《有趣的数列》PPT课件.ppt

有趣的數列,蕭志瀚、詹奇祐、林育如,指導老師：傅淑婷老師,研究器材,紙、筆電腦聰明的大腦靈巧的雙手,研究動機,在玩智慧盤遊戲一陣子後，發現並非所有任意排列的圖案均可以藉由上下或左右推移空白格去恢復成指定的排列圖案。因為智慧盤的移動基底為劃分成上下或左右各一定小方格數目的矩形區域，而分布在所有小方格裡的數字群組(其中有一為空格)像是經過轉折後的一序數列；至於智慧盤遊戲的唯一操作 空格移動則可以視為數列的重排；因此有機會透過觀察與研究數列的重排特性去了解並解釋智慧盤遊戲的奧妙。,研究目的,（一）數列的奇偶二分類法。（二）對映智慧盤的數字圖案至數列，然後以對 映數列的基偶類別予以分類智慧盤的數字圖案。（三）經過分類後的智慧盤數字圖案可以用來判 別任何相異但大小同型的智慧盤數字圖案 是否可以經由空白格之推移而互相到達。,研究過程,（一）構想對映智慧盤的數字圖案至一序數列 或對映一序數列至智慧盤的數字圖案並使彼此之間的對應關係為一對一的對映方式。方法：將智慧盤二維排列的數字群組經由“從左到右”然後“從上到下”的重複銜接程序組合成唯一的數列，而原先數字圖案中的一個空白格則轉換為所形成一唯數列之位置指標。反之，亦可填寫出唯一的智慧盤數字排列圖案。如此具備一指標位置的一唯數列與具備一空白格的智慧盤二唯排列數字群組即形成一對一的對映關係。,例1.圖【一】3x3智慧盤內的數字群組所對映的一為數列為指標位於末端之由1到8依序排列的八個數字，即對映數列為12345678。其中表示數列中的位置指標。反之，亦可將12345678數列對映至圖一。,圖【一】,圖【二】由圖一左移空白格所形成，與之相互對映的新數列為12345678。其中八個數字的排列順序不變，只有指標位置改變而已。,圖【二】,圖【三】由圖【一】上移空白格所形成，與之相互對映的新數列為12345786。其中八個數字的排列順序和指標位置均被改變。,圖【四】4x4智慧盤內的數字群組與一維數列123456789 10 11 12 13 14 15相互對映。,圖【五】由圖【四】上移空白格所形成，與之相互對映的新數列為123456789 10 1113 14 15 12。其中十五個數字的排列順序和指標位置均已改變。,圖【三】,3,3,圖【四、五】,（二）觀察數字型智慧盤空白格的推移操作效應為移動其對映數列的指標位置與造成數列排列順序的改變。,1.智慧盤的空白格若水平移一格，原所對映數 列的指標位置亦左移一格但其數列順序不變。例如由圖【一】至圖【二】。,2.智慧盤的空白格若水平右移一格，原所對映數列的指標位置亦右移一格但其數列順序不變。例如由圖【二】至圖【一】。,圖【一】,圖【二】,3.智慧盤的空白格若垂直上移一格，原所對映數列的指標位置左移同一水平層知小方格數目之量並造成數列順序之改變。例如由圖【一】至圖【三】，其中對映數列的指標位置移動量為左移2格；若由圖【四】至圖【五】，則所對映數列的指標位置移動量為左移3格。,4.智慧盤的空白格若垂直下移一格，原所對映數列的指標位置右移同一水平層知小方格數目之量並造成數列順序之改變。例如由圖【三】至圖【一】，其中對映數列的指標位置移動量為右移2格；若由圖【五】至圖【四】，則所對映數列的指標位置移動量為右移3格。,圖【四、五】,圖【一到三】,（三）.研究並定義數列之種類。,1.根據前人之研究結論得之特定數字型智慧盤之任意排列數字圖案可以分為偶或奇排列兩種類，其中只有一種類可以經由推移空白格復原為指定之數字圖案；並已由(一)得之智慧盤的數字圖案可以使其與經特殊定義之一維數列形成一對一的對映關係。由於智慧盤的數字圖案具備奇偶兩類之分類特性，因此推論其所對映之一唯數列亦可經由合適之定義以分為奇偶兩類；反之，智慧盤的數字圖案之奇偶類別將由其所對映為奇或偶數列來決定較為方便。