反函数与复合函数.ppt

1.2 反函数与复合函数,三、复合函数,一、反函数,五、小结,四、基本初等函数 初等函数,二、三角函数与反三角函数,经济数学微积分,一、反函数,定义 设函数f 的定义域为D,值域为W,如果对W中的任何一个实数y,D中有唯一的一个x,使y=f(x)成立.那么把y看成自变量,x看成因变量,x是定义在W上y的函数,称为y=f(x)的反函数,记为x=f-1(y),其定义域是W,值域 D.,按习惯，将函数y=f(x)的反函数记为y=f-1(x).,反函数,注意：函数y=f(x)与x=f-1(y)在同一坐标系中表示同一曲线；而y=f(x)与y=f-1(x)在同一坐标系中表示关于y=x对称的曲线.,定理（反函数存在定理）,单调函数 f 必存在单调的反函数，且此反函数与 f 具有相同的单调性.,例1,解,故值域为,正弦函数,二、三角函数与反三角函数,1.三角函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,2.反三角函数,值域,值域,值域,值域,一些三角关系式,arcsin(-x)=-arcsinx，arccos(-x)=-arccos x arctan(-x)=-arctanx，arccot(-x)=-arccotx sin(arcsin x)=x，cos(arccos x)=x tan(arctan x)=x，cot(arccotx)=x 当x在相应反三角函数的值域内时，有 arcsin(sinx)=x，arccos(cosx)=x arctan(tanx)=x，arccot(cotx)=x,常用三角公式,和差化积公式,积化和差公式,三、复合函数,定义 设函数y=f(u),定义域为Df;u=g(x),定义域为Dg,值域为Wg;若WgDf,为函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的x的复合函数.,x自变量，u中间变量，y因变量,习惯上，称函数u=g(x)为内函数，y=f(u)为外函数.,那么称,例2,例3,复合,复合,分解,分解,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,要学会分解复合函数：由外向里，逐层剥开！,四、基本初等函数与初等函数,（一）幂函数,（二）指数函数与对数函数,（三）三角函数与反三角函数,（四）初等函数,（一）幂函数,幂函数,（二）指数和对数函数,1.指数函数,2.对数函数,（三）三角函数与反三角函数,1、三角函数,y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx,2、反三角函数,y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，,（四）初等函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.分段函数一般不是初等函数.,形如f(x)g(x)的函数称为幂指函数.,五、小结,2.复合函数：,复合函数的形成与分解.,1.反函数：,反函数的基本求法.,3.基本初等函数：,幂函数、指数与对数函数、,三角函数与反三角函数的图象与简单性质.,4.初等函数,