矩形、菱形、正方形的复习.doc

矩形、菱形、正方形的复习一. 教学内容：1. 矩形的性质和识别方法2. 菱形的性质和识别方法3. 正方形的性质和识别方法 二. 知识要点：1. 矩形（1）定义：当平行四边形有一个内角为直角时，我们把它叫做矩形（2）矩形的性质：矩形的四个内角都是直角；矩形的对角线相等；矩形具有平行四边形的一切性质，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）矩形的识别方法：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形或对角线相等且互相平分的四边形是矩形2. 菱形（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（2）菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线；菱形的周长等于边长的4倍菱形的面积等于对角线乘积的一半（3）菱形的识别：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形3. 菱形与矩形的区别与联系：菱形和矩形虽都是特殊的平行四边形，不同的是菱形是在边上的特殊，四条边都相等，这一点一般平行四边形不具有，对角相等这一特征一般平行四边形也具有；而矩形是在内角上有不同于一般平行四边形的特征，即四个角都是直角另外菱形具有的而一般平行四边形不具有的还有对角线互相垂直，矩形具有而一般平行四边形不具有的是对角线相等，矩形和菱形在特征上的相同之处是都具有平行四边形所具有的性质4. 正方形（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质正方形各边的性质：四条边相等，对边平行正方形各角的性质：四个角都是直角正方形对角线的性质：正方形的对角线互相平分、互相垂直、相等，且每一条对角线平分一组对角正方形的对称性：正方形是轴对称图形，对边中点所在直线和对角线所在直线都是正方形的对称轴正方形也是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心（3）正方形的识别：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；一个内角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 三. 重点难点：重点是掌握矩形、菱形、正方形的性质和识别方法；难点是平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系 【典型例题】例1. 如图所示，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AOB60°，AB4cm（1）判定AOB的形状；（2）求对角线的长分析：要判定AOB的形状，由于AOB60°，所以可考虑这个三角形是等边三角形由矩形的性质知：OAOB，即AOB是等边三角形由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”得出结论；要求对角线的长可直接应用矩形的性质求出解：（1）由于四边形ABCD是矩形，所以对角线AC与BD互相平分且相等，即OAOB又AOB60°所以AOB是等边三角形（2）OAAB4cm，DBCA2OA8cm因此对角线的长为8cm评析：利用矩形的性质；矩形的对角线相等且互相平分，可以得到4个等腰直角三角形，然后再加以利用 例2. 如图所示，矩形ABCD中AC与BD交于O点，BEAC于E，CFBD于F，试说明BECF分析：BE和CF分别为RtBEO和RtCFO中的一边，可通过证三角形全等来证BECF解：因为四边形ABCD是矩形所以 ACBD，所以 BOCO因为 BEAC于E，CFBD于F所以 BEOCFO90°又因为 BOECOF，所以 BOECOF所以 BECF评析：矩形对角线相等且互相平分的性质，为证三角形全等提供了条件 例3. 如图所示，在ABC中，BAC90°，ADBC于D，CE平分ACB交AD于G，交AB于E，EFBC于F，试说明四边形AEFG是菱形分析：由已知可知，图中有平行线可证等角，等线段，因此可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等解：因为BAC90°，EFBC，12，所以AEEF，34，因为ADBC，EFBC，所以EFAD，所以45，所以35，所以AEAG所以EFAG且EFAG，所以四边形AEFG是平行四边形又因为AEEF，所以平行四边形AEFG是菱形评析：在识别菱形时，容易犯忽视前提条件的错误，如对于四边形，已知一组邻边相等，或对角线互相垂直，就说这个四边形是菱形事实上，只有在四边形是平行四边形的前提下，才能由一组邻边相等或对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形若不具备这一前提，一定要先证明这个四边形是平行四边形 例4. 如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EFBC，EGCD，垂足分别是F、G试说明AEFG分析：由EFBC，EGCD可得矩形EFCG，则FGEC，再证ABECBE，得AEEC，即可得到AEFG解：连结EC，因为四边形ABCD是正方形，EFBC，EGCD，所以四边形EFCG为矩形所以FGCE因为BD是正方形ABCD的对角线所以ABECBE又BEBE，ABCB，所以ABECBE所以AEEC，所以AEFG评析：用CE沟通AE和FG之间的联系 例5. （1）下列命题中正确的是（   ）A两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B两条对角线相等的四边形是矩形C两条对角线互相垂直的四边形是菱形D两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形（2）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是_（只填一个条件即可）（3）如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，D90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是_（写出一种情况即可）分析：（1）这个问题可以这样考虑：对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形故选A（2）这个问题实际上是问什么样的菱形是正方形？有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，考虑角可补充的条件是BAD90°或ADAB；考虑对角线补充：ACBD（3）本题应考虑和角相关的矩形的识别方法，有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形可添加的条件是A90°或B90°，ADBC，ABCD等解：（1）A（2）BAD90°（或ADAB，ACBD等）（3）A90°或ADBC或ABCD 例6. 