空间向量与空间角(2).doc

空间向量求空间角导学案复习：1向量的有关知识：abO（1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式：（3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点1：异面直线所成的角（范围：）（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和，问题1： 当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成的角与 和 的夹角的关系？ 问题 2：与的夹角大于90°时，异面直线a、b 所成的角与 和的夹角的关系？ 结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为思考：在正方体中，若与分别为、的四等分点，求异面直线与的夹角余弦值？（1）方法总结：几何法；向量法（2）与相等吗？（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？ABCA1B1C1xyZD例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系，则 ， 即和所成的角为练习1：在RtAOB中，AOB=90°，现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。知识点2、直线与平面所成的角（范围：）（图1）思考：设平面的法向量为，则与的关系？（图2）据图分析可得：结论：例2、如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成角的正弦值.分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系，则ABCA1B1C1xyZD 设平面的法向量为 由取， 和所成角的正弦值.练习：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点.求直线与平面所成的角的正弦值.知识点3：二面角（范围：）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中.DCBAl结论：法向量法ll 结论： 或 即： 归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.例3、如图，是一直角梯形，面，求面与面所成二面角的余弦值.解：如图建立空间直角坐标系，则 易知面的法向量为 设面的法向量为，则有 ，取，得， 又方向朝面内，方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角 即所求二面角的余弦值为.练习：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点.求二面角的余弦值。解：由题意知，则设平面的法向量为，则，取，得 又平面的法向量为 观察图形知，二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为三、课堂小结 1异面直线所成的角： 2直线和平面所成的角： 3二面角：.五、布置作业