华中科技大学贝塞尔函数.ppt
1,附录:,函数的基本知识,(1),定义,(2),函数的递推公式,时,有,为正整数,特别的,当,(3),当,时,2,第五章 贝塞尔函数,在应用分离变量法解其他偏微分方程的定解问,题时,也会导出其他形式的常微分方程边值问题,,从而引出各种各样坐标函数系。这些坐标函数系就,是人们常说的特殊函数。,本章,我们将通过在柱坐标系中对定解问题进,行分离变量,导出贝塞尔方程;然后讨论这个方程,的解法及解的有关性质;最后再来介绍贝塞尔函数,在解决数学物理中有关定解问题的一些应用。,3,5.1 贝塞尔方程及贝塞尔函数,一、贝塞尔方程的导出,在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或,薄圆盘上瞬时温度分布规律时,我们就会遇到,贝塞尔方程。,下面,我们以圆盘的瞬时温度分,布为例来导出贝塞尔方程。,设有半径为,的圆形薄盘,,上下两面绝热,,圆盘边界上的温度始终保持0度,,且初始温度,分布为已知,,求圆盘内的瞬时温度分布规律。,我们用,来表示时刻,处的温度函数。,圆盘上点,4,这个问题归结为求解下列定解问题:,(2),(1),(3),应用分离变量法求这个问题的解。,为此,令,代入方程(1)得,用,乘之,得,5,于是有,(2),(1),(3),(4),(5),方程(4)的解为,亥姆霍兹方程,由边界条件(2)有,(6),6,(2),(1),(3),为了求解方程(5)满足条件(6)的非零解,,(5),(6),我们采用平面上的极坐标系,则得定解问题,(7),(8),7,(7),(8),再令,代入方程(7)得,两端乘以,移项得,于是有,(9),(10),8,(9),(10),由于温度函数,是单值的,,所以,也必,是单值函数,即,求解常微分方程的边值问题,可得,9,(9),(10),将,代入方程(10)得,(11),该方程叫做,阶贝塞尔方程。,由边界条件(8),可知,另外,由于圆盘上的温度是有限的,,特别在圆心,处也应如此,由此可得,10,因此,原定解问题的最后解决就归结为求问题,的固有值与固有函数。,若令,并记,(11),将上式代入方程(11)可得,则,(12),方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程,,它的解称为贝塞尔函数。,(有时称之为柱函数)。,11,二、贝塞尔函数,(12),由微分方程解的理论知:方程(12)有如下形式,的广义幂级数解:,(13),其中,为常数,,下面来确定,为此,将(13)以及,带入方程(12),12,(12),(13),可得,13,(12),(13),14,(13),比较上式两边系数则有,(14),(15),(16),由于,从(14)可得,下面分三种情形讨论,15,(13),(15),(16),情形1,如果,不为整数(包括0)和半奇数,,则,也不为整数。,先取,代入(15)得,代入(16)得,(17),由(17)可知,16,(13),(17),另外,17,由于,是任意常数,,我们可以这样取值:,使一般项系数中,与,有相同的次数,并且同时,使分母简化。,为此取,利用递推公式,则一般项系数变为,将此系数表达式代回(13)中,,(13),18,(12),(13),得到方程(12)的一个特解,记作,(18),称为,阶第一类贝塞尔函数。,又由于,则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上,是绝对收敛的。,19,(13),(15),(16),再令,代入(15)得,代入(16)得,由上公式可知,20,(13),另外,21,由于,是任意常数,,我们可以这样取值:,使一般项系数中,与,有相同的次数,并且同时,使分母简化。,为此取,利用递推公式,则一般项系数变为,将此系数表达式代回(13)中,,(13),22,(12),(13),得到方程(12)的另外一个特解,记作,称为,阶第一类贝塞尔函数。,(19),由于,所以,与,线性无关,,由齐次,线性常微分方程解的结构定理知,方程(12)的通,解为,其中,为两个任意常数。,(20),称为,阶第一类贝塞尔函数。,与,线性无关,,23,(12),(20),(22),如果在(20)中取,则得方程(12)的另一个与,线性无关的特解,,记作,(21),因此方程(12)的通解可写成,称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数。,24,(13),(16),情形2,如果,为整数(包括0),,则,也为整数。,依照之前的做法,同样可得方程(12),的两个特解,(18),(19),(12),25,(18),(19),(23),注意当,为整数时,利用,函数的递推公式,可得,从而特解之一(18),可化为,而此时函数,与,线性相关。,26,事实上,,我们不妨设,为某正整数,当,时,,将是,(23),(19),负整数与0,,对于这些值,为无穷大,,所以,令,得,27,(23),则化简得,与,当,为整数时是,这就说明了,线性相关的。,为了求出贝塞尔方程的通解,我们,还需要求出一个与,线性无关的特解。,28,而当,为整数时,,不为整数。,与,当,不为整数时,,其中,为整数,,(21),由(21)式知,,是,由于,于是(21)式的右端成为,形式的不定型,,此时,我们很自然地定义,而当,为整数时,,与,当,不为整数时,,由(21)式知,,是,由于,为整数时,,与,当,不为整数时,,由(21)式知,,是,线性无关的,,29,应用洛必达法则经过冗长的推演(可参阅H.H.,列别捷夫著,张燮译特殊函数及其应用,,高等教育出版社,1987),得,30,阶贝塞尔方程与,线性无关,其中,称为欧拉,常数。,显然,是,特解。,无穷大,31,(12),是否为整数,,综上所述,不论,为任意实数。,其中,为任意实数,,当,为偶数时,,为偶函数;,当,为奇数时,,为奇函数。,当,为半奇数时,留在下一节讨论。,贝塞尔方程(12),的通解都可表示为,另外,由,推出,,情形3,为整数时,,32,5.2 贝塞尔函数的递推公式,不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系,,本节,来建立反映这种联系的递推公式。,(18),(21),由,的表达式(18)可推出下列两个基本,递推公式:,(25),(26),33,(25),(26),事实上,在(18)式的两边乘上,然后对,求导,得,令,得,34,同样可以证明公式(25)。,(25),(26),事实上,在(18)式的两边乘上,然后对,求导,得,35,(25),(26),如果将以上两式左端的导数表出,化简后则得,先后消去,与,则得,(27),(28),显然(25)(26)式与(27)(28)式是等价的。,36,(25),(26),(27),(28),与,若已知,之值,,由(27)式可算出,之值。,这样一来,通过(27)式,可以用0阶与1阶,贝塞尔函数来表示任意正整数阶的贝塞尔函数。,特别的,当,时,由(26)式得,37,(25),(26),特别的,当,时,由(26)式得,当,时,由(25)式得,(29),(27),(28),38,例,(27),(28),(29),求,解,由(27)式知,,则有,39,对于第二类贝塞尔函数,也有如下的递推公式成立:,40,当,(18),(27),为半奇数时的贝塞尔函数的一个重要特点,是可用初等函数表示。,先计算,由(18)式得,利用,函数的性质,得,41,(18),(27),从而,(30),同样可得,(31),应用公式(27)得,42,(18),(27),同理,应用公式(27)得,43,一般的,有,44,这里为了方便起见,我们采用微分算子,它是算子,连续作用,次的缩写。例如,一般的,有,