如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB，ABa（1）求ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积分析：本题考查菱形的定义，解题的关键是作辅助线，将菱形问题转化为三角形问题进行求解解：（1）连结BD，交AC于点O因为四边形ABCD是菱形，所以ADAB因为E是AB的中点，且DEAB，所以ADBD，所以ABD是等边三角形，所以ABC60°×2120°（2）因为四边形ABCD是菱形，所以AC、BD互相垂直平分，所以OBBDABa所以OAa，所以AC2AOa（3）S菱形ABCDAC·BD·a·aa2评析：菱形被对角线分成四个全等的直角三角形，利用三角形面积公式可得菱形的面积等于它的两条对角线之积的一半 【方法总结】这部分内容之间联系比较紧密，研究问题的思路和方法也类似，推理论证的难度也不大相对来说，平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别，是学习的难点因为各种平行四边形概念交错，容易混淆，常会出现“张冠李戴”的现象在应用它们的性质和判定的时候，也常常会出现用错、多用、少用条件的错误学习中要注意分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，克服这一难点 【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ）A. 对角线相等                                  B. 对角线互相垂直C. 对角线互相平分                           D. 对角线平分一组对角2. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（   ）A. 测量对角线是否相互平分             B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量一组对角线是否互相垂直      D. 测量其中三角是否都为直角3. 下列判断中正确的是（   ）A. 四边相等的四边形是正方形         B. 四角相等的四边形是正方形C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形4. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（   ）A. ABCD             B. ADBC           C. ABBC              D. ACBD5. 已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中1与2一定不相等的是（   ）6. 已知：如图所示，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点若AB2，AD4，则图中阴影部分的面积为（   ）A. 3                       B. 4                     C. 6                        D. 8*7. 如图所示，在菱形ABCD中，AEBC，AFCD，E、F为垂足，且E、F又分别是BC、CD的中点，则EAF的度数为（   ）A. 75°                  B. 60°                C. 45°                   D. 30°*8. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CEDF，AE、BF相交于点O，下列结论AEBF；AEBF；AOOE；SAOBS四边形DEOF中，错误的有（   ）A. 1个                   B. 2个                 C. 3个                   D. 4个二. 填空题1. 已知菱形ABCD的周长为20cm，AABC12，则对角线BD的长等于_cm2. 正方形是特殊的平行四边形，请写出一条正方形具有而平行四边形不具有的性质：_3. 如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PEAB于点E，PFAD于点F，PF3cm，则P点到AB的距离是_cm4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AOD120°，AB2.5，则AC的长为_5. 如图，正方形ABCD中，AB1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_6. 如图所示，直线l是四边形ABCD的对称轴，如果ADBC，有下列结论：（1）ABCD；（2）ABBC；（3）ABBC；（4）AOOC其中正确的结论有_（把你认为正确的结论的序号都填上）7. 任意一个平行四边形，当它的一个锐角增大到_度时，就变成了矩形；当它的一组邻边变到_时，就变成了菱形；当它的两条对角线变到_时，就变成了正方形8. 如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PMPN的最小值是_ 三. 解答题 1. 已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F试说明四边形AFCE是菱形 2. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OCFOBE求证：OEOF *3. 如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AEDG于E，CFAE交DG于F（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（2）求证：AEFC+EF4. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BECF，AFDE求证：（1）ABFDCE；（2）四边形ABCD是矩形*5. 如图，在平行四边形ABCD中，BC2AB4，点E、F分别是BC、AD的中点（1）求证：ABECDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积          【试题答案】一. 选择题1. C  2. D  3. D  4. D  5. D  6. B  7. B  8. A 二. 填空题1. 5  2. 四边相等；对角线相等；对角线互相垂直等 3. 3  4. 5  5. 4  6. （1）（2）（4）  7. 90，相等，互相垂直且相等  8. 5（提示：取CD的中点K，则点K和点N关于直线AC对称，PMPN的最小值即为KPPM的最小值，点K、P、M在同一直线上时，其和最小） 三. 解答题1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AEFC，DACBCA因为EF垂直平分AC，所以AOECOF90°，AOCO，所以AOECOF所以AECF，所以四边形AFCE是平行四边形，又EFAC，所以四边形AFCE是菱形2. 在正方形ABCD中，OCOB，COBEOB90°又因为OCFOBE，所以OCFOBE，所以OEOF3. （1）AEDDFC因为四边形ABCD是正方形，所以 ADDC，ADC90°又因为 AEDG，CFAE，所以 AEDDFC90°，所以 EADADEFDCADE90°，所以 EADFDC所以 AEDDFC（AAS）（2）因为 AEDDFC，所以 AEDF，EDFC因为 DFDEEF，所以 AEFCEF4. （1）在平行四边形ABCD中，ABCD；因为BECF，所以BEEFCFEF，即BF=CE；又AFDE所以ABFDCE（2）由（1）知BC，又因为ABCD，BC180°，所以B90°，所以平行四边形ABCD是矩形5. （1）因为E、F分别是BC、AD的中点，所以BEDF又因为ABCD，BD所以ABECDF（SAS）；（2）当四边形AECF为菱形时，ABE为等边三角形，四边形ABCD的高为，所以菱形AECF的面积为2