多面体及球体的概念、性质、计算 .docx

多面体及球体的概念、性质、计算立体几何是高中数学的重要内容，立体几何试题是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绎推理能力 的基本载体近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系。考查的 重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力。在课程标准中，立体几何的内 容和考查要求有了较大的变化：增加了三视图，更强调几何直观，几何证明有所削弱，淡化了距离问题。 因此，在复习中，以基本知识，基本方法为基础，以通性通法为重点，培养空间几何体的直观认知能力和 逻辑推理能力。一般来说，平面向量在高考中所占份量较大，我们从以下五方面探讨立体几何问题的求解：1. 多面体及球体的概念、性质、计算；2. 由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算：3. 关于线线、线面及面面平行的问题；4. 关于线线、线面及面面垂直的问题；5. 关于空间距离和空间角的问题。一、多面体及球体的概念、性质、计算：典型例题：例1.已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球O的球面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直 径，且SC = 2 ；则此棱锥的体积为【】以)圭B芸©争D片【答案】A。【考点】三棱锥的性质。【解析】. AABC的外接圆的半径r = g,.点O到面ABC的距离d = <R 2 - r 2 =普2邙 又.SC为球O的直径，.点S到面ABC的距离为2d =r、，11 君 2、. <2.此棱锥的体积为v=3 s *bc x2d=3 x t r=甘。故选A。例2.平面a截球O的球面所得圆的半径为1，球心0到平面a的距离为、."，则此球的体积为【】(A).'6n(B) %'§n(C) %*n(D) 6寸3n 【答案】B。【考点】点到平面的距离，勾股定理，球的体积公式。【解析】由勾股定理可得球的半径为巨，从而根据球的体积公式可求得该球的体积为:V = 3 x兀 x C'3 )=4t3rt。故选 B。例3.如下图，已知正四棱锥S - ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记SE = x (0 v x v 1),截面下面部分的体积为k (x),则函数y = V (x)的图像大致为【】疝T瘟¥【考点】棱锥的体积公式，线面垂直，函数的思想。【解析】对于函数图象的识别问题，若函数y = f (x)的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，可采用定性排它法：观察图形可知，当0 V x V 1时，随着x的增大，V (x)单调递减，且递减的速度越来越快，不是 SE = x的线性函数，可排除C，D。当1 < x V1时，随着x的增大，V (x)单调递减，且递减的速度越来越 慢，可排除B。只有A图象符合。故选A。如求解具体的解析式，方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃，并且作为选择题也没有太多的时间去解答。我们也解答如下：连接AC，BD，二者交于点O,连接SO,过点E作底面的垂线EH。当E为SC中点时，.SB=SD=BC=CD，.SELBE，SE±DEO,SE± 面 BDE。.当SE = x = 1时，截面为三角形EBD,截面下面部分锥体的底为BCD。XVSA=SC=1，AC=,'2, SO=*。此时 EH = 2 '24 V (x) = 1.1.1.笠=笠3 2424当0 <SE(x)< 1时，截面与AD和AB相交，分别交于点F、D，设FG与AC相交于点I，则易得V(x) = 3 Sbcdfg - EH。2 由 EHSO，SE=x, CE=1x, SO=2, CS = 1 得豆:EH=1：(1x)，即EH=2(1x)。22由 EISA，SE = x, CS = 1, AC = :2 得 x： AI = 1：2，即 AI = 2x。锦无数学工作绘制易知里尸弓是等腰直角三角1 . _ 1 _形，即 FG = 2AI = 22。 S= FG- AI = 2、；2x萼2x = 2x2。AFG 22.V(x) =1S EH =1 (S S) EH =项2x2 H2 .(1 x)= (1 2x2 )(1 x)。3 BCDFG3 ABCDAAFG326当1 <SE(x)< 1时，截面与DC和BC相交，分别交于点M、N，设MN 2与AC相交于点J，则易得V(x) = 3SN -EH。由 EHSO，SE=x, CE = 1x, SO=, CS = 1 得禅无数学工升主挂和豆：EH=1：(1x)，即 EH=3(1x)。22由 EJSA，SE = x, CE=1-x, CS = 1, AC =<2 得(1x)： CJ=1：2，即 CJ =豆(1x)。易知。奶是等腰直角三角形，即MN = 2CJ = 22(1x)。 S =1 -MNCJ=1 -2很(1x)72(1x)=2(1x。堕MN 22综上所述，V(x)=G 2x 2 )(1 x) 624(一1 0 <x：2 7_ xx =-2 7r 1< x"2.*(x)=32(ix，¥(1-x)=号(i-x。结合微积分知识，可判定A正确。例4.我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d牝16uV。人们A. d浇S V还用过一些类似的近似公式。根据兀=3.14159-.判断，下列近似公式中最精确的一个是【】16300V B. d 浇 32V C. d 牝 - V D. d 牝93157【答案】D。对选项逐一验证:3V, 一，由此得d =2 4兀3V4兀【考点】球的体积公式以及估算。4 。