於本文中，假設指標位置不影響數列之奇偶類別以及空白格亦不影響智慧盤的數字圖案之奇偶類別。,2.只有1和2兩個數字的最簡單亦為數列，若不計指標位置則僅有兩種排列方式，亦即“12”或“21。我們將依序排列的“12”數列稱呼為偶排列數列或簡稱偶數列，而“21”數列稱呼為奇排列數列或簡稱奇數列。3.為維持兩種數列種類，將假設指標位置並不影響數列種類之歸屬，因此“12”、“12”即“12”均屬於偶數列而“21”、“21”及“21”均屬於奇數列。4.假設數列重排之基本操作亦只有兩種方式，亦即左移或右移特定數字一位。例如將2左移一位或將1右移一位均重排“12”成21”，而將2右移一位或將1左移位均重排“21成“12”。根據已上最簡單一為數列之重排列，左移或右移特定數字一位均造成奇偶數列種類之互換。,5.已知3個數字長度的一維數列有3216種排列方式，例如”123”、“132”、“213”、“231”、“312”及“321。但如何將以上6數列分類為奇或偶兩類呢？首先將由小到大依序數列“123”歸類為偶數列，至於其他5數列之歸類推導如下：a.“213”為奇數列因為它從偶數列“123”左移“2”或右移“1”一位形成。b“132”為奇數列因為它從偶數列“123”左移“3”或右移“2”一位形成。c“231”為奇數列因為它從偶數列“213”右移“1”一位形成，亦可進一步看成從偶數列“123”右移“1”二位形成。d“312”為偶數列因為它從奇數列“132”左移“3”一位形成，亦可進一步看成從偶數列“123”左移“3”二位形成。,e“312”為奇數列因為它從偶數列“231”左移“3”一位形成，亦可進一步看成從偶數列“213”左移“3”二位形成。由上推導得知由1、2及3所排列組成的6數列卻可藉由左移或右移或左移數列中特定數字一位的過分類為奇偶類，此外亦進一步得知將一數列中的特定數字左移或右移奇次位，會改變其奇偶數列之歸屬，但左移或右移偶次位，則不改變其奇偶數列之歸屬。6、如何決定任意長度數列之奇偶歸屬？即使最簡易之33 數字型智慧盤所對映數列的排列組合亦有87654321之多，因此必須有具備效率性及程式流程性之分類方法或過程以決定任意長度數列之奇偶歸屬。由於設由小至大之依序數列為偶數列，目前想法為以移動原數列中所有數字至依序排列位置的所需個別左移位次數總和為奇或偶來判別原數列為奇或偶數列，但或許存在更佳方式。,例6 58412376為奇或偶數列？58412376左移“1”計3次位形成15842376，15842376左移“2”計3次位形成12584376，12584376左移“3”計3次位形成12358476，12358476左移“4”計2次位形成12345876，12345876左移“5”計0次位形成12345876，12345876左移“6”計2次位形成12345687，12345687左移“7”計1次位形成12345678。左移次位總和=3+3+3+2+0+2+1=14為偶數因此58412376為偶數列。,例7 67581432為奇或偶數列？67581432左移“1”計4次位形成16758432，16758432左移“2”計6次位形成12675843，12675843左移“3”計5次位形成12367584，12367584左移“4”計4次位形成12346758，12346758左移“5”計2次位形成12345678。左移次位總和=4+6+5+4+2=21為奇數因此67581432為奇數列。,（四）以數列的奇偶類別特性解釋智慧盤遊戲之奧妙。1.