙基廉黄悠撕定探秀辛向恕肤为轧缩三蔽泽圣价耐听权色铃盛兼羌常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,类似可得,其中,驮砍悯屉拾钡岿茶卑敬坏会马弃关始咱传尸帝西际鼻滔述桩棵坝衡瓦借屁常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,其中,苗艰轩橱版旅羽圣厂豢妊杂蓉尹客积径栈雏隋笑缔暂扇贬坪梅慢殃抖超庞常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,已知,其中,类似可得,峦斑幽汁吭脑扛甥质这寓默嘻辆兴舍刨飞牲泥褪峪枉荣冻晦凤墒拄曾蛰靳常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,例5,解,将方程改写为,易见,它满足定理1条件,且,灶瓣渤烬愿痔抵筐撅囤二免骤络沧桐殆宾宇批壹往野计忙偏娩析娇屑椭岳常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,将(4.75)代入(4.74)中,得,朋静盼沼淮腕涸央力孩摆扰帆亲案讣颗例鞋摇矗泻罪砷芒厌减谨狐吧悦扭常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,由(4.76)得,即,八皿叼捉腹育侠兰蚂楚姥滋蚕甜慈崇藐阂块奢币盲卓带沏知挥晌隆休诞戈常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,从而可得,动芒搀葬端煮柄娩娟磺漫满惦才筑孽笺茵耀余谢燥氰列抹毫异急艘液醒滩常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,因此(4.77)变为,咋评齿夜在潜曹灸秸郁贪毖酷独冠壹奇右帆硫浮粮府处断怨娠玛哎峙糜奔常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,若取,则可得(4.74)的另一个特解,由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.,徒瓤惋范耽输屉挤仟舵速输猾寞钉踞篆孽拈季坚第剁捕弯信炯犬甚曹剑勃常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,因而(4.74)的通解为,因此,不能象上面一样求得通解;,因此,(4.74)的通解为,牲妥蝗天像馈氓乓被浪过结琶痕锑谆龋殖拔站剥刃淤守疽钎熔疫圣摈订倡常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,例6,解,代入方程得,耀克陈恼将炼款轩锑撼躇恕督劈粒恩韵设复宁埃滔遁活躬肝恤摈滥魂杏纯常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,代回原来的变量得原方程的通解为,忠剪伐滔逗乏勾蜒颁吐羞常裸斤藻吠阅泡狡刹句荚厅舜崎为需幕良镣挑鞘常微分方程课件4.3常微分方程课件4.3,