【解析】由球的体积公式v=3兀R3得R=7：16一16 6*6x9 对于A. d浇3 V有 总，即兀=3.375 ；99兀16对于B. d 32V有2 6，即兀对于C. d牝300 _ 300 一V有 1571576x157 今即 兀 3.14 ；300对于D. d牝& 有 21 61111 兀6 x11 3.1429 ；21，即兀21“匚V中的数值最接近6V。故选D。兀例5.设四面体的六条棱的长分别为1, 11，1，（2和a，且长为a的棱与长为*''2的棱异面，则a的取值范围是【】（A） （0,互）（B）（0,方）（C）（1,克）（D）（1,程）【答案】A。【考点】异面直线的判定，棱锥的结构特征，勾股定理和余弦定理的应用。【分析】如图所示，设四面体ABCD的棱AC长为a，取BD中点P，连接AP,CP所以 AP ± BD, CP ± BD，在RtAABP中，由勾股定理得AP = CP-2.在 AACP 中，AC2 = a2 = AP2 + CP2 - 2 AP - CP cos ZAPC = 1 - cos ZAPC oZAPC e (0,兀)，.cos ZAPC e (-1,1)°.a2 e (0,2)CB1D1:J2. a e (0,%'2)。故选 A。例6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，则该圆锥的体积为'.'3兀【答案】七-【考点】空间几何体的体积公式和侧面展开图。【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为 ,，母线长为Z，根据条件得到1冗122'=2兀，解得母线长l = 2：=Sh=X 22 12兀=33V圆锥.3 。，2兀r =兀/ = 2兀，r = 1所以该圆锥的体积为:例7.一个高为2的圆柱，底面周长为2兀，该圆柱的表面积为 【答案】6兀。【考点】圆柱的表面积。【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为,=1，所以该圆柱的表面积为:S = 2兀l + 2兀r 2 = 4兀+ 2兀=6兀。例9.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC = 2，若AD = 2c，且AB+BD = AC+CD = 2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值 _【考点】四面体中线面的关系，椭圆的性质。BC ± AD，BEBC = B，. AD 上平面BEC。【答案】2 Ea2 - c2 1。【解析】作BE ± AD于E，连接CE，则又CE u 平面 BEC，. CE ± AD。由题设，AB+BD = AC+CD = 2a，:. B与C都在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距所在 直线 AD。 BE = CE。取BC中点F，连接EF，尸、BC = 2，. EF ± BC，BF = 1，EF = J BE 2 1。!° 二 S 典F = 2 BC - EF = J BE 21。四面体ABCD的体积V =1 S*AD =当BE21。3 XBEC3显然，当E在AD中点，即B是短轴端点时，BE有最大值为b ="2 - c2。V =芝杯c 2 1。max 3例10.如图，正方体ABCD-ABC D的棱长为1。E，F分别为线段AA，BC上的点，则三棱锥D EDF的体1111111积为 。【答案】16【考点】三棱锥的面积。【解析】 三棱锥D-EDF与三棱锥F - D1DE表示的是同一棱锥，二Vd _edf = VF_DDE。1又F - D1DE的底 DD1E的面积是正方形面积的一半，等于| ；底左DD1E上的高等于正方形的棱长1,.VDEDF= VF-D1DE = 3 X 2 X 1 = |例11.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB = CD , AC = BD ,AD = BC，则 一 .（写出所有正确结论编号） 四面体ABCD每组对棱相互垂直 四面体ABCD每个面的面积相等 从四面体abcd每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90。而小于180。 连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分 从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长【答案】。【考点】四面体的性质。【解析】四面体ABCD每组对棱不相互垂直，命题错误； 四面体ABCD每个面是全等三角形，面积相等，命题正确； 从四面体abcd每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180。，命题错误； 连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分，命题正确；例12.已知点P, A B, C, D是球O表面上的点，PA±平面ABCD,四边形ABCD是边长为2 <3正方形。若PA = 2 <6，则 OAB的面积为 .【答案】3寸'3。【考点】组合体的的位置关系，转化思想的应用。【解析】.点P，A, B, C, D是球O表面上的点，PA±平面ABCD,.点P, A, B, C, D为球O内接长方体的顶点，球心0为长方体对角线的中点。.OAB的面积是该长方体对角面面积的1。4AB = 2右,PA = 2灰，. PB = 6 o 常广：乂2也x6=33。例13.如图，在长方体48。2-ABCD 中，AB = AD = 3cm, AA1 = 2cm ,则四棱锥A -BB1D1D的体积为 cm3【答案】6o【考点】正方形的性质，棱锥的体积。3 ，.一【解析】 长万体底面ABCD是正万形，ABD中BD=3t2 cm，BD边上的高是槌cm （它也是2A-BBDD中BBDD上的高）。1 11 113 :.四棱锥A-BB1 DD的体积为3x3近x 2x22=6。