前面提到智慧遊戲盤之唯一遊戲操作為推移空白格，而其對映數列的反應為指標位置與數列順序的改變；進一步了解數列的奇偶類別特性後，推移智慧盤之空白格可視為在改變其數字圖案或其對映數列之奇偶類別，歸納出原則如下：,a 若於同一水平層左移或右移智慧盤之空格，則智慧盤數字圖案或其對映數列之奇偶類別均不變。例如圖【一】與圖【二】可以經由水平左移或右移智慧盤之空白格去互換，而其所對映之數列分別為12345678與12345678，此二數列只有指標位置之不同而同等12345678均屬偶數列。,b 若於不同水平層間垂直上移或下移智慧盤之空格，則智慧盤數字圖案或其對映數列之奇偶類別可能變或不變。甲、若水平層之小方格數目量為奇數，垂直上移或下移智慧盤空格除對映數列之指標位置作偶次位格之右移或左移外，數列中之一數亦同時作偶次位之右移或左移，因此同於水平左移或右移智慧盤之空白格對於智慧盤數字圖案或其對映數列之奇偶類別均不會造成改變。例如圖【二】與圖【三】可以經由水平上移或下移智慧盤之空白格去互換，而其所對映均為偶數列，因為由12345678至12345678時，指標位置為左移二次位格而唯一移動之數目字6亦是右移兩次位格，顯然數列之奇偶類別不變。,乙、若水平層之小方格數目量為偶數，垂直上移或下移智慧盤空格除對 映數列之指標位置作奇次位格之右移或左移外，數列中之一數亦同時作奇次位之右移或左移，因此同於水平左移或右移智慧盤之空白格對於智慧盤數字圖案或其對映數列之奇偶類別均會造成改變。例如圖【四】與圖【五】可以經由垂直上移或下移智慧盤之空白格去互換，而其所對映將為奇偶不同之數列，因為有1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15至1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1113 14 15 12時，指標位置左移三次位格而唯一移動之數目字12亦是右移三次位格，顯然1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1113 14 15 12會為奇數列，即圖【五】為奇排列之智慧盤數字圖案。,2.由以上智慧盤空白格之單次推移特性可以進一步推論多次推移空白格對智慧盤圖案奇偶類別之影響，亦即於過程中唯有累積奇數次造成奇偶類別改變之推移，才有機會讓多次推移空白格後的智慧盤圖案與原圖案之奇偶類別互換。a.若推移過程前後的智慧盤空白格位置不變則過程中空白格左移和右移的次數相等或抵銷，上下移動之次數也會相等或抵銷，所以推移過程之智慧盤圖案之奇偶類別應不變。已往智慧盤研究報告的舉例通常為空白格均固定於智慧盤右下角之不同圖案間的相互推移可能性即屬此類，所以其推移前後之智慧盤圖案必須為相同奇偶類。,b.若推移過程前後之智慧盤空白格之水平層位置不變，則過程中空白格左移或右移之次數可能並不相等，但是上移和下移的次數仍應相等或相互抵銷，由於水平左移或右移智慧盤空白格並不會改變智慧盤圖案之奇偶類別，因此只要具備空白格上移與下移次數互相抵銷之條件，推移過程前後智慧盤的奇偶類別應不變，亦即期推移前後隻智慧盤圖案必為相同奇偶類。c.若推移過程前後之智慧盤空白格的水平層位置改變，由b得之僅需垂直方向之淨移動量為奇或偶數，即足以分析推移前後之智慧盤圖案是否為相同之奇偶類。,甲、已知，若水平層的小方格數目量為奇數，則單次垂直上移或下移空白格對於智慧盤數字圖案或其對映數列之奇偶類別並不會造成影響。所以對此類智慧盤而言，即使推移過程之垂直方向淨移動量為奇數次，其推移前後之智慧盤圖案仍為相同之奇偶類。例如對3X3智慧盤來說，無論推移前後空白之相關位置為何，前後圖案之奇偶類別一定不變。,乙、已知，若水平層之小方格數目量為偶數，則單次垂直上移或下移空白格對於智慧盤數字圖案，或其對映數列之奇偶類別均會造成改變。所以對此類智慧盤而言，若過程之垂直方向淨移動量為奇數次，則其推移前後之智慧盤圖案將為不同之奇偶類。對44智慧盤而言，推移前後圖案之奇偶類別之變與不變決定於推移前後之空白格位置之垂直間距為偶或奇數次水平層數。例如圖【四】與圖【六】為偶排列，而圖【五】與圖【七】為奇排列圖案，其中四種圖案均可由空白格之推移互相到達。右例如圖【八】與圖【九】為奇排列，而圖【十】圖【十一】為偶排列圖案，這其中四種圖案亦均可經由空白格之推移互相到達。但是圖【四】至圖【七】與圖【八】至圖【十一】之間則是無法經由空白格之推移互相到達的。,圖【六】圖【七】,圖【八】圖【九】,圖【十】圖【十一】,研究結果,一 研讀以往之智慧盤遊戲研究報告，均得一深刻印象即“智慧盤數字圖案有奇偶兩類並且兩類之間無法經由移動空白格互相到達。”或許由於方向與定義之差異，本研究中，當空白格於水平層之小方格數目為偶數之智慧盤做垂直上移或下移時，即奇偶排列均在改變中。除此以外，以往報告常以n格的智慧盤有n！排列組合為出發點，本次研究卻以（n1）！為基礎，這是很大的不同。二 對一般中小學生來說過於艱澀難懂，本次研究純以智慧盤遊戲之空白格推移操作並連結數列之重排為推導過程，唯一引用的數學公式只有n位元長度的數列會有n！n（n1）.1種排列組合而已。,三 以往之智慧盤遊戲研究報告注重於空白格推移策略之探討，但對於如何將智慧盤的數字做一般性之奇偶分類則無詳細之說明。本研究可以全面性地針對大小不同智慧盤數字圖案做簡單的奇偶分類，進而判斷相異但大小同型的智慧盤數字圖案是否可以經由空白格之推移而互相到達，歸納其過程和結果如下：1.具一空白格的智慧盤數字圖案可定義亦具一指標的數列與其形成一對一的對映關係。2.智慧盤數字圖案之奇偶分類有其所對數列之奇偶類別決定。3.數列可分為奇偶兩類別，定義由小到大依序排列的數列為偶數列，至於其他數列則以移動原數列中所有數字之依序排列之位置的所需個別左移次位數總和為奇或偶來判別原數列為奇或偶數列。至於數列指標位置並不影響其奇偶類別之決定。,4.相異但大小同型的智慧盤數字圖案是否可以經由空白格之推移而互相到達？結論可從觀察水平及垂直推移空白格對不同型智慧盤奇偶類別之改變得知。a.水平層之小方格數目量為奇數：圖案必須同為機或偶累才能經由空白格之推一而互相到達。因為水平層之小方格奇數時，任何空白格之推移均無法改變元是自圖案或對應數字之奇偶分類。b.水平層之小方格數目量為偶數：甲、兩組圖案之空白格位於同一水平層或 垂直方向相距偶數次水平數：,水平層之小方格數量為奇數時，雖然個別之空白格垂直或上移會改變原數圖案或對應數列之奇偶分裂，但因為兩個空白隔間之互相掉換必須透過偶次數之垂直方向推移，所以並無法改變原數字圖案或對應數列之奇偶排列。乙、兩組圖案隻空白格位於不同水平面層並於垂直方巷相距奇數次水平層數：兩組圖案必須分別為不同機或偶數才能經由空白格推移而互相到達。因為水平層之小方格為奇數時個別之空白格垂直上移或下移會改變原數字圖案或對應數列之奇偶分類，而且兩個空白隔間之互相掉換必須透過奇數次之垂直方向推移，所以勢必影起源數字圖案或對應數列奇數類別之改變。,未來發展,本次研究結果可以用判斷任何兩組大小同型的智慧盤數字圖案是否可經由空白格之推移而互相到達，但推論過程仍有需再考慮之處，例如根本沒研究數列之奇偶分類法，但可藉此懷疑經由這樣的基偶分類法所產生的奇偶數列真會相等嗎？未來應更進一步研究數列之排列原理予已證實。,參考資料,一 台北市第二十六屆中學科學展覽會特優作品集，台北市政府教育局，P446P463數的依序排列及推廣應用。二 中華民國第三十七屆中學個科學展覽優生作品專輯 國小組，國立台灣科學教育館，p220p227“智慧盤中的奧秘智慧盤遊戲推移策略探討”。三智慧盤遊戲 智慧盤遊戲與歸納法的運用,